قوت نمائی اور لوگارتھمی تفاعلات (ریاضی II)

منفی قوت نما کا مطلب معکوس ہے، اس لیے 2⁻³=1/2³=1/8۔ آپشن −8 اسے محض منفی علامت لگانا سمجھ لیتا ہے، 1/6 میں 2×3 کا حساب کیا گیا ہے، اور −1/8 دونوں غلطیوں کو ملا دیتا ہے۔

a≠0 کے لیے a⁰=1 ہوتا ہے، کیونکہ 5²÷5²=5⁰ اور اصل قیمت 25÷25=1 ہے۔ آپشن 0 اس روایتی غلط فہمی سے آتا ہے کہ صفر قوت ضرور صفر ہوتی ہے، اور 1/5 اسے 5⁻¹ سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔

8^(2/3)=(8 کا مکعب جذر)²=2²=4۔ آپشن 2 میں 8^(1/3) پر رک گئے ہیں، 16 قوت نما کو 8×2 جیسی ضرب سمجھ لیتا ہے، اور 16/3 میں 8×2/3 کا حساب کیا گیا ہے۔

قوت نما سے 3+5−2=6 ملتا ہے، اس لیے جواب a⁶ ہے۔ آپشن a¹⁰ تقسیم کے لیے بھی 3+5+2 کی طرح جمع کر دیتا ہے، a⁸ میں ÷a² بھول کر 3+5 پر رک گئے ہیں، اور a⁴ میں (3+5)÷2 کا حساب کیا گیا ہے۔

چونکہ (2³)²=2⁶ ہے، ہمیں 2⁶×2⁻⁴=2²=4 ملتا ہے۔ آپشن 2 میں (2³)² کا قوت نما 3+2=5 لے کر 2⁵⁻⁴ نکالا گیا ہے، 64 میں 2⁻⁴ سے ضرب دینا بھول کر 2⁶ چھوڑ دیا گیا ہے، اور 1/4 میں علامت غلط لے کر 2⁻² آتا ہے۔

ایک ہی درجے کے جذروں کا حاصل ضرب، حاصل ضرب کا جذر ہوتا ہے: 16×4=64 کا مکعب جذر 4 ہے۔ آپشن 8 اسے 64 کے جذرِ مربع سے گڈمڈ کر دیتا ہے، 20 کا مکعب جذر 16+4 جمع کرنے سے آتا ہے، اور 2 اسے 8 کے مکعب جذر سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔

سب کو اساس 2 میں لکھنے سے √2=2^(1/2)، 4 کا مکعب جذر 2^(2/3) اور 8 کا چوتھا جذر 2^(3/4) بنتا ہے۔ چونکہ اساس 2 کی قیمت 1 سے بڑی ہے، قوت نما کی ترتیب 1/2<2/3<3/4 بالکل قیمتوں کی ترتیب ہے، اس لیے پہلے √2، پھر 4 کا مکعب جذر، پھر 8 کا چوتھا جذر آتا ہے۔

منفی قوت نما کا مطلب معکوس ہے، اس لیے (1/2)⁻²=2²=4۔ آپشن 1/4 علامت کو نظر انداز کر کے (1/2)² نکالتا ہے، جبکہ −4 اور −1/4 اس غلط فہمی سے آتے ہیں کہ منفی قوت نما منفی عدد بناتا ہے۔

چونکہ 3⁰=1 ہے، گراف ہمیشہ (0, 1) سے گزرتا ہے، اور چونکہ اساس 3 کی قیمت 1 سے بڑی ہے، یہ بڑھتا ہے۔ چونکہ ہمیشہ y>0 ہے، یہ x-محور کو کبھی نہیں ملتا، جو اس کا متقارب خط (asymptote) ہے۔ جب اساس 0<a<1 کو پورا کرے تو گراف گھٹتا ہے۔

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7، جس میں 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1 استعمال ہوا ہے۔ آپشن 9 میں −2 بھول گئے ہیں، 11 میں +2 کی علامت کی غلطی ہے، اور 6 حساب 2×3 سے آتا ہے۔

یہ اس سوال کا جواب ہے کہ 2 کی کون سی قوت 8 دیتی ہے، اور چونکہ 2³=8 ہے، قیمت 3 ہے۔ آپشن 4 میں 8÷2 کی طرح تقسیم کیا گیا ہے، 16 میں 2×8 کی طرح ضرب دی گئی ہے، اور 2 صرف اساس کو دہراتا ہے۔

چونکہ 3⁰=1 ہے، log_3 1=0۔ کسی بھی اساس کے لیے log_a 1=0 ہوتا ہے۔ آپشن 1 اسے log_a a=1 سے گڈمڈ کر دیتا ہے، 1/3 دراصل 3⁻¹ کی قیمت ہے، اور 3 صرف اساس کو دہراتا ہے۔

log_2 8=3 اور log_2 4=2، اس لیے مجموعہ 3+2=5 ہے، جو لوگارتھم کے اعداد کے حاصل ضرب کے لیے log_2 32 کے بھی برابر ہے۔ آپشن 6 میں 3×2 کی طرح ضرب دی گئی ہے، 12 میں لوگارتھم کے اعداد کو 8+4 کی طرح جمع کیا گیا ہے، اور 1 اسے خارج قسمت log_2(8/4) سمجھ لیتا ہے۔

حاصل ضرب کے قاعدے سے log_10(5×2)=log_10 10=1۔ آپشن log_10 7 لوگارتھم کے اعداد کو 5+2 کی طرح جمع کرتا ہے، log_10 3 انہیں 5−2 کی طرح تفریق کرتا ہے، اور 10 لوگارتھم کو چھوڑ کر صرف اعداد کا حاصل ضرب بتاتا ہے۔

چونکہ √8=8^(1/2) ہے، ہمیں log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2 ملتا ہے۔ آپشن 3 جذر کو نظر انداز کر کے log_2 8 دیتا ہے، 1/2 صرف قوت نما بتاتا ہے، اور 2√2 خود √8 کی قیمت ہے۔

خارج قسمت کے قاعدے سے log_3(18/2)=log_3 9=2، کیونکہ 3²=9۔ آپشن 9 لوگارتھم کو چھوڑ کر صرف 18÷2 بتاتا ہے، 16 لوگارتھم کے اعداد کو 18−2 کی طرح تفریق کرتا ہے، اور 1 لوگارتھم کے عدد کو ضرورت سے زیادہ تقسیم کر کے log_3(18/2) کو log_3 3 بنا دیتا ہے، جس کی قیمت 1 ہے۔

اساس کی تبدیلی کے فارمولے سے log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2۔ آپشن 2/3 شمار کنندہ اور نسب نما کو الٹ دیتا ہے، 2 میں 8÷4 کی طرح تقسیم کیا گیا ہے، اور 1/2 میں 4÷8 کی طرح۔

چونکہ 45=3²×5 ہے، log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b۔ آپشن a+2b میں 45 کو غلطی سے 3×5² میں توڑا گیا ہے، a+b میں مربع چھوڑ دیا گیا ہے گویا 45 دراصل 15 ہو، اور 2ab ایک عددی سر کو ضرب میں بدل دیتا ہے۔

اساس کی تبدیلی سے log_3 4=log_2 4/log_2 3، اس لیے حاصل ضرب log_2 4=2 ہے۔ آپشن 1 اسے log_2 3×log_3 2=1 سے گڈمڈ کر دیتا ہے، جو ایک معکوس جوڑا ہے، جبکہ log_2 12 اور 12 اس غلط خیال سے آتے ہیں کہ حاصل ضرب میں لوگارتھم کے اعداد ضرب ہوتے ہیں۔

چونکہ 16=2⁴ ہے، قوت نما کا موازنہ کرنے سے x=4 ملتا ہے۔ آپشن 8 میں 16÷2 کا حساب ہے، 32 میں 16×2 کا، اور 2 اسے √16 سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔ بنیادی قدم یہ ہے کہ دونوں اطراف کو ایک ہی اساس کی قوتوں کی صورت میں لکھیں۔

چونکہ 1/9=1/3²=3⁻² ہے، ہمیں x=−2 ملتا ہے۔ آپشن 2 میں معکوس کے ساتھ آنے والی منفی علامت بھول گئے ہیں، −3 اسے 1/27=3⁻³ سے گڈمڈ کر دیتا ہے، اور 3 اسے 27 سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔ اساس یکساں کرنے کے لیے 1/aⁿ=a⁻ⁿ استعمال کریں۔

سب کو اساس 2 میں لکھنے سے 2²ˣ=2³ ملتا ہے، اس لیے 2x=3 اور x=3/2۔ آپشن 2/3 مساوات 2x=3 کو الٹا حل کرتا ہے، 2 اس مفروضے سے آتا ہے کہ 4×2=8، اور 4 میں 8−4 کی طرح تفریق کی گئی ہے۔

تعریف کی رو سے x=2⁵=32۔ آپشن 25 میں اساس اور قوت نما کو 5² کی طرح آپس میں بدل دیا گیا ہے، 10 میں 2×5 کا حساب ہے، اور 7 میں 2+5 کا۔ سب کچھ اس تبدیلی پر منحصر ہے: log_a x=p ⇔ x=aᵖ۔

لوگارتھم کے عدد کی شرط x−1>0 کے تحت x−1=3²=9، لہٰذا x=10، اور واقعی x−1=9>0 قابلِ قبول ہے۔ آپشن 9 میں 1 جمع کرنا بھول گئے ہیں، 7 میں 3×2=6 میں 1 جمع کیا گیا ہے، اور 4 میں قوت کو 3¹=3 پڑھ کر 1 جمع کیا گیا ہے۔

چونکہ 1/8=(1/2)³ ہے، نامساوات (1/2)ˣ<(1/2)³ بنتی ہے۔ اساس 1/2 کی قیمت 1 سے کم ہے، اس لیے تفاعل گھٹتا ہے اور نامساوات کی علامت الٹ جاتی ہے، جس سے x>3 ملتا ہے۔ آپشن x<3 علامت الٹنا بھول جانے کی روایتی غلطی ہے۔ جانچ: (1/2)⁴=1/16<1/8۔

دھیان دیں کہ −2=log_(1/3) 9، کیونکہ (1/3)⁻²=9۔ چونکہ اساس 1/3 کی قیمت 1 سے کم ہے، نامساوات کی علامت الٹ کر x<9 دیتی ہے، اور لوگارتھم کے عدد کی شرط x>0 کے ساتھ ملا کر 0<x<9 ملتا ہے۔ آپشن x>9 میں علامت الٹنا بھول گئے ہیں، اور 1/9 علامت کی غلطی (1/3)² سے آتا ہے۔

2ˣ=t رکھیں، جہاں t>0، تو t²−3t−4=0 ملتا ہے، یعنی (t−4)(t+1)=0۔ چونکہ t>0 ہے، صرف t=4 باقی رہتا ہے، اور 2ˣ=4 سے x=2 ملتا ہے۔ آپشن x=2, −1 میں t=−1 کو رد کرنا بھول گئے ہیں، x=4 میں t کی قیمت کو حل بتا دیا گیا ہے، اور x=1 رکھنے پر پورا نہیں اترتا، کیونکہ 4−6−4=−6≠0۔

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010۔ 3≦log_10 2¹⁰<4 سے 10³≦2¹⁰<10⁴ ملتا ہے، اس لیے اس میں 4 ہندسے ہیں؛ واقعی 2¹⁰=1024۔ آپشن '3 ہندسے' صحیح حصے میں 1 جمع کیے بغیر اسے ہی بتا دیتا ہے، اور '10 ہندسے' اسے قوت نما سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05۔ 15≦log_10 2⁵⁰<16 سے 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶ ملتا ہے، اس لیے اس میں 16 ہندسے ہیں۔ آپشن '15 ہندسے' صحیح حصے میں 1 جمع کرنا بھول جاتا ہے، '50 ہندسے' اسے قوت نما سے گڈمڈ کر دیتا ہے، اور '17 ہندسے' ایک زیادہ گن لیتا ہے۔

دونوں اطراف کا عام لوگارتھم لینے سے −0.3010n<−3 ملتا ہے، اس لیے n>3/0.3010، یعنی 9.96 سے کچھ زیادہ۔ اسے پورا کرنے والا سب سے چھوٹا قدرتی عدد n=10 ہے۔ جانچ: (1/2)⁹≒0.00195 کی قیمت 0.001 سے بڑی ہے، اور (1/2)¹⁰≒0.00098 پہلی قیمت ہے جو اس سے نیچے آتی ہے۔ آپشن 9 میں 9.96 کو نیچے کی طرف گول کیا گیا ہے، اور 3 صرف 0.001=10⁻³ کا قوت نما بتاتا ہے۔