高校数学 HIGH SCHOOL MATH
等差数列の一般項 aₙ=a₁+(n−1)d と和の公式 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 の意味・導き方・使い方が分かります。
隣り合う項の差がつねに一定の数列を等差数列といい、その一定の差 d を公差といいます。初項（最初の項）を a₁ とすると、a₂=a₁+d、a₃=a₁+2d、…と、第 n 項までに d を (n−1) 回足すので、一般項は aₙ=a₁+(n−1)d です。「n 回」ではなく「n−1 回」であることが最大の注意点で、aₙ=a₁+nd としてしまうのが典型的なミスです。
一般項は n の1次式になります。逆に、aₙ=3n+1 のような1次式で表される数列は、n の係数 3 が公差の等差数列です。2つの項の値（たとえば a₃=10 と a₇=22）が与えられたら、項数の差に注目して d=(22−10)/(7−3)=3 のように公差を先に求めるのが定石です。
等差数列の和の公式は Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 です。これは、和を順方向と逆方向に2通り書いて足すと (a₁+aₙ) が n 個できる、という有名なガウスの方法から導かれます。「（初項+末項）×項数÷2」と言葉で覚えておくと台形の面積の式と同じ形で思い出せます。aₙ=a₁+(n−1)d を代入した Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2 の形も、末項が分からないときに使います。
応用として、和 Sₙ が最大になる n を求める問題があります。公差が負の等差数列では、項が正の間は足すほど和が増え、負の項を足し始めると和は減るので、「aₙ≧0 となる最後の n」までの和が最大です。また、数列の和 Sₙ から一般項を求めるときは、aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁（n≧2）を使い、a₁=S₁ だけ別に確かめます。
| 項目 | 公式 | 覚え方・注意 |
|---|---|---|
| 一般項 | aₙ=a₁+(n−1)d | d を足すのは (n−1) 回。nd としない |
| 等差中項 | a, b, c が等差 ⇔ 2b=a+c | 真ん中は両端の平均 |
| 和（末項あり） | Sₙ=n(a₁+aₙ)/2 | （初項+末項）×項数÷2 |
| 和（公差で） | Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2 | 末項が不明のときに使う |
| 和→一般項 | aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁（n≧2） | a₁=S₁ は別に確認する |
一般項: aₙ = a₁ + (n−1)d和①: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2和②: Sₙ = n{2a₁ + (n−1)d}/21+2+…+n = n(n+1)/2Sₙ から一般項: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≧2), a₁=S₁
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
等比数列の一般項 aₙ=a₁·rⁿ⁻¹ と和の公式、Σ記号の意味と Σk・Σk² などの公式の使い方が分かります。
隣り合う項の比がつねに一定の数列を等比数列といい、その一定の比 r を公比といいます。初項 a₁ に r を (n−1) 回かけて第 n 項になるので、一般項は aₙ=a₁·rⁿ⁻¹ です。等差の「(n−1) 回足す」が「(n−1) 回かける」に変わっただけで、指数を n にしてしまう aₙ=a₁·rⁿ が典型的なミスであることも共通です。
等比数列の和は、r≠1 のとき Sₙ=a₁(rⁿ−1)/(r−1) です。これは Sₙ と rSₙ を並べて引くと途中の項が全部消える、という導き方が重要で、この「ずらして引く」考え方は後の応用でも使います。r=1 のときは全項が a₁ なので Sₙ=n·a₁ です。また、3つの数 a, b, c がこの順で等比数列になる条件は b²=ac（等比中項）で、b は ±√(ac) の2つがありえます。
Σ（シグマ）記号は和を簡潔に書くための記号で、Σₖ₌₁ⁿ aₖ は「k を 1 から n まで動かして aₖ を全部足す」という意味です。読み方は「シグマ k=1 から n まで」。Σ には (定数倍・和・差を分けられる) という線形性があり、Σ(2k+1)=2Σk+Σ1 のように分解して公式に帰着させます。
覚えるべきΣ公式は、Σₖ₌₁ⁿ c=cn（定数）、Σₖ₌₁ⁿ k=n(n+1)/2、Σₖ₌₁ⁿ k²=n(n+1)(2n+1)/6、Σₖ₌₁ⁿ k³={n(n+1)/2}² の4つです。Σk は等差数列の和そのもの、Σk³ は Σk の2乗の形になっているのが覚えるコツです。計算後は n=1 や n=2 を代入して検算する習慣をつけると、展開ミスにすぐ気づけます。
| 公式 | 結果 | 覚えるコツ |
|---|---|---|
| Σ c（定数） | cn | c を n 個足すだけ |
| Σ k | n(n+1)/2 | 1 から n の和（ガウスの方法） |
| Σ k² | n(n+1)(2n+1)/6 | 6 で割る。n=2 で 5 になるか検算 |
| Σ k³ | {n(n+1)/2}² | Σk の2乗と同じ形 |
| Σ a₁rᵏ⁻¹ | a₁(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1) | 等比数列の和の公式そのもの |
一般項: aₙ = a₁·rⁿ⁻¹和: Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) （r≠1）等比中項: a, b, c が等比 ⇔ b² = acΣk = n(n+1)/2 Σk² = n(n+1)(2n+1)/6Σk³ = {n(n+1)/2}² Σc = cn
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
階差数列から一般項を求める方法、部分分数分解による和、漸化式の基本2型の解き方、数学的帰納法の証明の流れが分かります。
数列 {aₙ} の隣り合う項の差 bₙ=aₙ₊₁−aₙ が作る数列を階差数列といいます。もとの数列の一般項は、n≧2 のとき aₙ=a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ bₖ（初項に階差を n−1 個分足す）で求められます。Σ の上端が n ではなく n−1 であること、得られた式が n=1 でも成り立つかを最後に確認すること、の2点が注意どころです。
分数の数列の和では、部分分数分解が活躍します。1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) と差の形に直すと、和をとったとき隣どうしが次々に打ち消し合い（望遠鏡式の和）、最初と最後だけが残ります。Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1) が代表例です。分母の差が 2 のときは 1/(k(k+2))=(1/2){1/k−1/(k+2)} のように 1/2 を忘れないことが大切です。
漸化式は「前の項から次の項を作る規則」で数列を定める方法です。基本の2型は、aₙ₊₁=aₙ+d（毎回 d を足す→公差 d の等差数列、aₙ=a₁+(n−1)d）と、aₙ₊₁=r·aₙ（毎回 r をかける→公比 r の等比数列、aₙ=a₁·rⁿ⁻¹）です。漸化式を見たら、まず「足しているのか、かけているのか」を見分けます。
発展形の aₙ₊₁=p·aₙ+q（p≠1）は、特性方程式 α=pα+q の解 α を使って aₙ₊₁−α=p(aₙ−α) と変形すると、{aₙ−α} が公比 p の等比数列になって解けます。たとえば aₙ₊₁=2aₙ+1 は α=−1 なので aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) と変形できます。
数学的帰納法は、自然数 n についての命題を「①n=1 のとき成り立つことを示す」「②n=k のとき成り立つと仮定して、n=k+1 のときも成り立つことを示す」の2段階で証明する方法です。①がドミノの最初の1枚を倒すこと、②が「どの1枚が倒れても次が倒れる」ことに対応し、2つ合わせてすべての自然数で成り立つと結論できます。①と②の両方が必要で、片方だけでは証明になりません。
| 漸化式の形 | 数列の正体 | 一般項 |
|---|---|---|
| aₙ₊₁=aₙ+d | 公差 d の等差数列 | aₙ=a₁+(n−1)d |
| aₙ₊₁=r·aₙ | 公比 r の等比数列 | aₙ=a₁·rⁿ⁻¹ |
| aₙ₊₁=aₙ+f(n) | 階差が f(n) | aₙ=a₁+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ f(k)（n≧2） |
| aₙ₊₁=p·aₙ+q | {aₙ−α} が等比（α=pα+q） | aₙ−α=(a₁−α)pⁿ⁻¹ |
階差: aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ bₖ （n≧2）部分分数: 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)→ Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)) = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)等差型: aₙ₊₁=aₙ+d → aₙ=a₁+(n−1)d等比型: aₙ₊₁=r·aₙ → aₙ=a₁·rⁿ⁻¹帰納法: ① n=1 で成立 ② n=k を仮定し n=k+1 を示す
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 3、公差 4 の等差数列の一般項 aₙ はどれか。
aₙ=a₁+(n−1)d=3+(n−1)·4=4n−1。n=1 で a₁=3 になることを確認するとよい。4n+3 は d を n 回足した（(n−1) を n にした）典型的な誤りで、n=1 のとき 7 となり初項に合わない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 100、公差 −7 の等差数列の第 10 項はどれか。
a₁₀=100+(10−1)×(−7)=100−63=37。公差を 10 回足して 100−70=30 とするのが典型的な誤り。足すのは (n−1)=9 回である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
1+2+3+…+100 の値はどれか。
等差数列の和=（初項+末項）×項数÷2=(1+100)×100÷2=5050。2 で割り忘れると 10100。4950 は 1 から 99 までの和である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 2、公差 3 の等差数列の初項から第 10 項までの和はどれか。
第 10 項は 2+9×3=29。和=10×(2+29)/2=155。末項を 2+10×3=32 と誤ると 10×(2+32)/2=170 になる。公式 Sₙ=n{2a₁+(n−1)d}/2=5×(4+27)=155 でも同じ。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
等差数列 {aₙ} で a₃=10、a₇=22 のとき、a₂₀ はどれか。
a₇−a₃=4d=12 より d=3。a₁=10−2×3=4。a₂₀=4+19×3=61。a₂₀=a₇+13d=22+39=61 と途中の項から数えてもよい。64 は a₂₀=a₁+20d=4+60 と (n−1) を n にしたミス、58 は初項を 1 と取り違えたミス、67 は a₃ をそのまま初項として 10+19×3 としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 20、公差 −3 の等差数列で、初項から第 n 項までの和が最大になるときの和はどれか。
aₙ=20−3(n−1)=23−3n。aₙ≧0 ⇔ n≦7.67 なので、正の項は第 7 項（a₇=2）まで。S₇=7×(20+2)/2=77。負の項を足し始めると和は減るので、正の項をすべて足したところが最大である。70 は正の項を第 5 項までしか足さなかったミス、80 は a₈=0 と誤って S₈=8(20+0)/2 としたミス、76 は負の項 a₈=−1 まで足してしまった S₈。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
3つの数 5, x, 13 がこの順で等差数列になるとき、x の値はどれか。
等差中項の関係 2x=5+13 より x=9。真ん中の項は両端の平均 (5+13)/2 になる。√65 は等比中項（x²=65）との混同である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
100 以下の自然数のうち、3 の倍数すべての和はどれか。
3 の倍数は 3, 6, …, 99 の 33 個。和=33×(3+99)/2=33×51=1683。3×(1+2+…+33)=3×561=1683 としてもよい。項数を 32 個や 34 個と数え違えないこと（99÷3=33 個）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
数列 {aₙ} の初項から第 n 項までの和が Sₙ=n²+2n で表されるとき、一般項 aₙ はどれか。
n≧2 で aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(n²+2n)−{(n−1)²+2(n−1)}=2n+1。a₁=S₁=3 も 2×1+1=3 と一致するので、すべての n で aₙ=2n+1。2n−1 は Sₙ=n² の場合と混同した誤り。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 3、公比 2 の等比数列の第 5 項はどれか。
a₅=3×2⁵⁻¹=3×2⁴=3×16=48。指数を 5 として 3×2⁵=96 とするのが典型的な誤り。かけるのは (n−1)=4 回である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 3、公比 2 の等比数列の一般項 aₙ はどれか。
aₙ=a₁·rⁿ⁻¹=3·2ⁿ⁻¹。n=1 で a₁=3 になることを確認する。3·2ⁿ は n=1 で 6 となり初項と合わない。初項と公比を逆にした 2·3ⁿ⁻¹ にも注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
1+2+4+8+…+2⁹（初項 1、公比 2 の等比数列の初項から第 10 項までの和）はどれか。
S₁₀=(2¹⁰−1)/(2−1)=1024−1=1023。公比 2 の和は「末項の 2 倍−初項」=2⁹×2−1 と考えてもよい。1024 は 2¹⁰ そのもの、511 は第 9 項までの和である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
初項 2、公比 3 の等比数列の初項から第 5 項までの和はどれか。
S₅=2×(3⁵−1)/(3−1)=2×242/2=242。実際 2+6+18+54+162=242。3⁵−1 の計算で −1 を忘れたり、分母の (r−1) で割り忘れて 484 としたりしないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
3つの実数 2, x, 8 がこの順で等比数列になるとき、x の値はどれか。
等比中項の関係 x²=2×8=16 より x=±4。公比 2（2, 4, 8）と公比 −2（2, −4, 8）の両方が成り立つので、正の 4 だけでは不十分。5 は等差中項 (2+8)/2 との混同である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
Σₖ₌₁¹⁰ k（k=1 から 10 までの和）の値はどれか。
Σk=n(n+1)/2 に n=10 を代入して 10×11/2=55。2 で割り忘れると 110。45 は 1 から 9 までの和で、上端の取り違えに注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
Σₖ₌₁⁶ k²（1²+2²+…+6²）の値はどれか。
Σk²=n(n+1)(2n+1)/6 に n=6 を代入して 6×7×13/6=91。実際 1+4+9+16+25+36=91。55 は n=5 の場合、441=21² は Σk³=(Σk)² との混同である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
Σₖ₌₁ⁿ (2k+1) を n の式で表すとどれか。
2Σk+Σ1=2×n(n+1)/2+n=n²+n+n=n²+2n。Σ1=n を足し忘れると n²+n になる。n=1 を代入して 3（=2×1+1）になるか検算するとよい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
Σₖ₌₁¹⁰ k(k+1) の値はどれか。
k(k+1)=k²+k と展開し、Σk²+Σk=385+55=440。Σk²(n=10)=10×11×21/6=385、Σk(n=10)=55 を使う。385 は Σk² だけで止めた誤り。展開して公式に帰着させるのが定石。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
数列 2, 3, 5, 8, 12, … の第 6 項はどれか。
階差をとると 1, 2, 3, 4 と自然数の列になっているので、次の階差は 5。a₆=12+5=17。もとの数列の規則が見えないときは、まず隣どうしの差を調べるのが定石である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
数列 2, 3, 5, 8, 12, … の一般項 aₙ はどれか。
階差 bₖ=k なので、n≧2 で aₙ=2+Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ k=2+(n−1)n/2=(n²−n+4)/2。n=1 でも 4/2=2 で成立。n=2 を代入して 3 になるかで検算できる（(n²+n+2)/2 は n=2 で 4 となり誤り）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
Σₖ₌₁ⁿ 1/(k(k+1)) を n の式で表すとどれか。
1/(k(k+1))=1/k−1/(k+1) と部分分数分解すると、和は (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/n−1/(n+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1)。途中の項が打ち消し合い、最初と最後だけが残る。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
a₁=1、aₙ₊₁=aₙ+3 で定められる数列の第 10 項はどれか。
毎回 3 を足す等差型なので、公差 3 の等差数列。a₁₀=1+(10−1)×3=28。一般項は aₙ=3n−2。3 を 10 回足して 31 とするのは (n−1) 回を n 回と誤ったもの。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
a₁=2、aₙ₊₁=3aₙ で定められる数列の第 4 項はどれか。
毎回 3 をかける等比型なので、公比 3 の等比数列。a₄=2×3³=54。順に書いても 2→6→18→54。3 を 4 回かけて 162 とするのは指数の数え違いである。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
自然数 n についての命題を数学的帰納法で証明するときの正しい手順はどれか。
帰納法は「①n=1 で成立」「②n=k での成立を仮定して n=k+1 での成立を示す」の2段階。ドミノの1枚目を倒し、どの1枚が倒れても次が倒れることを示すイメージで、①と②の両方が必要である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
a₁=1、aₙ₊₁=2aₙ+1 で定められる数列の一般項 aₙ はどれか。
特性方程式 α=2α+1 より α=−1。aₙ₊₁+1=2(aₙ+1) と変形すると {aₙ+1} は初項 2、公比 2 の等比数列で、aₙ+1=2ⁿ。よって aₙ=2ⁿ−1。実際 1, 3, 7, 15, 31, … と合う。2ⁿ⁻¹ は n=2 で 2 となり a₂=3 に合わない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第5 数学Ｂ 2 内容（1）数列
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※ 解説は学習用の情報提供です。教科書・学校の指示する解法を優先してください。
※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。