問1｜負の指数
2⁻³ の値はどれか。
- −8
- 1/8
- 1/6
- −1/8
正解と解説
正解：B. 1/8
負の指数は逆数を表すので 2⁻³=1/2³=1/8。−8 は「マイナスをつける」と誤解したミス、1/6 は 2×3 を計算したミス、−1/8 は両方を混ぜたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
高校数学 HIGH SCHOOL MATH
指数関数・対数関数
この章で学ぶこと
- 0乗・負の指数・分数の指数まで指数の世界を広げ、指数法則で計算を統一し、指数関数のグラフと大小比較まで定期テストの基本を固めます。
- 「2を何乗したら8になるか」に答える数が対数です。定義と3つの性質、底の変換公式で、定期テスト頻出のlog計算を確実に処理します。
- 底をそろえて指数・真数を比べるのが基本方針。底が1より小さいときの不等号の向き、真数条件、桁数問題まで定期テストの頻出を押さえます。
1. 指数の拡張と指数関数
0乗・負の指数・分数の指数まで指数の世界を広げ、指数法則で計算を統一し、指数関数のグラフと大小比較まで定期テストの基本を固めます。
中学までの指数は「2³=2を3回掛ける」でしたが、数学Ⅱでは指数を0・負の数・分数にまで広げます。広げ方の原則はただ1つ、「指数法則 aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ がそのまま成り立つように決める」です。例えば a³×a⁰=a³ が成り立つには a⁰=1 しかなく、a³×a⁻³=a⁰=1 が成り立つには a⁻³=1/a³ しかありません。「0乗は1、マイナス乗は逆数」は暗記ではなく、法則を守った必然の定義です。
分数の指数は累乗根と結びつきます。(a^(1/3))³ = a^(3/3) = a となるはずなので、a^(1/3) は3乗して a になる数、つまり3乗根√a です。一般に a^(m/n) = n乗根√(aᵐ) で、例えば 8^(2/3) は「8の3乗根が2、その2乗で4」と読みます。指数計算のコツは、16=2⁴、8=2³ のように底をそろえて指数だけの足し算・引き算・掛け算に持ち込むことです。
指数関数 y=aˣ（a>0, a≠1）のグラフは必ず点(0, 1)を通り、x軸より上（y>0）にあります。底 a>1 なら右上がりの増加、0<a<1 なら右下がりの減少で、x軸は漸近線です。この「底が1より大きいか小さいか」は、後で不等式の不等号の向きを決める最重要ポイントになります。
大小比較は「底をそろえて指数を比べる」が鉄則です。√2=2^(1/2)、3乗根√4=2^(2/3)、4乗根√8=2^(3/4) のように全部を2の累乗で表せば、底2>1 だから指数 1/2 < 2/3 < 3/4 の順がそのまま値の大小になります。底が 0<a<1 のときは指数の大小と値の大小が逆になることに注意してください。
| 定義・法則 | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 0乗 | a⁰ = 1 | 5⁰ = 1 |
| 負の指数 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| 分数の指数 | a^(m/n) = n乗根√(aᵐ) | 8^(2/3) = 4 |
| 積 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³×2² = 2⁵ |
| 商 | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵÷2³ = 2² |
| 累乗の累乗 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)² = 2⁶ |
底をそろえる計算の型（16^(3/4) の場合）16 = 2⁴ と底2で表す16^(3/4) = (2⁴)^(3/4) = 2^(4×3/4) = 2³よって 16^(3/4) = 8大小比較も同じ: すべて aˣ の形にして指数を比べる（a>1 なら指数が大きいほど大きい）
用語
- 0乗・負の指数
- a≠0 のとき a⁰=1、a⁻ⁿ=1/aⁿ。指数法則 aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ が指数0や負の数でも成り立つように定めた定義。
- 有理数の指数
- a>0 のとき a^(m/n)=n乗根√(aᵐ)。分母が累乗根の指数、分子が累乗を表す。例: 8^(2/3)=(3乗根√8)²=4。
- 指数法則
- aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ、aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ、(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ、(ab)ⁿ=aⁿbⁿ。指数を拡張してもすべて成り立つ。
- 指数関数
- y=aˣ（a>0, a≠1）の形の関数。必ず点(0, 1)を通り、つねに y>0。a>1 で増加、0<a<1 で減少。
- 漸近線
- グラフが限りなく近づくが交わらない直線。指数関数 y=aˣ では x軸（直線 y=0）が漸近線になる。
- 累乗根
- n乗すると a になる数を a の n乗根といい、正の実数の範囲では n乗根√a と書く。a^(1/n) と同じもの。
例題
例題：16^(3/4) の値を求めよ。
答えと考え方 16=2⁴ より 16^(3/4)=(2⁴)^(3/4)=2³=8。底をそろえてから指数の掛け算 4×3/4=3 をするのがポイント。
例題：(1/4)^(−3/2) の値を求めよ。
答えと考え方 負の指数は逆数にして (1/4)^(−3/2)=4^(3/2)=(2²)^(3/2)=2³=8。「マイナス乗=逆数」「分数乗=累乗根」を順に処理する。
例題：3つの数 2^0.5、2^0.3、2^0.8 を大きい順に並べよ。
答えと考え方 底2>1 なので指数が大きいほど値も大きい。よって 2^0.8 > 2^0.5 > 2^0.3。底が1より小さいときは逆順になることに注意。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
2. 対数の定義と性質（積・商・累乗、底の変換）
「2を何乗したら8になるか」に答える数が対数です。定義と3つの性質、底の変換公式で、定期テスト頻出のlog計算を確実に処理します。
log_2 8（「ログ2の8」と読みます）は「2を何乗したら8になるか」という問いの答えで、2³=8 だから log_2 8=3 です。一般に a>0, a≠1, M>0 のとき、aᵖ=M ⇔ p=log_a M と定義します。a を底、M を真数といい、真数は必ず正でなければなりません（aᵖ はつねに正なので）。この「指数と対数の言い換え」が全ての出発点です。
対数の3性質、①log_a MN = log_a M + log_a N（積は和に）②log_a M/N = log_a M − log_a N（商は差に）③log_a Mᵏ = k log_a M（累乗は係数に）は、すべて指数法則の翻訳です。例えば aᵐ×aⁿ=aᵐ⁺ⁿ の両辺を対数で読み替えると①になります。掛け算を足し算に変える性質こそ、対数が計算道具として生まれた理由です。
よくあるミスは log_a (M+N) を log_a M + log_a N としてしまうことです。和の対数を分解する公式はありません。分解できるのは真数の積・商・累乗だけ、と強く意識してください。逆に log_2 8 + log_2 4 のような和は、真数の積 log_2 32 にまとめてから計算すると速く正確です。
底が異なる対数は、底の変換公式 log_a b = log_c b / log_c a で共通の底 c にそろえます。例えば log_4 8 は底2にそろえて log_2 8 / log_2 4 = 3/2 と計算できます。分子が「真数側」、分母が「底側」で、逆にすると逆数になってしまうのが定番ミスです。log_a b × log_b a = 1 という逆数の関係も覚えておくと検算に使えます。
| 性質 | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 定義 | aᵖ = M ⇔ p = log_a M | 2³=8 ⇔ log_2 8=3 |
| 1の対数 | log_a 1 = 0 | log_3 1 = 0 |
| 底自身の対数 | log_a a = 1 | log_5 5 = 1 |
| 積の対数 | log_a MN = log_a M + log_a N | log_2 8+log_2 4=log_2 32=5 |
| 商の対数 | log_a M/N = log_a M − log_a N | log_3 18−log_3 2=log_3 9=2 |
| 累乗の対数 | log_a Mᵏ = k log_a M | log_2 √8=(1/2)log_2 8=3/2 |
| 底の変換 | log_a b = log_c b / log_c a | log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2 |
log計算の型（log_2 8 + log_2 4 の場合）和は真数の積にまとめる: log_2 (8×4) = log_2 3232 = 2⁵ なので log_2 32 = 5別解: log_2 8=3、log_2 4=2 を先に求めて 3+2=5注意: log_a(M+N) は分解できない（積・商・累乗だけ）
用語
- 対数
- aᵖ=M となる指数 p のこと。p=log_a M と書き、「a を底とする M の対数」と読む。指数の言い換えにすぎない。
- 底・真数
- log_a M の a が底、M が真数。底は a>0 かつ a≠1、真数は M>0 という条件（真数条件）が必要。
- 真数条件
- 対数 log_a M が定義されるための条件 M>0。対数方程式・不等式では、解く前に必ず確認する。
- 積・商・累乗の公式
- log_a MN=log_a M+log_a N、log_a M/N=log_a M−log_a N、log_a Mᵏ=k log_a M。指数法則を対数の言葉に翻訳したもの。
- 底の変換公式
- log_a b = log_c b / log_c a。底の違う対数を共通の底 c にそろえる公式。分子が真数側・分母が底側。
例題
例題：log_10 4 + log_10 25 の値を求めよ。
答えと考え方 真数の積にまとめて log_10 (4×25)=log_10 100=2。10²=100 だから。バラバラのままでは求められない値でも、まとめると整数になる典型例。
例題：log_2 12 − log_2 3 の値を求めよ。
答えと考え方 商にまとめて log_2 (12/3)=log_2 4=2。真数を引いて log_2 9 とするのは誤り。差は「真数の割り算」に対応する。
例題：log_9 27 の値を求めよ。
答えと考え方 底の変換公式で底3にそろえる。log_9 27=log_3 27/log_3 9=3/2。9=3²、27=3³ と、9と27がどちらも3の累乗であることに注目する。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
3. 指数・対数の方程式・不等式と常用対数
底をそろえて指数・真数を比べるのが基本方針。底が1より小さいときの不等号の向き、真数条件、桁数問題まで定期テストの頻出を押さえます。
指数方程式は「底をそろえて指数を比べる」で解きます。4ˣ=8 なら両辺を底2で表して 2²ˣ=2³、指数を比べて 2x=3、x=3/2 です。4ˣ−3·2ˣ−4=0 のような式は 2ˣ=t（t>0）と置き換えると t の2次方程式になります。このとき t>0 の条件を忘れず、負の解は捨てるのが定番の注意点です。
対数方程式 log_a x = p は定義どおり x = aᵖ に直すだけです。ただし解く前に必ず真数条件（真数>0）を確認します。log_3 (x−1)=2 なら x−1>0 のもとで x−1=3²=9、x=10 です。真数条件を書き忘れても答えが合うことはありますが、余分な解を含んでしまう問題で失点します。
不等式では底の大きさが決定的です。底 a>1 のときは大小の向きがそのまま保たれますが、0<a<1 のときは指数関数・対数関数が減少するため、指数・真数を比べる際に不等号の向きが逆転します。例えば (1/2)ˣ < 1/8 = (1/2)³ は、底1/2<1 なので x > 3 です。「底が1より小さければひっくり返す」を作業手順として固定しましょう。
10を底とする対数を常用対数といい、桁数の問題で活躍します。Nの整数部分が k 桁 ⇔ 10^(k−1) ≦ N < 10ᵏ ⇔ k−1 ≦ log_10 N < k なので、「log_10 N の整数部分+1が桁数」です。例えば log_10 2=0.3010 とすると log_10 2¹⁰=3.010 なので 2¹⁰ は4桁（実際1024）。小数のときは (1/2)ⁿ<0.001 のように常用対数をとって n の範囲を求めます。
| 型 | 手順 | 例 |
|---|---|---|
| 指数方程式 | 底をそろえ、指数を比較 | 4ˣ=8 → 2²ˣ=2³ → x=3/2 |
| 対数方程式 | 真数条件→定義で指数の形に | log_3(x−1)=2 → x−1=9 → x=10 |
| 指数不等式(底>1) | 指数の大小はそのまま | 2ˣ<2³ → x<3 |
| 指数不等式(底<1) | 不等号の向きを逆転 | (1/2)ˣ<(1/2)³ → x>3 |
| 対数不等式(底<1) | 真数条件+向きを逆転 | log_(1/3)x>−2 → 0<x<9 |
| 桁数 | log_10 N の整数部分+1 | log_10 2¹⁰=3.010 → 4桁 |
桁数問題の型（2⁵⁰ の桁数、log_10 2=0.3010）log_10 2⁵⁰ = 50 × log_10 2 = 50 × 0.3010 = 15.0515 ≦ log_10 2⁵⁰ < 16 なので 10¹⁵ ≦ 2⁵⁰ < 10¹⁶よって 2⁵⁰ は 16桁覚え方: 常用対数の整数部分 15 に 1 を足す
用語
- 指数方程式・不等式
- aˣ を含む方程式・不等式。底をそろえて指数を比較する。0<a<1 の不等式では不等号の向きが逆転する。
- 対数方程式・不等式
- log_a x を含む方程式・不等式。真数条件を確認してから、定義で指数の形に直す。底<1 なら向きが逆転。
- 置き換え（2ˣ=t）
- 4ˣ−3·2ˣ−4=0 型で 2ˣ=t とおくと t の2次方程式になる。2ˣ>0 なので t>0 の解だけを採用する。
- 常用対数
- 10を底とする対数 log_10 N。log_10 2=0.3010、log_10 3=0.4771 などの近似値が問題で与えられる。
- 桁数
- k−1 ≦ log_10 N < k のとき N の整数部分は k 桁。「常用対数の整数部分+1」が桁数になる。
例題
例題：方程式 9ˣ = 27 を解け。
答えと考え方 底3にそろえて 3²ˣ=3³、2x=3 より x=3/2。9=3²、27=3³ と、両辺を同じ底の累乗で表すのが第一手。
例題：方程式 log_2 (x+1) = 3 を解け。
答えと考え方 真数条件 x+1>0 のもとで、定義から x+1=2³=8、よって x=7。これは x+1=8>0 を満たすので適する。
例題：3ⁿ が 10000 を超える最小の自然数 n を求めよ（log_10 3=0.4771）。
答えと考え方 3ⁿ>10⁴ の両辺の常用対数をとると 0.4771n>4、n>8.38…。よって n=9。検算: 3⁸=6561 は超えず、3⁹=19683 で超える。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
確認問題（30問）
問2｜0乗
5⁰ の値はどれか。
- 1
- 0
- 5
- 1/5
正解と解説
正解：A. 1
a≠0 のとき a⁰=1。5²÷5²=5⁰ であり、実際の値は 25÷25=1 だから。0 は「0乗だから0」という定番の誤解、1/5 は 5⁻¹ との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問3｜有理数の指数
8^(2/3) の値はどれか。
- 2
- 16
- 4
- 16/3
正解と解説
正解：C. 4
8^(2/3)=(3乗根√8)²=2²=4。2 は 8^(1/3) で止めたミス、16 は 8×2 のように指数を掛け算と混同したミス、16/3 は 8×2/3 と計算したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問4｜指数法則
a³ × a⁵ ÷ a² を計算した結果はどれか（a≠0）。
- a¹⁰
- a⁸
- a⁴
- a⁶
正解と解説
正解：D. a⁶
指数は 3+5−2=6 なので a⁶。a¹⁰ は割り算まで足した 3+5+2、a⁸ は ÷a² を忘れた 3+5、a⁴ は (3+5)÷2 と誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問5｜累乗の累乗
(2³)² × 2⁻⁴ の値はどれか。
- 4
- 2
- 64
- 1/4
正解と解説
正解：A. 4
(2³)²=2⁶ なので 2⁶×2⁻⁴=2²=4。2 は (2³)² の指数を 3+2=5 とした 2⁵⁻⁴、64 は 2⁻⁴ を掛け忘れた 2⁶、1/4 は符号処理を誤った 2⁻²。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問6｜累乗根の計算
3乗根√16 × 3乗根√4 の値はどれか。
- 2
- 4
- 8
- 3乗根√20
正解と解説
正解：B. 4
累乗根の積は真数の積: 3乗根√(16×4)=3乗根√64=4。8 は √64（平方根）と混同したミス、3乗根√20 は 16+4 と足したミス、2 は 3乗根√8 との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問7｜大小比較
√2、3乗根√4、4乗根√8 を小さい順に並べたものはどれか。
- 4乗根√8 < 3乗根√4 < √2
- 3乗根√4 < √2 < 4乗根√8
- √2 < 3乗根√4 < 4乗根√8
- √2 < 4乗根√8 < 3乗根√4
正解と解説
正解：C. √2 < 3乗根√4 < 4乗根√8
底2にそろえると √2=2^(1/2)、3乗根√4=2^(2/3)、4乗根√8=2^(3/4)。底2>1 なので指数 1/2<2/3<3/4 の順がそのまま値の大小になり √2 < 3乗根√4 < 4乗根√8。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問8｜分数の累乗
(1/2)⁻² の値はどれか。
- −4
- 1/4
- −1/4
- 4
正解と解説
正解：D. 4
負の指数は逆数なので (1/2)⁻²=2²=4。1/4 は符号を無視した (1/2)²、−4・−1/4 は「マイナス乗=マイナスの数」という誤解から出るミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問9｜グラフの性質
指数関数 y = 3ˣ のグラフの説明として正しいものはどれか。
- 点(0, 1)を通り、つねに増加する
- 点(0, 0)を通り、つねに増加する
- 点(0, 1)を通り、つねに減少する
- x軸と1点で交わる
正解と解説
正解：A. 点(0, 1)を通り、つねに増加する
3⁰=1 なので必ず点(0, 1)を通り、底3>1 だから増加。つねに y>0 なので x軸（漸近線）とは交わらない。減少するのは底が 0<a<1 のとき。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問10｜対称式の値
2ˣ + 2⁻ˣ = 3 のとき、4ˣ + 4⁻ˣ の値はどれか。
- 9
- 7
- 11
- 6
正解と解説
正解：B. 7
4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7（2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1）。9 は −2 を忘れたミス、11 は +2 とした符号ミス、6 は 2×3 と誤った値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問11｜対数の定義
log_2 8 の値はどれか。
- 4
- 2
- 3
- 16
正解と解説
正解：C. 3
「2を何乗したら8か」に答える数で、2³=8 だから 3。4 は 8÷2 と割ったミス、16 は 2×8 と掛けたミス、2 は底をそのまま答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問12｜log 1 の値
log_3 1 の値はどれか。
- 0
- 1
- 3
- 1/3
正解と解説
正解：A. 0
3⁰=1 なので log_3 1=0。どんな底でも log_a 1=0。1 は log_a a=1 との混同、1/3 は 3⁻¹ の値、3 は底をそのまま答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問13｜対数の和
log_2 8 + log_2 4 の値はどれか。
- 6
- 5
- 12
- 1
正解と解説
正解：B. 5
log_2 8=3、log_2 4=2 より 3+2=5（真数の積 log_2 32=5 でも同じ）。6 は 3×2 と掛けたミス、12 は真数を 8+4 と足したミス、1 は log_2(8/4) と商にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問14｜常用対数の和
log_10 5 + log_10 2 の値はどれか。
- log_10 7
- 10
- log_10 3
- 1
正解と解説
正解：D. 1
積の公式で log_10(5×2)=log_10 10=1。log_10 7 は真数を 5+2 と足したミス、log_10 3 は 5−2 と引いたミス、10 は log を外して真数の積だけ答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問15｜累乗の対数
log_2 √8 の値はどれか。
- 3/2
- 3
- 2√2
- 1/2
正解と解説
正解：A. 3/2
√8=8^(1/2) なので log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2。3 は √ を無視した log_2 8、1/2 は指数だけ答えたミス、2√2 は √8 の値そのもの。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問16｜対数の差
log_3 18 − log_3 2 の値はどれか。
- 9
- 16
- 2
- 1
正解と解説
正解：C. 2
商の公式で log_3(18/2)=log_3 9=2（3²=9）。9 は log を外して 18÷2 だけ答えたミス、16 は真数を 18−2 と引いたミス、1 は log_3(18/2) を log_3 3 と真数まで割り過ぎたミス（log_3 3=1）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問17｜底の変換
log_4 8 の値はどれか。
- 2
- 1/2
- 2/3
- 3/2
正解と解説
正解：D. 3/2
底の変換公式で log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2。2/3 は分子と分母を逆にしたミス、2 は 8÷4 と割ったミス、1/2 は 4÷8 と割ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問18｜対数と文字
log_2 3 = a、log_2 5 = b とするとき、log_2 45 を a、b で表したものはどれか。
- 2a + b
- a + 2b
- a + b
- 2ab
正解と解説
正解：A. 2a + b
45=3²×5 なので log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b。a+2b は 45=3×5² と誤分解したミス、a+b は 45=15 のように2乗を落としたミス、2ab は係数を掛け算にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問19｜底の変換の積
log_2 3 × log_3 4 の値はどれか。
- log_2 12
- 2
- 1
- 12
正解と解説
正解：B. 2
底の変換で log_3 4=log_2 4/log_2 3 だから、積は log_2 4=2。1 は log_2 3×log_3 2=1（逆数の関係）との混同、log_2 12 や 12 は「積だから真数を掛ける」と誤解したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問20｜指数方程式
方程式 2ˣ = 16 の解はどれか。
- x = 8
- x = 2
- x = 4
- x = 32
正解と解説
正解：C. x = 4
16=2⁴ なので指数を比べて x=4。8 は 16÷2、32 は 16×2 と計算したミス、2 は √16 との混同。両辺を同じ底の累乗で表すのが基本。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問21｜指数と分数
方程式 3ˣ = 1/9 の解はどれか。
- x = 2
- x = −3
- x = 3
- x = −2
正解と解説
正解：D. x = −2
1/9=1/3²=3⁻² なので x=−2。2 は逆数のマイナスを忘れたミス、−3 は 1/27=3⁻³ との混同、3 は 27 との混同。「1/aⁿ=a⁻ⁿ」で底をそろえる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問22｜底をそろえる
方程式 4ˣ = 8 の解はどれか。
- x = 3/2
- x = 2/3
- x = 2
- x = 4
正解と解説
正解：A. x = 3/2
底2にそろえると 2²ˣ=2³、2x=3 より x=3/2。2/3 は 2x=3 を x=2/3 と逆に解いたミス、2 は 4×2=8 からの思い込み、4 は 8−4 と引いたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問23｜対数方程式
方程式 log_2 x = 5 の解はどれか。
- x = 25
- x = 32
- x = 10
- x = 7
正解と解説
正解：B. x = 32
定義から x=2⁵=32。25 は 5² と底と指数を逆にしたミス、10 は 2×5、7 は 2+5 と計算したミス。log_a x=p ⇔ x=aᵖ の言い換えがすべて。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問24｜真数を求める
方程式 log_3 (x−1) = 2 の解はどれか。
- x = 9
- x = 7
- x = 10
- x = 4
正解と解説
正解：C. x = 10
真数条件 x−1>0 のもとで x−1=3²=9、よって x=10（x−1=9>0 で適する）。9 は +1 を忘れたミス、7 は 3×2=6 に1を足したミス、4 は 3¹=3 と誤読して1を足したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問25｜指数不等式
不等式 (1/2)ˣ < 1/8 の解はどれか。
- x < 3
- x > −3
- x < −3
- x > 3
正解と解説
正解：D. x > 3
1/8=(1/2)³ なので (1/2)ˣ<(1/2)³。底 1/2 は1より小さく減少関数だから、不等号の向きを逆転して x>3。x<3 は向きの逆転を忘れた定番ミス。実際 (1/2)⁴=1/16<1/8 で確認できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問26｜対数不等式
不等式 log_(1/3) x > −2 の解はどれか。
- x > 9
- 0 < x < 9
- x > 1/9
- 0 < x < 1/9
正解と解説
正解：B. 0 < x < 9
−2=log_(1/3) 9（(1/3)⁻²=9）。底 1/3<1 なので不等号の向きを逆転して x<9、真数条件 x>0 と合わせて 0<x<9。x>9 は向きの逆転忘れ、1/9 は (1/3)² と符号を誤った値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問27｜置き換え
方程式 4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0 の解はどれか。
- x = 2
- x = 2, x = −1
- x = 4
- x = 1
正解と解説
正解：A. x = 2
2ˣ=t（t>0）とおくと t²−3t−4=0、(t−4)(t+1)=0。t>0 より t=4 のみで、2ˣ=4 から x=2。「x=2, −1」は t=−1 を捨て忘れたミス、x=4 は t の値をそのまま解としたミス、x=1 は代入すると 4−6−4=−6≠0 で不成立。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問28｜桁数の基本
log_10 2 = 0.3010 とするとき、2¹⁰ の桁数はどれか。
- 3桁
- 10桁
- 4桁
- 5桁
正解と解説
正解：C. 4桁
log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010。3≦log_10 2¹⁰<4 より 10³≦2¹⁰<10⁴ で4桁（実際 2¹⁰=1024）。3桁は整数部分をそのまま答えて +1 を忘れたミス、10桁は指数との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問29｜桁数
log_10 2 = 0.3010 とするとき、2⁵⁰ の桁数はどれか。
- 15桁
- 50桁
- 17桁
- 16桁
正解と解説
正解：D. 16桁
log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05。15≦log_10 2⁵⁰<16 より 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶ で16桁。15桁は整数部分に +1 するのを忘れたミス、50桁は指数との混同、17桁は +2 と数え過ぎたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
問30｜不等式と桁
log_10 2 = 0.3010 とするとき、(1/2)ⁿ < 0.001 となる最小の自然数 n はどれか。
- n = 9
- n = 10
- n = 11
- n = 3
正解と解説
正解：B. n = 10
両辺の常用対数をとると −0.3010n<−3、n>3/0.3010=9.96…。これを満たす最小の自然数は n=10。検算: (1/2)⁹≒0.00195 は 0.001 より大きく、(1/2)¹⁰≒0.00098 で初めて下回る。9 は 9.96… を切り捨てたミス、3 は 0.001=10⁻³ の指数をそのまま答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（3）指数関数・対数関数
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