問1｜導関数の基本
y = x³ の導関数はどれか。
- y′ = 3x²
- y′ = x²
- y′ = 3x³
- y′ = 2x
正解と解説
正解：A. y′ = 3x²
(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ より (x³)′=3x²。x² は指数を前に下ろし忘れたミス、3x³ は次数を下げ忘れたミス、2x は (x²)′ との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
高校数学 HIGH SCHOOL MATH
微分と積分
この章で学ぶこと
- 平均変化率の極限として微分係数を定義し、xⁿ の微分公式で導関数を機械的に求め、定期テスト最頻出の接線の方程式まで仕上げます。
- 導関数の符号から増減表を作り、極大・極小を読み取ります。区間つきの最大最小は「極値と端点をぜんぶ並べて比べる」が鉄則です。
- 3次方程式の実数解の個数は、グラフと直線の共有点の個数として目で数えます。極値の符号・定数分離という2大手法を身につけます。
- 微分の逆演算として積分を導入し、積分定数・定積分の計算を固めます。面積は「上の式から下の式を引いて積分」、放物線と直線には1/6公式も紹介します。
1. 微分係数と導関数・接線の方程式
平均変化率の極限として微分係数を定義し、xⁿ の微分公式で導関数を機械的に求め、定期テスト最頻出の接線の方程式まで仕上げます。
関数 f(x) で x が a から b まで変わるときの平均変化率は (f(b)−f(a))/(b−a)、つまり2点を結ぶ直線の傾きです。b を a に限りなく近づけたときの極限値が微分係数 f′(a) で、これは y=f(x) のグラフの x=a における接線の傾きを表します。「平均の傾きを1点に凝縮したものが微分係数」というイメージが土台です。
各点 x に微分係数 f′(x) を対応させる関数を導関数といい、f(x) から f′(x) を求めることを微分するといいます。公式は (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹（指数を前に下ろして次数を1つ下げる）、定数の微分は0、そして (kf+lg)′=kf′+lg′ の線形性です。例えば y=3x²−4x+5 なら y′=6x−4 で、定数項5は消えます。
接線の方程式は「傾きと通る点」で決まります。曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線は、傾き f′(a) だから y−f(a)=f′(a)(x−a) です。手順は①微分して f′(x) を作る ②x=a を代入して傾きを出す ③点と傾きで直線の式を書く、の3ステップに固定しましょう。
曲線外の点から引く接線では、接点が分からないので接点の x座標を t とおきます。接点 (t, f(t)) での接線 y−f(t)=f′(t)(x−t) が与えられた点を通る条件から t の方程式を作って解くのが定石です。t が2つ出れば接線も2本あります。
| 対象 | 公式 | 例 |
|---|---|---|
| xⁿ の微分 | (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ | (x³)′=3x² |
| 定数の微分 | (c)′ = 0 | (5)′=0 |
| 定数倍・和 | (kf+lg)′ = kf′+lg′ | (3x²−4x)′=6x−4 |
| 微分係数 | f′(a) = x=a での接線の傾き | f(x)=x²−3x なら f′(2)=1 |
| 接線 | y−f(a) = f′(a)(x−a) | y=x² の (1,1) で y=2x−1 |
接線の方程式の3ステップ（y=x²、点(1, 1) の場合）① 微分する: y′ = 2x② 傾きを出す: x=1 を代入して f′(1) = 2③ 点と傾きで書く: y − 1 = 2(x − 1)整理して y = 2x − 1
用語
- 平均変化率
- x が a から b まで変わるときの (f(b)−f(a))/(b−a)。グラフ上の2点を結ぶ直線の傾き。
- 極限値
- h を限りなく0に近づけたときに式が近づく値。lim_h→0 (f(a+h)−f(a))/h の形で微分係数を定める。
- 微分係数 f′(a)
- x=a における接線の傾き。平均変化率の b→a の極限値で、その点での瞬間の変化の割合を表す。
- 導関数
- 各 x に微分係数を対応させた関数 f′(x)。求める操作を「微分する」という。(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹、定数の微分は0。
- 接線の方程式
- 曲線上の点 (a, f(a)) における接線は y−f(a)=f′(a)(x−a)。傾きが微分係数 f′(a) になる。
例題
例題：y = x² − 4x を微分せよ。
答えと考え方 y′=2x−4。x² は指数2を前に下ろして 2x、−4x は係数だけ残って −4、定数項があれば消える。
例題：f(x) = 2x² のとき f′(3) を求めよ。
答えと考え方 f′(x)=4x なので f′(3)=12。まず導関数を作り、それから x=3 を代入する順番を守る（先に代入すると定数になり微分できない）。
例題：曲線 y = x³ 上の点 (1, 1) における接線の方程式を求めよ。
答えと考え方 y′=3x² より傾きは f′(1)=3。y−1=3(x−1) を整理して y=3x−2。x=1 を代入すると y=1 で、確かに点(1, 1)を通る。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
2. 関数の増減と極値・最大最小
導関数の符号から増減表を作り、極大・極小を読み取ります。区間つきの最大最小は「極値と端点をぜんぶ並べて比べる」が鉄則です。
導関数 f′(x) の符号は接線の傾きの符号なので、f′(x)>0 の区間で f(x) は増加し、f′(x)<0 の区間で減少します。この対応を表にしたものが増減表です。f′(x)=0 となる x を境に符号を調べ、x・f′(x)・f(x) の3段で矢印（増加↗・減少↘）を書き込みます。
f′(x) の符号が正から負に変わる点で f(x) は極大、負から正に変わる点で極小となります。例えば y=x³−3x は y′=3(x+1)(x−1) なので、x=−1 で極大値2、x=1 で極小値−2 です。注意すべきは f′(a)=0 だけでは極値と言えないこと。y=x³ は x=0 で y′=0 ですが符号が変わらないので極値ではありません。
極値は「その点の近くでいちばん大きい（小さい）」という局所的な概念で、最大値・最小値は「範囲全体でいちばん」という大域的な概念です。定義域に制限のある最大最小問題では、①区間内の極値 ②区間の両端の値、の候補をすべて計算して比べます。3次関数では端点が極値より大きい（小さい）ことがよくあり、極値だけ見ると失点します。
文字係数を含む問題では、「極値をもつ ⇔ f′(x)=0 が異なる2つの実数解をもつ ⇔ 判別式D>0」が頻出です。D=0 では重解となり符号が変わらないため極値をもちません。また「極小値が与えられて係数を決める」問題は、極小となる x を求めて代入し、方程式を解きます。
| x | … | −1 | … | 1 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| y′ | + | 0 | − | 0 | + |
| y | ↗ | 極大 2 | ↘ | 極小 −2 | ↗ |
増減・極値の手順（y = x³ − 3x の場合）① 微分: y′ = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1)② y′=0 を解く: x = −1, 1③ 符号を調べる: x<−1 で+、−1<x<1 で−、x>1 で+④ 増減表から x=−1 で極大値 2、x=1 で極小値 −2最大最小は、極値と区間の端点の値をすべて比べる
用語
- 増減表
- f′(x)=0 の点で区切り、各区間の f′(x) の符号と f(x) の増減（↗↘）を整理した表。グラフの概形の設計図。
- 極大・極小
- f′(x) の符号が正→負に変わる点が極大、負→正が極小。その点の近くでの最大・最小を表す局所的な概念。
- 極値
- 極大値と極小値の総称。f′(a)=0 は必要だが、符号が変わらなければ極値ではない（例: y=x³ の x=0）。
- 最大値・最小値
- 定義域全体でいちばん大きい・小さい値。区間つきなら極値と端点の値をすべて比べて決める。
- 極値をもつ条件
- 3次関数 f(x) が極値をもつ ⇔ f′(x)=0 が異なる2実数解をもつ ⇔ 判別式 D>0。D=0 は重解で極値なし。
例題
例題：y = x³ − 12x の極値を求めよ。
答えと考え方 y′=3x²−12=3(x+2)(x−2)。x=−2 で極大値 (−8)+24=16、x=2 で極小値 8−24=−16。増減表で符号の変化（+→−が極大、−→+が極小）を確認する。
例題：f(x) = x³ − 3x² + 2（0 ≦ x ≦ 3）の最大値・最小値を求めよ。
答えと考え方 f′=3x(x−2)。候補は f(0)=2、f(2)=−2、f(3)=2。よって最大値2（x=0, 3）、最小値−2（x=2）。端点も必ず候補に入れるのがポイント。
例題：y = x³ + ax² + 3x が極値をもたないような a の範囲を求めよ。
答えと考え方 y′=3x²+2ax+3 が符号を変えなければよいので判別式 D/4=a²−9≦0、つまり −3≦a≦3。極値を「もつ」条件 D>0 の否定として考える。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
3. 3次関数のグラフと方程式への応用
3次方程式の実数解の個数は、グラフと直線の共有点の個数として目で数えます。極値の符号・定数分離という2大手法を身につけます。
3次関数 y=ax³+… のグラフは、a>0 なら左下から右上へ、a<0 なら左上から右下へ進みます。極値をもつ場合は山と谷が1つずつでき、もたない場合（y=x³ など）は一方向に進み続けます。y=x³ のグラフは原点に関して対称で、つねに増加することも押さえておきましょう。
方程式 f(x)=0 の異なる実数解の個数は、y=f(x) のグラフと x軸の共有点の個数です。極値をもつ3次関数では、（極大値）×（極小値）の符号で分類できます: 極大値と極小値が異符号なら3個、どちらかが0なら2個（x軸に接する）、同符号なら1個。例えば x³−3x+1=0 は極大値3>0、極小値−1<0 なので実数解は3個です。
文字定数 a を含む方程式は、a を片側に分離して f(x)=a の形にする「定数分離」が強力です。解の個数は y=f(x) のグラフと水平な直線 y=a の共有点の個数になり、a を動かしながら本数を数えられます。x³−3x=a なら極大2・極小−2 なので、−2<a<2 のとき3個、a=±2 のとき2個、それ以外は1個です。
端の値を含むかどうかのミスが頻出です。a が極大値・極小値と一致するときは重解が生じて解の個数が減るので、「3個」の答えに等号を含めてはいけません。また「異なる実数解」と言われたら、重解は1個と数えることにも注意してください。
| 極大値と極小値 | グラフとx軸 | 実数解の個数 |
|---|---|---|
| 異符号（極大>0 かつ 極小<0） | 3点で交わる | 3個 |
| 一方が 0 | 1点で接し1点で交わる | 2個 |
| 同符号 | 1点で交わる | 1個 |
| 極値をもたない | 1点で交わる | 1個 |
定数分離の手順（x³ − 3x = a の場合）① 左辺を f(x)=x³−3x とおき、y=f(x) と y=a の共有点を考える② f′=3(x+1)(x−1) → 極大 f(−1)=2、極小 f(1)=−2③ 水平線 y=a を上下に動かして共有点を数える−2 < a < 2 のとき 3個 / a=±2 のとき 2個 / それ以外 1個
用語
- 3次関数のグラフ
- x³の係数が正なら左下から右上へ。極値をもてば山と谷が1つずつ。y=x³ は原点対称でつねに増加。
- 共有点
- 2つのグラフが共有する点。方程式 f(x)=g(x) の実数解は y=f(x) と y=g(x) の共有点の x座標。
- 極値の符号による分類
- 3次方程式 f(x)=0 の異なる実数解は、極大値と極小値が異符号なら3個、一方が0なら2個、同符号なら1個。
- 定数分離
- f(x)=a の形に直し、y=f(x) と水平線 y=a の共有点で解の個数を数える方法。a の範囲問題の定石。
- 重解
- グラフが x軸に接するときに生じる解。「異なる実数解の個数」では1個と数える。
例題
例題：方程式 x³ − 3x² + 1 = 0 の異なる実数解の個数を求めよ。
答えと考え方 f(x)=x³−3x²+1 は f′=3x(x−2) で、極大 f(0)=1>0、極小 f(2)=−3<0。極値が異符号なので3個。
例題：方程式 x³ = 3x + a が異なる2個の実数解をもつ a の値を求めよ。
答えと考え方 x³−3x=a と分離。極大2・極小−2 なので、y=a が山頂か谷底をちょうど通る a=2、a=−2 のとき2個（1つは重解）。
例題：y = x³ のグラフと y = x³ − 3x のグラフの違いを説明せよ。
答えと考え方 y=x³ は y′=3x²≧0 でつねに増加し極値をもたないが、y=x³−3x は y′=0 が2解をもち極大・極小が現れる。同じ3次でも導関数の符号変化の有無で形が変わる。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
4. 不定積分・定積分と面積
微分の逆演算として積分を導入し、積分定数・定積分の計算を固めます。面積は「上の式から下の式を引いて積分」、放物線と直線には1/6公式も紹介します。
微分すると f(x) になる関数を f(x) の不定積分（原始関数）といい、∫f(x)dx と書きます。(x³)′=3x² の逆読みで ∫3x²dx=x³+C です。微分すると消える定数の分だけ答えに幅があるので、積分定数 C を必ず添えます。公式は ∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+C、「指数を1つ上げて、上げた指数で割る」です。C の書き忘れは定期テストの定番減点です。
定積分 ∫[a→b]f(x)dx は、不定積分の1つを F(x) として F(b)−F(a) で計算します。[F(x)] の記号で上端の値から下端の値を引きます。下端の代入を忘れる・引き算の符号を間違えるのが2大ミスです。定積分は値が1つに決まるので積分定数は不要です。
曲線 y=f(x) と x軸の間の面積は、f(x)≧0 の区間では S=∫f(x)dx ですが、f(x)≦0 の区間では積分値が負になるため S=−∫f(x)dx とします。2曲線の間の面積は「（上の式）−（下の式）」を交点から交点まで積分します。どちらが上かをグラフの概形か代入で確認してから立式するのが安全です。
放物線 y=ax²+… と直線が x=α, β（α<β）で交わるとき、囲まれた面積は S=|a|(β−α)³/6 という1/6公式で速算できます。これは ∫(x−α)(β−x)dx を計算した結果を公式化したもので、検算や時間短縮に非常に有効です。ただし記述式では積分の式を書いてから使うのが無難です。
| 対象 | 公式 | 例 |
|---|---|---|
| xⁿ の積分 | ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C | ∫3x²dx = x³+C |
| 定積分 | ∫[a→b]f(x)dx = F(b)−F(a) | ∫[1→3]2xdx = 9−1 = 8 |
| x軸との面積 (f≧0) | S = ∫[a→b]f(x)dx | y=x² の 0〜2 は 8/3 |
| x軸との面積 (f≦0) | S = −∫[a→b]f(x)dx | y=x²−4 と x軸は 32/3 |
| 2曲線の間 | S = ∫[α→β]{(上)−(下)}dx | y=x+2 と y=x² は 9/2 |
| 1/6公式 | S = |a|(β−α)³/6 | (2−(−1))³/6 = 27/6 = 9/2 |
面積の手順（y=x² と y=x+2 の場合）① 交点: x² = x+2 → x²−x−2=0 → (x+1)(x−2)=0 → x=−1, 2② 上下確認: −1<x<2 では直線 x+2 が上（x=0 で 2>0）③ S = ∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx = 9/21/6公式の検算: |1|×(2−(−1))³/6 = 27/6 = 9/2
用語
- 不定積分
- 微分すると f(x) になる関数の全体。∫f(x)dx=F(x)+C と書く。積分定数 C を忘れない。
- 積分定数
- 不定積分に付く任意の定数 C。定数は微分すると消えるため、原始関数には C の分の幅がある。
- 定積分
- ∫[a→b]f(x)dx = F(b)−F(a)。上端の値から下端の値を引いた1つの数値。a を下端、b を上端という。
- 面積と定積分
- f(x)≧0 の区間では曲線とx軸の間の面積が ∫f(x)dx。f(x)≦0 ではマイナスを付けて面積にする。
- 1/6公式
- 放物線 y=ax²+… と直線が x=α, β で交わるとき、囲む面積は |a|(β−α)³/6。∫(x−α)(β−x)dx の計算結果。
例題
例題：∫(6x² − 2x)dx を求めよ。
答えと考え方 6x²→6·x³/3=2x³、−2x→−2·x²/2=−x²。よって 2x³−x²+C。C を忘れずに書く。微分して 6x²−2x に戻ることを確かめると安心。
例題：∫[0→2](x² + 1)dx を求めよ。
答えと考え方 [x³/3+x] の 0 から 2 で (8/3+2)−0=14/3。上端・下端の順に代入し、引き算の向きを間違えない。
例題：放物線 y = x² − 2x と x軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
答えと考え方 交点は x=0, 2 で、この区間では y≦0。S=∫[0→2](2x−x²)dx=[x²−x³/3] の 0 から 2 で 4−8/3=4/3。1/6公式でも (2−0)³/6=8/6=4/3 と一致。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
確認問題（35問）
問2｜多項式の微分
y = 3x² − 4x + 5 の導関数はどれか。
- y′ = 6x + 4
- y′ = 6x − 4
- y′ = 6x
- y′ = 3x − 4
正解と解説
正解：B. y′ = 6x − 4
各項ごとに微分して 6x−4+0=6x−4。定数項5は消える。6x+4 は符号ミス、6x は −4x の微分を忘れたミス、3x−4 は 3x² の係数処理を誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問3｜微分係数
f(x) = x² − 3x のとき、f′(2) の値はどれか。
- −2
- 4
- 1
- 7
正解と解説
正解：C. 1
f′(x)=2x−3 に x=2 を代入して 4−3=1。−2 は f(2) を計算したミス（微分し忘れ）、4 は 2x の項だけ、7 は 2x+3 と符号を誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問4｜微分係数の意味
微分係数 f′(a) が表すものとして正しいものはどれか。
- x = a における関数の値
- 区間 [a, b] における平均変化率
- y = f(x) のグラフと y軸の交点の y座標
- y = f(x) のグラフの x = a における接線の傾き
正解と解説
正解：D. y = f(x) のグラフの x = a における接線の傾き
f′(a) は平均変化率 (f(a+h)−f(a))/h の h→0 の極限値で、グラフの x=a における接線の傾きを表す。関数の値 f(a) や平均変化率そのものと混同しないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問5｜接線の方程式
曲線 y = x² 上の点 (1, 1) における接線の方程式はどれか。
- y = 2x − 1
- y = 2x + 1
- y = 2x
- y = x
正解と解説
正解：A. y = 2x − 1
y′=2x より傾きは f′(1)=2。y−1=2(x−1) を整理して y=2x−1。y=2x+1 は符号ミス、y=2x は切片の計算忘れ、y=x は傾きに微分を使わなかったミス。x=1 で y=1 を通ることで検算できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問6｜接線と傾き
曲線 y = x³ − 3x + 2 上の点 (0, 2) における接線の方程式はどれか。
- y = 3x + 2
- y = −3x + 2
- y = −3x
- y = 2
正解と解説
正解：B. y = −3x + 2
y′=3x²−3 に x=0 を代入して傾き −3。y−2=−3(x−0) より y=−3x+2。3x+2 は符号ミス、−3x は切片（通る点）の処理忘れ、y=2 は傾き0と誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問7｜係数の決定
f(x) = x² + ax + 1 について f′(2) = 5 のとき、a の値はどれか。
- a = 0
- a = 3
- a = 1
- a = 5
正解と解説
正解：C. a = 1
f′(x)=2x+a より f′(2)=4+a=5、a=1。a=0 は f(2)=5 と関数の値の条件に読み違えたミス、a=3 は f′(1)=5 と誤ったミス、a=5 は 4 を引き忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問8｜平均変化率
f(x) = x² について、x が 1 から 3 まで変わるときの平均変化率はどれか。
- 2
- 6
- 8
- 4
正解と解説
正解：D. 4
(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4。2 は f′(1)、6 は f′(3) と微分係数に混同したミス、8 は差 f(3)−f(1) を区間の幅で割り忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問9｜外部からの接線
点 (1, −3) から曲線 y = x² に引いた接線の傾きをすべて挙げたものはどれか。
- 6 と −2
- 3 と −1
- 2 のみ
- 6 のみ
正解と解説
正解：A. 6 と −2
接点を (t, t²) とすると接線は y=2tx−t²。点(1, −3) を通る条件から −3=2t−t²、t²−2t−3=0、(t−3)(t+1)=0 で t=3, −1。傾きは 2t なので 6 と −2。「3 と −1」は接点の x座標をそのまま答えたミス、2 は y′(1) を計算しただけのミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問10｜極大値
関数 y = x³ − 3x の極大値はどれか。
- −2
- 2
- −1
- 1
正解と解説
正解：B. 2
y′=3x²−3=3(x+1)(x−1)。増減表より x=−1 で極大値 (−1)³−3×(−1)=2。−2 は x=1 の極小値、−1 は極大を与える x座標で値と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問11｜極小値
関数 y = 2x³ − 6x の極小値はどれか。
- 4
- 1
- −4
- −1
正解と解説
正解：C. −4
y′=6x²−6=6(x+1)(x−1)。x=1 で極小値 2−6=−4、x=−1 で極大値 4。4 は極大値と取り違えたミス、1・−1 は x座標を答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問12｜増加する範囲
関数 y = x³ − 3x² が増加する x の範囲はどれか。
- 0 < x < 2
- x > 0
- つねに増加する
- x < 0, 2 < x
正解と解説
正解：D. x < 0, 2 < x
y′=3x²−6x=3x(x−2)。y′>0 となるのは x<0, 2<x で、この範囲で増加する。0<x<2 は y′<0 の減少区間で、逆に答える定番ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問13｜極値の計算
関数 y = x³ + 3x² − 9x + 1 の極大値はどれか。
- 28
- −4
- −3
- 1
正解と解説
正解：A. 28
y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1)。x=−3 で極大値 −27+27+27+1=28、x=1 で極小値 −4。−4 は極小値と取り違えたミス、−3 は極大を与える x座標、1 は定数項だけ見たミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問14｜極値から係数
関数 y = x³ − 3x² + a の極小値が 0 のとき、a の値はどれか。
- a = −4
- a = 4
- a = 0
- a = 2
正解と解説
正解：B. a = 4
y′=3x(x−2) より極小は x=2。8−12+a=0 から a=4。a=−4 は a−4=0 を符号ミスした値、a=0 は極大の x=0 で立式したミス、a=2 は x座標との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問15｜最大値
関数 f(x) = x³ − 3x（0 ≦ x ≦ 3）の最大値はどれか。
- 2
- 0
- 18
- −2
正解と解説
正解：C. 18
候補は端点と極値点の値: f(0)=0、f(1)=−2（極小）、f(3)=27−9=18。最大値は端点の18。2 は区間外 x=−1 の極大値を答えたミス、−2 は最小値。端点の値を必ず比べること。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問16｜区間の最小値
関数 f(x) = x³ − 3x² + 5（0 ≦ x ≦ 3）の最小値はどれか。
- 5
- 2
- −4
- 1
正解と解説
正解：D. 1
f′=3x(x−2)。候補は f(0)=5、f(2)=8−12+5=1（極小）、f(3)=27−27+5=5。最小値は 1（x=2）。5 は最大値、2 は最小を与える x座標、−4 は定数項 +5 を忘れた x³−3x² の極小値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問17｜極値をもつ条件
関数 f(x) = x³ + ax² + 3x が極値をもつような定数 a の値の範囲はどれか。
- a < −3, 3 < a
- −3 < a < 3
- a ≦ −3, 3 ≦ a
- a > 3
正解と解説
正解：A. a < −3, 3 < a
f′=3x²+2ax+3 が異なる2実数解をもつ条件で、判別式 D/4=a²−9>0 より a<−3, 3<a。等号を含めると重解で符号が変わらず極値をもたないため誤り。−3<a<3 は不等号の向きを逆にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問18｜極小値と係数
a > 0 とする。関数 f(x) = x³ − 3ax の極小値が −16 のとき、a の値はどれか。
- a = 2
- a = 4
- a = 8
- a = 16
正解と解説
正解：B. a = 4
f′=3x²−3a=0 より x=±√a で、x=√a が極小。f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 から a√a=8、a^(3/2)=8 より a=4。検算: a=4 なら f(x)=x³−12x で x=2 の極小値は 8−24=−16。a=2 では −2×2√2≒−5.7 で合わない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問19｜実数解の個数
方程式 x³ − 3x = 0 の異なる実数解の個数はどれか。
- 1個
- 2個
- 3個
- 0個
正解と解説
正解：C. 3個
x(x²−3)=0 より x=0, ±√3 の3個。因数分解できる3次方程式はまず共通因数 x をくくり出す。x²−3=0 の2解を見落とすと1個と誤る。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問20｜解の個数と極値
方程式 x³ − 3x + 1 = 0 の異なる実数解の個数はどれか。
- 0個
- 1個
- 2個
- 3個
正解と解説
正解：D. 3個
f(x)=x³−3x+1 の極大値は f(−1)=3>0、極小値は f(1)=−1<0。極値が異符号なのでグラフは x軸と3点で交わり、実数解は3個。因数分解できなくても極値の符号で個数が分かる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問21｜重解を含む場合
方程式 x³ − 3x² + 4 = 0 の異なる実数解の個数はどれか。
- 2個
- 3個
- 1個
- 0個
正解と解説
正解：A. 2個
因数分解すると (x+1)(x−2)²=0 で x=−1, 2 の2個。極小値 f(2)=8−12+4=0 なのでグラフは x=2 で x軸に接する。3個は重解 x=2 を2つと数えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問22｜定数分離
方程式 x³ − 3x = a が異なる3個の実数解をもつ定数 a の値の範囲はどれか。
- a < −2, 2 < a
- −2 < a < 2
- −2 ≦ a ≦ 2
- a = ±2
正解と解説
正解：B. −2 < a < 2
y=x³−3x は極大値2（x=−1）・極小値−2（x=1）。水平線 y=a が3点で交わるのは −2<a<2 のとき。−2≦a≦2 は端で重解が生じ2個になるので誤り、a=±2 はちょうど2個の場合。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問23｜文字定数の範囲
方程式 x³ − 3x² − a = 0 が異なる3個の実数解をもつ定数 a の値の範囲はどれか。
- 0 < a < 4
- −4 ≦ a ≦ 0
- −4 < a < 0
- a < −4, 0 < a
正解と解説
正解：C. −4 < a < 0
a=x³−3x² と分離し、g(x)=x³−3x² の極大 g(0)=0、極小 g(2)=−4 の間にあればよいので −4<a<0。0<a<4 は符号を誤ったミス、等号を含めると重解で2個になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問24｜3次関数の形
関数 y = x³ のグラフの説明として正しいものはどれか。
- 極大値と極小値をもつ
- y軸に関して対称である
- x が増加すると y は減少する
- つねに増加し、原点に関して対称である
正解と解説
正解：D. つねに増加し、原点に関して対称である
y′=3x²≧0 なのでつねに増加し、x=0 で y′=0 だが符号が変わらないため極値はもたない。(−x)³=−x³ なので原点対称（奇関数）。y軸対称なのは y=x² のような偶関数。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問25｜3解の条件
方程式 2x³ − 3x² − 12x + k = 0 が異なる3個の実数解をもつ定数 k の値の範囲はどれか。
- −7 < k < 20
- −20 < k < 7
- k < −7, 20 < k
- −7 ≦ k ≦ 20
正解と解説
正解：A. −7 < k < 20
f(x)=2x³−3x²−12x+k の f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2)。極大 f(−1)=7+k、極小 f(2)=−20+k。3個の条件は（極大値）>0 かつ（極小値）<0 で、7+k>0 かつ k−20<0 より −7<k<20。−20<k<7 は極大・極小を取り違えたミス、等号を含めると重解で2個。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問26｜正の解の個数
方程式 x³ − 3x + 1 = 0 の正の実数解の個数はどれか。
- 1個
- 2個
- 3個
- 0個
正解と解説
正解：B. 2個
f(x)=x³−3x+1 は f(0)=1>0、f(1)=−1<0、f(2)=3>0 なので、区間 (0, 1) と (1, 2) に1つずつ正の解をもち計2個。残る1個は f(−2)=−1<0、f(−1)=3>0 より負の解。実数解3個のうち正は2個。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問27｜不定積分
∫(2x + 3)dx はどれか（C は積分定数）。
- 2x² + 3x + C
- x² + 3x
- x² + 3x + C
- x² + 3 + C
正解と解説
正解：C. x² + 3x + C
∫2xdx=x²、∫3dx=3x なので x²+3x+C。「x²+3x」は積分定数 C の書き忘れ、2x²+3x+C は 2x を 2で割り忘れたミス、x²+3+C は定数の積分を 3x にしなかったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問28｜多項式の積分
∫(3x² − 4x + 1)dx はどれか（C は積分定数）。
- 3x³ − 2x² + x + C
- x³ − 4x² + x + C
- 6x − 4 + C
- x³ − 2x² + x + C
正解と解説
正解：D. x³ − 2x² + x + C
各項の指数を1つ上げて割ると x³−2x²+x+C。3x³−… は 3x² を3で割り忘れたミス、x³−4x²+… は −4x を2で割り忘れたミス、6x−4 は積分でなく微分をしてしまったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問29｜定積分の計算
∫[1→3] 2x dx の値はどれか。
- 8
- 10
- 6
- 9
正解と解説
正解：A. 8
[x²] の 1 から 3 で 9−1=8。10 は 9+1 と足したミス、9 は下端の代入を忘れたミス、6 は 2×3 と被積分関数に代入しただけのミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問30｜定積分
∫[0→1] (3x² + 2x) dx の値はどれか。
- 5
- 2
- 1
- 3
正解と解説
正解：B. 2
[x³+x²] の 0 から 1 で (1+1)−0=2。5 は積分せず x=1 を代入した 3+2、1 は x³ の項だけ計算したミス、3 は 3x² の係数に引きずられたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問31｜対称区間の積分
∫[−1→1] (3x² + 2x + 1) dx の値はどれか。
- 3
- 6
- 4
- 2
正解と解説
正解：C. 4
[x³+x²+x] の −1 から 1 で 3−(−1)=4。奇関数 2x の部分は消え、2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 でも同じ。3 は上端だけの値、2 は下端を 3+(−1) と足した符号ミス、6 は全項を偶関数扱いして2倍したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問32｜分数になる積分
∫[1→2] (x² − 1) dx の値はどれか。
- 0
- 2/3
- 6
- 4/3
正解と解説
正解：D. 4/3
[x³/3−x] の 1 から 2 で (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3。0 は下端の値 −2/3 を +2/3 と符号ミスした結果、2/3 は上端だけの値、6 は x² の積分を x³ として 3 で割り忘れたミス（[x³−x] の 1 から 2 で 6−0=6）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問33｜x軸との間の面積
放物線 y = x² − 4 と x軸で囲まれた図形の面積はどれか。
- 32/3
- −32/3
- 16/3
- 64/3
正解と解説
正解：A. 32/3
交点は x=±2 で、この区間では y≦0。S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] の −2 から 2 で (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3。−32/3 は符号を付けずに ∫(x²−4)dx を計算したミス（面積は正）、16/3 は 0〜2 だけ積分したミス、64/3 は 1/6公式の 6 を 3 で割ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問34｜1/6公式
放物線 y = x² と直線 y = x + 2 で囲まれた図形の面積はどれか。
- 27/2
- 9/2
- 3
- 9
正解と解説
正解：B. 9/2
交点は x²=x+2 より x=−1, 2。S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2。27/2 は 6 でなく 2 で割ったミス、9 は 3 で割ったミス、3 は β−α の値そのもの。定積分を直接計算しても 9/2 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
問35｜定積分と関数
等式 f(x) = x² − ∫[0→1] f(t) dt を満たす関数 f(x) はどれか。
- f(x) = x² − 1/3
- f(x) = x² + 1/6
- f(x) = x² − 1/6
- f(x) = x² − 1/4
正解と解説
正解：C. f(x) = x² − 1/6
定積分は定数なので A=∫[0→1]f(t)dt とおくと f(x)=x²−A。これを代入して A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A、2A=1/3 より A=1/6。よって f(x)=x²−1/6。x²−1/3 は方程式を解かず A=1/3 のままにしたミス、x²+1/6 は符号ミス、x²−1/4 は ∫t²dt を 1/2 と誤って A=1/4 としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（5）微分・積分の考え
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※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。