Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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Quelle est la valeur de 2⁻³ ?
Un exposant négatif désigne l'inverse : 2⁻³=1/2³=1/8. La réponse −8 vient de croire qu'il faut simplement ajouter un signe moins, 1/6 d'avoir calculé 2×3, et −1/8 de cumuler les deux erreurs.
Quelle est la valeur de 5⁰ ?
Pour a≠0, on a a⁰=1. En effet 5²÷5²=5⁰ et la valeur réelle est 25÷25=1. La réponse 0 vient de l'idée fausse que « puissance zéro donne zéro », et 1/5 d'une confusion avec 5⁻¹.
Quelle est la valeur de 8^(2/3) ?
8^(2/3) est le carré de la racine cubique de 8, soit 2²=4. La réponse 2 s'arrête à 8^(1/3), 16 confond l'exposant avec une multiplication du type 8×2, et 16/3 vient du calcul 8×2/3.
Quel est le résultat du calcul a³ × a⁵ ÷ a², avec a≠0 ?
Les exposants donnent 3+5−2=6, d'où a⁶. La réponse a¹⁰ vient d'avoir aussi additionné pour la division, 3+5+2, a⁸ d'avoir oublié ÷a², c'est-à-dire 3+5, et a⁴ du calcul erroné (3+5)÷2.
Quelle est la valeur de (2³)² × 2⁻⁴ ?
Comme (2³)²=2⁶, on a 2⁶×2⁻⁴=2²=4. La réponse 2 vient d'avoir pris l'exposant 3+2=5, soit 2⁵⁻⁴, 64 d'avoir oublié le facteur 2⁻⁴, soit 2⁶, et 1/4 d'une erreur de signe donnant 2⁻².
Quelle est la valeur de ³√16 × ³√4, où ³√ désigne la racine cubique ?
Le produit de deux racines de même indice est la racine du produit : ³√(16×4)=³√64=4. La réponse 8 vient d'une confusion avec la racine carrée √64, ³√20 d'avoir additionné 16+4, et 2 d'une confusion avec ³√8.
Quel classement range √2, ³√4 et ⁴√8 dans l'ordre croissant, où ³√ et ⁴√ désignent les racines d'indice 3 et 4 ?
En ramenant tout à la base 2 : √2=2^(1/2), ³√4=2^(2/3) et ⁴√8=2^(3/4). La base 2 étant supérieure à 1, l'ordre des exposants 1/2<2/3<3/4 se transmet aux valeurs, d'où √2 < ³√4 < ⁴√8.
Quelle est la valeur de (1/2)⁻² ?
Un exposant négatif désigne l'inverse, donc (1/2)⁻²=2²=4. La réponse 1/4 est (1/2)², obtenue en ignorant le signe ; −4 et −1/4 viennent de l'idée fausse qu'un exposant négatif donnerait un nombre négatif.
Quelle description de la courbe de la fonction exponentielle y = 3ˣ est correcte ?
Comme 3⁰=1, la courbe passe nécessairement par le point (0, 1), et la base 3 étant supérieure à 1, la fonction est croissante. Comme y>0 partout, la courbe ne coupe jamais l'axe des x, qui en est l'asymptote. La fonction est décroissante lorsque la base vérifie 0<a<1.
Si 2ˣ + 2⁻ˣ = 3, quelle est la valeur de 4ˣ + 4⁻ˣ ?
4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, car 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. La réponse 9 vient de l'oubli du terme −2, 11 d'une erreur de signe donnant +2, et 6 du calcul erroné 2×3.
Quelle est la valeur de log_2 8 ?
C'est le nombre qui répond à la question : à quelle puissance faut-il élever 2 pour obtenir 8 ? Comme 2³=8, la réponse est 3. La réponse 4 vient d'avoir divisé 8÷2, 16 d'avoir multiplié 2×8, et 2 d'avoir donné la base elle-même.
Quelle est la valeur de log_3 1 ?
Comme 3⁰=1, on a log_3 1=0. Quelle que soit la base, log_a 1=0. La réponse 1 vient d'une confusion avec log_a a=1, 1/3 est la valeur de 3⁻¹, et 3 reprend simplement la base.
Quelle est la valeur de log_2 8 + log_2 4 ?
log_2 8=3 et log_2 4=2, donc la somme vaut 3+2=5, ce que confirme le passage par le produit des arguments, log_2 32=5. La réponse 6 vient d'avoir multiplié 3×2, 12 d'avoir additionné les arguments 8+4, et 1 d'avoir pris le quotient log_2(8/4).
Quelle est la valeur de log_10 5 + log_10 2 ?
La formule du produit donne log_10(5×2)=log_10 10=1. La réponse log_10 7 vient d'avoir additionné les arguments 5+2, log_10 3 de les avoir soustraits, et 10 d'avoir supprimé le logarithme pour ne garder que le produit des arguments.
Quelle est la valeur de log_2 √8 ?
Comme √8=8^(1/2), on a log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. La réponse 3 ignore la racine et donne log_2 8, 1/2 ne donne que l'exposant, et 2√2 est la valeur de √8 elle-même.
Quelle est la valeur de log_3 18 − log_3 2 ?
La formule du quotient donne log_3(18/2)=log_3 9=2, puisque 3²=9. La réponse 9 supprime le logarithme et ne garde que 18÷2, 16 vient d'avoir soustrait les arguments 18−2, et 1 d'avoir trop divisé en ramenant log_3(18/2) à log_3 3, qui vaut 1.
Quelle est la valeur de log_4 8 ?
La formule de changement de base donne log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. La réponse 2/3 inverse numérateur et dénominateur, 2 vient de la division 8÷4, et 1/2 de la division 4÷8.
Si log_2 3 = a et log_2 5 = b, quelle expression donne log_2 45 en fonction de a et b ?
Comme 45=3²×5, on a log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. La réponse a+2b vient d'une décomposition fautive 45=3×5², a+b de l'oubli du carré, comme si l'on écrivait 3×5=15 à la place de 45, et 2ab d'avoir transformé un coefficient en multiplication.
Quelle est la valeur de log_2 3 × log_3 4 ?
Le changement de base donne log_3 4=log_2 4/log_2 3, donc le produit vaut log_2 4=2. La réponse 1 vient d'une confusion avec log_2 3×log_3 2=1, relation d'inverses, tandis que log_2 12 et 12 reposent sur l'idée fausse qu'un produit de logarithmes multiplierait les arguments.
Quelle est la solution de l'équation 2ˣ = 16 ?
Comme 16=2⁴, l'égalité des exposants donne x=4. La réponse 8 vient du calcul 16÷2, 32 de 16×2, et 2 d'une confusion avec √16. Le principe est d'écrire les deux membres comme des puissances d'une même base.
Quelle est la solution de l'équation 3ˣ = 1/9 ?
Comme 1/9=1/3²=3⁻², on a x=−2. La réponse 2 oublie le signe moins lié à l'inverse, −3 confond avec 1/27=3⁻³, et 3 avec 27. On ramène à une même base grâce à la relation 1/aⁿ=a⁻ⁿ.
Quelle est la solution de l'équation 4ˣ = 8 ?
En ramenant à la base 2 : 2²ˣ=2³, donc 2x=3 et x=3/2. La réponse 2/3 résout 2x=3 à l'envers, 2 provient de l'idée que 4×2=8, et 4 du calcul 8−4.
Quelle est la solution de l'équation log_2 x = 5 ?
Par définition, x=2⁵=32. La réponse 25 intervertit base et exposant en écrivant 5², 10 vient de 2×5, et 7 de 2+5. Tout repose sur l'équivalence log_a x=p ⇔ x=aᵖ.
Quelle est la solution de l'équation log_3 (x−1) = 2 ?
Sous la condition d'existence x−1>0, on a x−1=3²=9, donc x=10, valeur acceptable puisque x−1=9>0. La réponse 9 oublie d'ajouter 1, 7 vient d'avoir calculé 3×2=6 puis ajouté 1, et 4 d'avoir lu 3¹=3 avant d'ajouter 1.
Quelle est la solution de l'inéquation (1/2)ˣ < 1/8 ?
Comme 1/8=(1/2)³, l'inéquation s'écrit (1/2)ˣ<(1/2)³. La base 1/2 étant inférieure à 1, la fonction est décroissante et le sens de l'inégalité s'inverse : x>3. La réponse x<3 correspond à l'oubli classique de cette inversion. On vérifie avec (1/2)⁴=1/16<1/8.
Quelle est la solution de l'inéquation log_(1/3) x > −2 ?
On écrit −2=log_(1/3) 9, puisque (1/3)⁻²=9. La base 1/3 étant inférieure à 1, le sens de l'inégalité s'inverse : x<9, et la condition d'existence x>0 donne finalement 0<x<9. La réponse x>9 oublie l'inversion, et 1/9 provient d'une erreur de signe donnant (1/3)².
Quelle est la solution de l'équation 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0 ?
En posant 2ˣ=t avec t>0, on obtient t²−3t−4=0, soit (t−4)(t+1)=0. Comme t>0, seule la valeur t=4 convient, et de 2ˣ=4 on tire x=2. La réponse « x=2, −1 » vient d'avoir gardé t=−1, x=4 d'avoir donné la valeur de t comme solution, et x=1 ne convient pas puisque 4−6−4=−6≠0.
Avec log_10 2 = 0.3010, combien de chiffres compte 2¹⁰ ?
log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. De 3≦log_10 2¹⁰<4 on tire 10³≦2¹⁰<10⁴, donc 4 chiffres, ce que confirme 2¹⁰=1024. La réponse 3 chiffres reprend la partie entière sans ajouter 1, et 10 chiffres confond avec l'exposant.
Avec log_10 2 = 0.3010, combien de chiffres compte 2⁵⁰ ?
log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. De 15≦log_10 2⁵⁰<16 on tire 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶, donc 16 chiffres. La réponse 15 chiffres oublie d'ajouter 1 à la partie entière, 50 chiffres confond avec l'exposant, et 17 chiffres ajoute 2 de trop.
Avec log_10 2 = 0.3010, quel est le plus petit entier naturel n tel que (1/2)ⁿ < 0.001 ?
En prenant le logarithme décimal des deux membres, −0.3010n<−3, donc n>3/0.3010=9.96…. Le plus petit entier naturel qui convient est n=10. Vérification : (1/2)⁹≒0.00195 est encore supérieur à 0.001, alors que (1/2)¹⁰≒0.00098 passe en dessous. La réponse 9 tronque 9.96…, et 3 reprend l'exposant de 0.001=10⁻³.
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