Funciones exponenciales y logarítmicas (Matemáticas II)

Un exponente negativo significa el recíproco, así que 2⁻³=1/2³=1/8. La opción −8 lo interpreta mal como si solo se añadiera un signo menos, 1/6 calcula 2×3, y −1/8 mezcla ambos errores.

Para a≠0 se tiene a⁰=1, porque 5²÷5²=5⁰ y el valor real es 25÷25=1. La opción 0 es el malentendido clásico de que una potencia de exponente cero debe ser cero, y 1/5 lo confunde con 5⁻¹.

8^(2/3)=(la raíz cúbica de 8)²=2²=4. La opción 2 se detiene en 8^(1/3), 16 trata el exponente como una multiplicación, como 8×2, y 16/3 calcula 8×2/3.

Los exponentes dan 3+5−2=6, así que la respuesta es a⁶. La opción a¹⁰ suma incluso en la división, como 3+5+2, a⁸ olvida ÷a² y se queda en 3+5, y a⁴ calcula (3+5)÷2.

Como (2³)²=2⁶, se obtiene 2⁶×2⁻⁴=2²=4. La opción 2 toma el exponente de (2³)² como 3+2=5 y calcula 2⁵⁻⁴, 64 olvida multiplicar por 2⁻⁴ y deja 2⁶, y 1/4 trata mal el signo y da 2⁻².

El producto de radicales del mismo índice es el radical del producto: la raíz cúbica de 16×4=64 es 4. La opción 8 lo confunde con la raíz cuadrada de 64, la raíz cúbica de 20 sale de sumar 16+4, y 2 lo confunde con la raíz cúbica de 8.

Al escribir todo en base 2 se obtiene √2=2^(1/2), la raíz cúbica de 4 como 2^(2/3) y la raíz cuarta de 8 como 2^(3/4). Como la base 2 es mayor que 1, el orden de los exponentes 1/2<2/3<3/4 es exactamente el orden de los valores, así que primero va √2, luego la raíz cúbica de 4 y luego la raíz cuarta de 8.

Un exponente negativo significa el recíproco, así que (1/2)⁻²=2²=4. La opción 1/4 ignora el signo y calcula (1/2)², mientras que −4 y −1/4 salen del malentendido de que un exponente negativo produce un número negativo.

Como 3⁰=1, la gráfica siempre pasa por (0, 1), y como la base 3 es mayor que 1, es creciente. Como siempre y>0, nunca corta el eje x, que es una asíntota. La gráfica es decreciente cuando la base cumple 0<a<1.

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, usando 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. La opción 9 olvida el −2, 11 tiene el error de signo +2, y 6 sale de calcular 2×3.

Responde a la pregunta de a qué potencia hay que elevar 2 para obtener 8, y como 2³=8, el valor es 3. La opción 4 divide, como 8÷2, 16 multiplica, como 2×8, y 2 simplemente repite la base.

Como 3⁰=1, se tiene log_3 1=0. Para cualquier base, log_a 1=0. La opción 1 lo confunde con log_a a=1, 1/3 es el valor de 3⁻¹, y 3 simplemente repite la base.

log_2 8=3 y log_2 4=2, así que la suma es 3+2=5, que también es igual a log_2 32 para el producto de los argumentos. La opción 6 multiplica, como 3×2, 12 suma los argumentos, como 8+4, y 1 lo trata como el cociente log_2(8/4).

Por la regla del producto, log_10(5×2)=log_10 10=1. La opción log_10 7 suma los argumentos, como 5+2, log_10 3 los resta, como 5−2, y 10 omite el logaritmo y da solo el producto de los argumentos.

Como √8=8^(1/2), se obtiene log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. La opción 3 ignora el radical y da log_2 8, 1/2 da solo el exponente, y 2√2 es el valor del propio √8.

Por la regla del cociente, log_3(18/2)=log_3 9=2, ya que 3²=9. La opción 9 omite el logaritmo y da solo 18÷2, 16 resta los argumentos, como 18−2, y 1 divide el argumento de más, convirtiendo log_3(18/2) en log_3 3, cuyo valor es 1.

Por la fórmula del cambio de base, log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. La opción 2/3 invierte numerador y denominador, 2 divide como 8÷4, y 1/2 divide como 4÷8.

Como 45=3²×5, se obtiene log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. La opción a+2b descompone 45 erróneamente como 3×5², a+b omite el cuadrado como si 45 fuera 15, y 2ab convierte un coeficiente en una multiplicación.

Por el cambio de base, log_3 4=log_2 4/log_2 3, así que el producto es log_2 4=2. La opción 1 lo confunde con log_2 3×log_3 2=1, un par de recíprocos, mientras que log_2 12 y 12 salen de pensar erróneamente que un producto multiplica los argumentos.

Como 16=2⁴, al comparar los exponentes se obtiene x=4. La opción 8 calcula 16÷2, 32 calcula 16×2, y 2 lo confunde con √16. El paso básico es escribir ambos lados como potencias de la misma base.

Como 1/9=1/3²=3⁻², se obtiene x=−2. La opción 2 olvida el signo menos que acompaña al recíproco, −3 lo confunde con 1/27=3⁻³, y 3 lo confunde con 27. Use 1/aⁿ=a⁻ⁿ para igualar las bases.

Al escribir todo en base 2 se obtiene 2²ˣ=2³, así que 2x=3 y x=3/2. La opción 2/3 resuelve 2x=3 al revés, 2 sale de suponer que 4×2=8, y 4 resta, como 8−4.

Por la definición, x=2⁵=32. La opción 25 intercambia base y exponente, como 5², 10 calcula 2×5, y 7 calcula 2+5. Todo se basa en la reformulación log_a x=p ⇔ x=aᵖ.

Con la condición x−1>0 para el argumento, x−1=3²=9, así que x=10, y efectivamente x−1=9>0 es aceptable. La opción 9 olvida sumar 1, 7 suma 1 a 3×2=6, y 4 lee mal la potencia como 3¹=3 y suma 1.

Como 1/8=(1/2)³, la inecuación es (1/2)ˣ<(1/2)³. La base 1/2 es menor que 1, así que la función es decreciente y el sentido de la desigualdad se invierte, lo que da x>3. La opción x<3 es el error clásico de olvidar la inversión. Comprobación: (1/2)⁴=1/16<1/8.

Observe que −2=log_(1/3) 9, ya que (1/3)⁻²=9. Como la base 1/3 es menor que 1, el sentido de la desigualdad se invierte y da x<9, y junto con la condición del argumento x>0 se obtiene 0<x<9. La opción x>9 olvida la inversión, y 1/9 sale del error de signo (1/3)².

Al poner 2ˣ=t con t>0 se obtiene t²−3t−4=0, es decir, (t−4)(t+1)=0. Como t>0, solo queda t=4, y 2ˣ=4 da x=2. La opción x=2, −1 olvida descartar t=−1, x=4 da el valor de t como solución, y x=1 no se cumple al sustituir, ya que 4−6−4=−6≠0.

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. De 3≦log_10 2¹⁰<4 se obtiene 10³≦2¹⁰<10⁴, así que tiene 4 cifras; en efecto, 2¹⁰=1024. La opción 3 cifras da la parte entera sin sumar 1, y 10 cifras lo confunde con el exponente.

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. De 15≦log_10 2⁵⁰<16 se obtiene 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶, así que tiene 16 cifras. La opción 15 cifras olvida sumar 1 a la parte entera, 50 cifras lo confunde con el exponente, y 17 cifras cuenta una de más.

Al tomar logaritmos decimales en ambos lados se obtiene −0.3010n<−3, así que n>3/0.3010=9.96 y un poco más. El menor número natural que lo cumple es n=10. Comprobación: (1/2)⁹≒0.00195 es mayor que 0.001, y (1/2)¹⁰≒0.00098 es el primero en quedar por debajo. La opción 9 redondea 9.96 hacia abajo, y 3 simplemente da el exponente de 0.001=10⁻³.