問1｜度からラジアン
60° を弧度法（ラジアン）で表すとどれか。
- π/6
- π/3
- π/4
- 2π/3
正解と解説
正解：B. π/3
度→ラジアンは ×(π/180)。60×π/180 = π/3。π/6 は 30°、π/4 は 45°、2π/3 は 120°。180°=π を基準に「60° は 180° の 1/3 だから π/3」と考えると速い。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
高校数学 HIGH SCHOOL MATH
三角関数
この章で学ぶこと
- 角を回転の量としてとらえ直し、度に代わる弧度法（ラジアン）を導入します。扇形の弧長・面積、単位円による三角関数の定義、グラフと周期までを固めます。
- 三角関数の最重要公式・加法定理から出発し、2倍角・半角の公式、そして a sinθ+b cosθ を1つの sin にまとめる合成までを使いこなします。
- 単位円を使って sinθ=a 型の方程式・不等式を解き、2次式型や合成を使う応用、置き換えによる最大・最小問題まで、三角関数の総仕上げをします。
1. 一般角と弧度法・三角関数の定義とグラフ
角を回転の量としてとらえ直し、度に代わる弧度法（ラジアン）を導入します。扇形の弧長・面積、単位円による三角関数の定義、グラフと周期までを固めます。
角を「回転の量」と考えると、360° を超える角や負の角（時計回り）も扱えます。これが一般角です。さらに数学Ⅱでは角の単位を度からラジアン（弧度法）に切り替えます。半径 1 の円で弧の長さが 1 になる中心角が 1 ラジアンで、180° = π ラジアンが変換の基本です。60° = π/3、90° = π/2、30° = π/6、45° = π/4 は即答できるようにしてください。度→ラジアンは ×(π/180)、ラジアン→度は ×(180/π) です。
弧度法の利点は公式が簡単になることです。半径 r、中心角 θ（ラジアン）の扇形で、弧の長さは l = rθ、面積は S = (1/2)r²θ = (1/2)rl。度のときの「×(中心角/360°)」という比の計算が消えます。面積の 1/2 を忘れる、弧長と面積の公式を混同する、が定番ミスです。
三角関数は単位円で定義し直します。原点中心・半径 1 の円周上で、角 θ の動径と円の交点を P とすると、P の x 座標が cosθ、y 座標が sinθ、そして tanθ = sinθ/cosθ（動径の傾き）です。この定義なら θ がどんな一般角でも値が決まります。各象限での符号（第2象限は sin だけ正、第3象限は tan だけ正、第4象限は cos だけ正）と、sin²θ+cos²θ=1 などの相互関係は数学Ⅰから引き続き使います。
y = sinθ のグラフは波の形（正弦曲線）で、2π ごとに同じ形を繰り返します。この 2π を周期といいます。y = cosθ も周期 2π、y = tanθ は周期 π です。y = sin kθ の周期は 2π/k となる（k 倍速く回るので波が縮む）こと、y = A sinθ の A は振幅（波の高さ）でグラフを縦に A 倍することをおさえてください。y = sin(θ−p) は θ 軸方向に p だけ平行移動したグラフです。
| 度 | ラジアン | sin | cos |
|---|---|---|---|
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | −1/2 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −√3/2 |
| 180° | π | 0 | −1 |
変換: 度 × (π/180) = ラジアン、ラジアン × (180/π) = 度例: 60° = 60×(π/180) = π/3、5π/6 = (5π/6)×(180/π) = 150°扇形（半径 r、中心角 θ ラジアン）弧長 l = rθ面積 S = (1/2)r²θ = (1/2)rl周期: y=sin kθ の周期は 2π/k（例: sin 2θ は π）
用語
- 一般角
- 回転の向きと量で表した角。反時計回りが正、時計回りが負。360°（2π）を超える角も表せる。
- 弧度法（ラジアン）
- 半径1の円の弧の長さで角を測る方法。180°=π ラジアン。度→ラジアンは ×(π/180)。
- 扇形の弧長と面積
- 半径 r、中心角 θ（ラジアン）のとき、弧長 l=rθ、面積 S=(1/2)r²θ=(1/2)rl。
- 単位円
- 原点中心・半径1の円。角 θ の動径との交点の x 座標が cosθ、y 座標が sinθ。三角関数の定義の土台。
- 周期
- グラフが同じ形を繰り返す最小の間隔。sinθ, cosθ は 2π、tanθ は π。sin kθ の周期は 2π/k。
- 振幅
- y=A sinθ の A。波の高さを表し、グラフは −A から A の間を往復する。
例題
例題：半径 6、中心角 π/3 の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
答えと考え方 弧長 l = rθ = 6×π/3 = 2π。面積 S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×π/3 = 6π。面積の 1/2 を忘れないこと。
例題：sin(7π/6) の値を求めよ。
答えと考え方 7π/6 = π+π/6 なので動径は第3象限。sin は負で、大きさは sin(π/6)=1/2。よって sin(7π/6) = −1/2。単位円で y 座標を読む。
例題：y = cos(θ/2) の周期を求めよ。
答えと考え方 y=cos kθ の周期は 2π/k。k=1/2 なので周期は 2π÷(1/2) = 4π。ゆっくり回る分、波は横に伸びる。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
2. 加法定理と2倍角・半角・三角関数の合成
三角関数の最重要公式・加法定理から出発し、2倍角・半角の公式、そして a sinθ+b cosθ を1つの sin にまとめる合成までを使いこなします。
加法定理は sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ、cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ。sin は「シンコス・コスシン」で同符号、cos は「コスコス・シンシン」で逆符号（∓）になるのが覚えどころです。tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) も分母の符号（1 −）に注意。75° = 45°+30° のように、30°, 45°, 60° の組合せで表せる角の値が計算できるようになります。
加法定理で β=α とおくと2倍角の公式が出ます。sin2α = 2sinαcosα、cos2α = cos²α−sin²α = 1−2sin²α = 2cos²α−1。cos2α の3つの形は sin²α+cos²α=1 で相互に書き換えたもので、問題に応じて使い分けます（sin だけで表したいなら 1−2sin²α）。sin2α の係数 2 を忘れるのが定番ミスです。
cos2α = 1−2sin²α を逆に解くと半角の公式 sin²(α/2) = (1−cosα)/2、cos²(α/2) = (1+cosα)/2 が得られます。22.5° や π/8 のような半端な角の値はこれで求めます。sin² の方が (1−cosα)、cos² の方が (1+cosα) という符号の対応に注意してください。
a sinθ + b cosθ は、1つの正弦にまとめられます: a sinθ + b cosθ = √(a²+b²) sin(θ+α)。ここで α は cosα = a/√(a²+b²), sinα = b/√(a²+b²) を満たす角で、点 (a, b) の偏角です。例えば sinθ+√3cosθ = 2sin(θ+π/3)。合成すると最大値 √(a²+b²)、最小値 −√(a²+b²) が即座に読め、次のレッスンの方程式・最大最小問題の決定打になります。√(a²+b²) を a²+b² のままにする、点 (a,b) の取り方を (b,a) と逆にする、がありがちなミスです。
| 公式 | 式 | 導き方・注意 |
|---|---|---|
| sin の加法定理 | sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ | シンコス・コスシン、同符号 |
| cos の加法定理 | cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ | コスコス・シンシン、逆符号 |
| tan の加法定理 | tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) | 分母 1−積 に注意 |
| 2倍角(sin) | sin2α=2sinαcosα | 係数 2 を忘れない |
| 2倍角(cos) | cos2α=1−2sin²α=2cos²α−1 | 3つの形を使い分ける |
| 半角 | sin²(α/2)=(1−cosα)/2 | sin² が 1−cos の側 |
| 合成 | a sinθ+b cosθ=√(a²+b²)sin(θ+α) | α は点 (a,b) の偏角 |
sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4合成: sinθ + √3cosθ√(1²+(√3)²) = 2、点 (1,√3) の偏角は π/3= 2sin(θ+π/3) → 最大値 2、最小値 −2
用語
- 加法定理
- sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ、cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ など。三角関数の公式群の出発点。
- 2倍角の公式
- sin2α=2sinαcosα、cos2α=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1。加法定理で β=α とおくと導ける。
- 半角の公式
- sin²(α/2)=(1−cosα)/2、cos²(α/2)=(1+cosα)/2。cos2α の式を逆に解いて導く。π/8 などの値を求めるのに使う。
- 三角関数の合成
- a sinθ+b cosθ=√(a²+b²) sin(θ+α)。α は点 (a,b) の偏角。最大値・最小値が √(a²+b²) 単位で読める。
- 偏角
- 点 (a,b) と原点を結ぶ動径が x 軸の正の向きとなす角。合成の α はこの角。(1,√3) なら π/3。
- tan の加法定理
- tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)。分母は 1 から積を引く形。
例題
例題：加法定理を用いて sin75° の値を求めよ。
答えと考え方 75°=45°+30° と分けて sin75° = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√6+√2)/4。(√6−√2)/4 は sin15°（引き算のとき）になる。
例題：sinα = 3/5, cosα = 4/5 のとき sin2α を求めよ。
答えと考え方 2倍角の公式で sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25。係数 2 を忘れて 12/25 としないこと。
例題：sinθ − cosθ を合成せよ。
答えと考え方 a=1, b=−1 なので √(1+1)=√2、点 (1,−1) の偏角は −π/4。よって sinθ−cosθ = √2 sin(θ−π/4)。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
3. 三角関数の方程式・不等式と最大・最小
単位円を使って sinθ=a 型の方程式・不等式を解き、2次式型や合成を使う応用、置き換えによる最大・最小問題まで、三角関数の総仕上げをします。
sinθ = a の方程式は、単位円上で y 座標が a になる点を探します。0≦θ<2π では解は原則2個で、例えば sinθ=1/2 なら θ=π/6, 5π/6（y=1/2 の水平線と単位円の2交点）。cosθ = a なら x 座標が a になる点（縦線との交点）、tanθ = a なら傾き a の直線との交点で、tan の解は π ずつ離れた2個になります。「もう1つの解」を対称性（sin なら π−θ、cos なら −θ すなわち 2π−θ）で出せるようにしてください。
不等式は方程式の解を境目にして、単位円のどの範囲が条件を満たすかを読みます。sinθ > 1/2 なら y 座標が 1/2 より大きい弧の部分で π/6 < θ < 5π/6。cosθ ≦ 1/2 なら x 座標が 1/2 以下の部分で π/3 ≦ θ ≦ 5π/3。等号の有無（境目を含むか）まで確認して答えます。
2sin²θ−sinθ−1=0 のような式は、sinθ = t とおくと 2t²−t−1=0 という2次方程式になります。t の範囲が −1≦t≦1 に制限されることを忘れずに、t の解それぞれについて θ を求めます。cos2θ が混ざった式は、2倍角の公式 cos2θ=1−2sin²θ で sin だけの式に統一してから置き換えるのが定石です。
最大・最小も置き換えが主役です。y = sin²θ+sinθ のような式は t=sinθ（−1≦t≦1）とおいて 2次関数の最大・最小に帰着させ、頂点が範囲内かを確認します。a sinθ+b cosθ の形は合成して √(a²+b²) sin(θ+α) とすれば、最大 √(a²+b²)・最小 −√(a²+b²)。ただし θ に範囲があるときは θ+α の動く範囲を先に求め、その範囲での sin の値域を単位円で読み取ります。範囲の端も最大・最小の候補になることに注意してください。
| 方程式 | 解 | 見方 |
|---|---|---|
| sinθ = 1/2 | θ = π/6, 5π/6 | y=1/2 の水平線との2交点 |
| sinθ = 1 | θ = π/2 のみ | 頂点でだけ接するので1個 |
| cosθ = −1/2 | θ = 2π/3, 4π/3 | x=−1/2 の縦線との2交点 |
| tanθ = 1 | θ = π/4, 5π/4 | 傾き1の直線、π ずつ離れる |
| sinθ > 1/2 | π/6 < θ < 5π/6 | y 座標が 1/2 より上の弧 |
| cosθ ≦ 1/2 | π/3 ≦ θ ≦ 5π/3 | x 座標が 1/2 以下の弧 |
2次式型: 2sin²θ − sinθ − 1 = 0sinθ = t とおく（−1 ≦ t ≦ 1）2t² − t − 1 = (2t+1)(t−1) = 0 → t = 1, −1/2sinθ = 1 → θ = π/2sinθ = −1/2 → θ = 7π/6, 11π/6解: θ = π/2, 7π/6, 11π/6
用語
- 三角方程式
- sinθ=a などの方程式。単位円上で y 座標（cos なら x 座標）が a になる点の角を読み取って解く。
- 三角不等式
- sinθ>a などの不等式。方程式の解を境目に、単位円上で条件を満たす弧の範囲を答える。
- 置き換え
- sinθ=t とおいて 2次方程式・2次関数に帰着させる手法。t の範囲 −1≦t≦1 を必ず付ける。
- 解の対称性
- sinθ=a の解が θ₁ なら π−θ₁ も解。cosθ=a の解が θ₁ なら 2π−θ₁ も解。もう1つの解を素早く出す道具。
- 合成による最大最小
- a sinθ+b cosθ を √(a²+b²)sin(θ+α) に直すと、値域が [−√(a²+b²), √(a²+b²)] と読める。
- 角の範囲の追跡
- θ に範囲があるとき、置き換えた角 θ+α の動く範囲を先に求めること。範囲の端が最大・最小を与えることもある。
例題
例題：0≦θ<2π のとき、方程式 cosθ = −1/2 を解け。
答えと考え方 単位円で x 座標が −1/2 になるのは第2・第3象限。基準の π/3 から θ = π−π/3 = 2π/3 と π+π/3 = 4π/3。
例題：0≦θ<2π のとき、不等式 sinθ > 1/2 を解け。
答えと考え方 sinθ=1/2 の解 π/6, 5π/6 が境目。y 座標が 1/2 を超えるのはその間の上側の弧なので π/6 < θ < 5π/6。
例題：y = sinθ + √3cosθ（0≦θ≦π/2）の最大値と最小値を求めよ。
答えと考え方 合成して y = 2sin(θ+π/3)。θ+π/3 は π/3 から 5π/6 まで動くので、sin の値は最大 1（θ+π/3=π/2）、最小 1/2（θ+π/3=5π/6）。よって最大値 2、最小値 1。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
確認問題（30問）
問2｜ラジアンから度
5π/6 ラジアンを度で表すとどれか。
- 120°
- 210°
- 30°
- 150°
正解と解説
正解：D. 150°
ラジアン→度は ×(180/π)。(5π/6)×(180/π) = 5×30 = 150°。π/6=30° の5倍と考えてもよい。210° は 7π/6 と混同したミス、30° は π/6 のみの値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問3｜扇形の弧長
半径 6、中心角 π/3 の扇形の弧の長さはどれか。
- 2π
- 6π
- π
- 12π
正解と解説
正解：A. 2π
弧度法では弧長 l = rθ = 6×π/3 = 2π。6π は面積 (1/2)r²θ を計算したミス、12π は r²θ で 1/2 を忘れた値。弧長と面積の公式を混同しない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問4｜扇形の面積
半径 6、中心角 π/3 の扇形の面積はどれか。
- 2π
- 12π
- 6π
- 3π
正解と解説
正解：C. 6π
S = (1/2)r²θ = (1/2)×36×(π/3) = 6π。12π は 1/2 を忘れたミス、2π は弧長 rθ と混同したミス。S=(1/2)rl（弧長を使う形）でも (1/2)×6×2π=6π と確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問5｜三角関数の値
sin(7π/6) の値はどれか。
- 1/2
- √3/2
- −√3/2
- −1/2
正解と解説
正解：D. −1/2
7π/6 = π+π/6 で動径は第3象限にあり、sin（y 座標）は負。大きさは sin(π/6)=1/2 なので −1/2。−√3/2 は cos 側の値と混同したミス、1/2 は符号の判断を落としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問6｜tanの値
tan(4π/3) の値はどれか。
- √3
- −√3
- 1/√3
- −1/√3
正解と解説
正解：A. √3
4π/3 = π+π/3 で第3象限。tan は第3象限で正（sin, cos がともに負で比が正）なので tan(π/3) = √3。−√3 は符号判断のミス、1/√3 は tan(π/6) と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問7｜周期
関数 y = sin 2θ の周期はどれか。
- 4π
- 2π
- π
- π/2
正解と解説
正解：C. π
y=sin kθ の周期は 2π/k。k=2 なので 2π/2 = π。2倍速く回るので波は半分に縮む。2π は sinθ のままの周期、4π は 2π×k と掛けてしまうミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問8｜周期（分数）
関数 y = cos(θ/2) の周期はどれか。
- π
- 4π
- 2π
- 8π
正解と解説
正解：B. 4π
周期は 2π/k で k=1/2 だから 2π÷(1/2) = 4π。半分の速さで回るので波は2倍に伸びる。π は 2π×(1/2) と掛けてしまうミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問9｜相互関係
θ が第2象限の角で sinθ = 3/5 のとき、cosθ の値はどれか。
- −4/5
- 4/5
- −3/4
- −5/4
正解と解説
正解：A. −4/5
sin²θ+cos²θ=1 より cos²θ = 1−9/25 = 16/25、cosθ = ±4/5。第2象限では cos は負なので −4/5。4/5 は象限による符号判断を落としたミス、−3/4 は tan と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問10｜sincosの値
θ が第3象限の角で tanθ = 2 のとき、sinθcosθ の値はどれか。
- −2/5
- 1/5
- 2/√5
- 2/5
正解と解説
正解：D. 2/5
sinθcosθ = sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) = tanθ/(1+tan²θ) = 2/(1+4) = 2/5。第3象限では sin, cos とも負なので積は正になり、符号も合う。−2/5 は象限から機械的に負と誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問11｜sin75°
加法定理を用いて求めた sin75° の値はどれか。
- (√3+1)/2
- (√2+1)/2
- (√6+√2)/4
- (√6−√2)/4
正解と解説
正解：C. (√6+√2)/4
sin75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4。(√6−√2)/4 は sin15°（cos75°）で、加法定理の符号を引き算にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問12｜cos105°
加法定理を用いて求めた cos105° の値はどれか。
- (√2−√6)/4
- (√6−√2)/4
- (√2+√6)/4
- (√6+√2)/2
正解と解説
正解：A. (√2−√6)/4
cos105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°−sin60°sin45° = (√2/4)−(√6/4) = (√2−√6)/4（負の値）。cos の加法定理は「コスコス−シンシン」。(√6−√2)/4 は符号を逆にしたミスで、105° は鈍角だから cos は負になるはず、と検算できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問13｜tanの加法定理
tanα = 2, tanβ = 3 のとき、tan(α+β) の値はどれか。
- 1
- −1
- 5/7
- −1/5
正解と解説
正解：B. −1
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) = (2+3)/(1−6) = 5/(−5) = −1。5/7 は分母を 1+tanαtanβ とした符号ミス。分母は「1 から積を引く」。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問14｜2倍角(sin)
sinα = 3/5, cosα = 4/5 のとき、sin2α の値はどれか。
- 12/25
- 7/25
- 24/25
- 6/5
正解と解説
正解：C. 24/25
2倍角の公式 sin2α = 2sinαcosα = 2×(3/5)×(4/5) = 24/25。12/25 は係数 2 を忘れた定番ミス、7/25 は cos2α = cos²α−sin²α の値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問15｜2倍角(cos)
sinα = 1/3 のとき、cos2α の値はどれか。
- 7/9
- −7/9
- 8/9
- 1/3
正解と解説
正解：A. 7/9
cos2α = 1−2sin²α = 1−2×(1/9) = 7/9。sin だけ分かっているときは 1−2sin²α の形を選ぶのがコツ。−7/9 は 2sin²α−1 と符号を逆にしたミス、8/9 は 2 を掛け忘れて 1−1/9 としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問16｜半角の公式
半角の公式を用いて求めた sin²(π/8) の値はどれか。
- (2+√2)/4
- (1−√2)/2
- (√2−1)/4
- (2−√2)/4
正解と解説
正解：D. (2−√2)/4
sin²(α/2) = (1−cosα)/2 に α=π/4 を代入。sin²(π/8) = (1−cos(π/4))/2 = (1−√2/2)/2 = (2−√2)/4。(2+√2)/4 は cos²(π/8) の値で、sin² と cos² の符号対応（sin² が 1−cos 側）を取り違えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問17｜三角関数の合成
sinθ + √3cosθ を合成した結果はどれか。
- 2sin(θ+π/6)
- 2sin(θ+π/3)
- 4sin(θ+π/3)
- 2sin(θ−π/3)
正解と解説
正解：B. 2sin(θ+π/3)
√(1²+(√3)²) = √4 = 2。点 (1,√3) の偏角は π/3 なので 2sin(θ+π/3)。θ=0 を代入すると左辺 √3、右辺 2sin(π/3)=√3 で一致。2sin(θ+π/6) は点 (√3,1) と取り違えたミス、4sin(…) は a²+b²=4 のルートを忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問18｜合成(引き算)
sinθ − cosθ を合成した結果はどれか。
- √2 sin(θ−π/4)
- √2 sin(θ+π/4)
- 2 sin(θ−π/4)
- sin(θ−π/4)
正解と解説
正解：A. √2 sin(θ−π/4)
a=1, b=−1 なので √(1+1)=√2、点 (1,−1) の偏角は −π/4。よって √2 sin(θ−π/4)。√2 sin(θ+π/4) は sinθ+cosθ の合成で、b の符号の見落としから生じる。θ=0 で左辺 −1、右辺 √2 sin(−π/4)=−1 と検算できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問19｜合成と最大値
関数 y = 3sinθ + 4cosθ の最大値はどれか（θ は任意の角）。
- 7
- 4
- 5
- 25
正解と解説
正解：C. 5
合成すると y = √(3²+4²) sin(θ+α) = 5sin(θ+α)。sin の最大値は 1 なので最大値 5。7 は 3+4 と係数を足したミス、25 は a²+b² のルートを忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問20｜cos(α+β)
α, β は鋭角で、sinα = 4/5, cosβ = 5/13 のとき、cos(α+β) の値はどれか。
- 33/65
- −33/65
- 63/65
- 56/65
正解と解説
正解：B. −33/65
鋭角なので cosα = 3/5, sinβ = 12/13。cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ = 15/65−48/65 = −33/65。63/65 は符号を + にしたミス、56/65 は sin(α+β) の値。負になるのは α+β が鈍角になっているから。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問21｜sinの方程式
0≦θ<2π のとき、方程式 sinθ = 1/2 の解はどれか。
- θ = π/3, 2π/3
- θ = π/6, 5π/6
- θ = π/6 のみ
- θ = π/6, 7π/6
正解と解説
正解：B. θ = π/6, 5π/6
単位円で y 座標が 1/2 になる角は第1・第2象限に1つずつあり、θ = π/6 と π−π/6 = 5π/6。π/3, 2π/3 は sinθ=√3/2 の解と混同したミス、7π/6 は y=−1/2 の点。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問22｜cosの方程式
0≦θ<2π のとき、方程式 cosθ = −1/2 の解はどれか。
- θ = π/3, 5π/3
- θ = 2π/3, 4π/3
- θ = 2π/3 のみ
- θ = 5π/6, 7π/6
正解と解説
正解：B. θ = 2π/3, 4π/3
単位円で x 座標が −1/2 になるのは第2・第3象限で、θ = π−π/3 = 2π/3 と π+π/3 = 4π/3。π/3, 5π/3 は cosθ=+1/2 の解（符号の見落とし）、5π/6, 7π/6 は cosθ=−√3/2 の解。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問23｜tanの方程式
0≦θ<2π のとき、方程式 tanθ = 1 の解はどれか。
- θ = π/4, 5π/4
- θ = π/4 のみ
- θ = π/4, 3π/4
- θ = π/4, 7π/4
正解と解説
正解：A. θ = π/4, 5π/4
tan は傾きなので、傾き 1 の直線と単位円の交点は原点対称に2つ。θ = π/4 と π/4+π = 5π/4。tan の解は π ずつ離れる。3π/4 や 7π/4 は tanθ=−1 の解。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問24｜sinの不等式
0≦θ<2π のとき、不等式 sinθ > 1/2 の解はどれか。
- 0 < θ < π/6
- π/6 < θ < π
- π/6 < θ < 5π/6
- 5π/6 < θ < 2π
正解と解説
正解：C. π/6 < θ < 5π/6
境目は sinθ=1/2 の解 π/6, 5π/6。y 座標が 1/2 を超えるのは2解の間の上側の弧なので π/6 < θ < 5π/6。等号なしなので端点は含まない。単位円で「水平線 y=1/2 より上」を読む。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問25｜cosの不等式
0≦θ<2π のとき、不等式 cosθ ≦ 1/2 の解はどれか。
- 0 ≦ θ ≦ π/3
- π/3 ≦ θ ≦ π
- 5π/3 ≦ θ < 2π
- π/3 ≦ θ ≦ 5π/3
正解と解説
正解：D. π/3 ≦ θ ≦ 5π/3
境目は cosθ=1/2 の解 π/3, 5π/3。x 座標が 1/2 以下になるのは縦線 x=1/2 より左側の弧で、π/3 ≦ θ ≦ 5π/3。等号付きなので両端を含む。範囲が π を挟んで1つながりになる点に注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問26｜2次式型方程式
0≦θ<2π のとき、方程式 2sin²θ − sinθ − 1 = 0 の解はどれか。
- θ = π/2 のみ
- θ = π/2, 7π/6, 11π/6
- θ = π/6, 5π/6, 3π/2
- θ = 7π/6, 11π/6
正解と解説
正解：B. θ = π/2, 7π/6, 11π/6
sinθ=t とおくと 2t²−t−1 = (2t+1)(t−1) = 0 より t = 1, −1/2。sinθ=1 から θ=π/2、sinθ=−1/2 から θ=7π/6, 11π/6。3つすべてを挙げる。π/2 のみは t=−1/2 の側を落としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問27｜2次関数型最小
0≦θ<2π のとき、y = sin²θ + sinθ の最小値はどれか。
- −1/4
- 0
- 2（t=1 のとき）
- −2
正解と解説
正解：A. −1/4
t=sinθ（−1≦t≦1）とおくと y = t²+t = (t+1/2)²−1/4。頂点 t=−1/2 は範囲内なので最小値は −1/4。0 は端 t=−1, 0 での値、2 は t=1 での最大値。頂点が範囲内かの確認が置き換えの要点。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問28｜最大最小
関数 y = 2sinθ + 1 の最大値と最小値はどれか（θ は任意の角）。
- 最大 2、最小 −2
- 最大 3、最小 1
- 最大 3、最小 −1
- 最大 1、最小 −3
正解と解説
正解：C. 最大 3、最小 −1
−1 ≦ sinθ ≦ 1 なので 2sinθ は −2 から 2、それに 1 を足して −1 ≦ y ≦ 3。最大 3、最小 −1。最大 2・最小 −2 は +1 の平行移動を忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問29｜合成で方程式
0≦θ<2π のとき、方程式 sinθ + cosθ = 1 の解はどれか。
- θ = π/4 のみ
- θ = 0, π
- θ = π/2, π
- θ = 0, π/2
正解と解説
正解：D. θ = 0, π/2
合成すると √2 sin(θ+π/4) = 1 より sin(θ+π/4) = 1/√2。π/4 ≦ θ+π/4 < 9π/4 の範囲で θ+π/4 = π/4, 3π/4、すなわち θ = 0, π/2。実際 θ=0 で 0+1=1、θ=π/2 で 1+0=1 と検算できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
問30｜範囲付き最大最小
0≦θ≦π/2 のとき、y = sinθ + √3cosθ の最大値と最小値はどれか。
- 最大 2、最小 1
- 最大 2、最小 −2
- 最大 1+√3、最小 1
- 最大 2、最小 √3
正解と解説
正解：A. 最大 2、最小 1
合成して y = 2sin(θ+π/3)。θ+π/3 は π/3 から 5π/6 まで動き、sin はこの範囲で最大 1（θ+π/3=π/2）、最小 1/2（θ+π/3=5π/6）。よって最大 2、最小 1。最小 −2 は範囲制限を無視したミス、最小 √3 は θ=0 の端の値 2sin(π/3)=√3 を最小と早合点したミス（θ=π/2 側の 1 の方が小さい）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（4）三角関数
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