Hàm số mũ và hàm số lôgarit (数学Ⅱ, tức Toán II bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Số mũ âm biểu thị nghịch đảo, nên 2⁻³=1/2³=1/8. Kết quả −8 là lỗi hiểu nhầm thành thêm dấu trừ, 1/6 là lỗi tính 2×3, còn −1/8 là trộn cả hai lỗi.

Với a≠0 thì a⁰=1, vì 5²÷5²=5⁰ mà giá trị thật là 25÷25=1. Kết quả 0 là hiểu nhầm quen thuộc rằng mũ không thì bằng không, còn 1/5 là nhầm với 5⁻¹.

Ta có 8^(2/3) bằng bình phương của căn bậc ba của 8, tức 2²=4. Kết quả 2 là dừng ở 8^(1/3), 16 là lỗi coi số mũ như phép nhân 8×2, còn 16/3 là lỗi tính 8×2/3.

Số mũ bằng 3+5−2=6 nên kết quả là a⁶. Kết quả a¹⁰ là lỗi cộng cả phần chia thành 3+5+2, a⁸ là lỗi bỏ qua ÷a² và chỉ lấy 3+5, còn a⁴ là lỗi tính (3+5)÷2.

Vì (2³)²=2⁶ nên 2⁶×2⁻⁴=2²=4. Kết quả 2 là lỗi lấy số mũ của (2³)² thành 3+2=5 rồi tính 2⁵⁻⁴, 64 là lỗi quên nhân 2⁻⁴ và dừng ở 2⁶, còn 1/4 là lỗi xử lý dấu thành 2⁻².

Tích hai căn cùng bậc bằng căn của tích: căn bậc ba của 16×4, tức căn bậc ba của 64, bằng 4. Kết quả 8 là lỗi nhầm với căn bậc hai của 64, căn bậc ba của 20 là lỗi cộng 16+4, còn 2 là nhầm với căn bậc ba của 8.

Đưa về cùng cơ số 2: √2=2^(1/2), căn bậc ba của 4 bằng 2^(2/3), căn bậc bốn của 8 bằng 2^(3/4). Vì cơ số 2>1 nên thứ tự của các số mũ 1/2<2/3<3/4 cũng chính là thứ tự của các giá trị, cho √2 < căn bậc ba của 4 < căn bậc bốn của 8.

Số mũ âm nghĩa là lấy nghịch đảo, nên (1/2)⁻²=2²=4. Kết quả 1/4 là bỏ qua dấu và tính (1/2)², còn −4 và −1/4 sinh ra từ hiểu nhầm rằng mũ âm thì kết quả âm.

Vì 3⁰=1 nên đồ thị luôn đi qua điểm có tọa độ 0 và 1, và vì cơ số 3>1 nên hàm đồng biến. Do luôn có y>0 nên đồ thị không cắt trục x, đó là đường tiệm cận. Hàm chỉ nghịch biến khi cơ số nằm trong khoảng 0<a<1.

Ta có 4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, trong đó 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. Kết quả 9 là lỗi quên trừ 2, 11 là lỗi sai dấu thành cộng 2, còn 6 là lỗi tính 2×3.

Đây là số trả lời cho câu hỏi phải nâng 2 lên lũy thừa mấy thì được 8, và vì 2³=8 nên giá trị là 3. Kết quả 4 là lỗi chia 8÷2, 16 là lỗi nhân 2×8, còn 2 là lỗi chép lại cơ số.

Vì 3⁰=1 nên log_3 1=0, và với mọi cơ số ta luôn có log_a 1=0. Kết quả 1 là nhầm với log_a a=1, 1/3 là giá trị của 3⁻¹, còn 3 là lỗi chép lại cơ số.

Vì log_2 8=3 và log_2 4=2 nên tổng bằng 3+2=5, và dùng tích cũng cho log_2 32=5. Kết quả 6 là lỗi nhân 3×2, 12 là lỗi cộng hai biểu thức dưới dấu lôgarit thành 8+4, còn 1 là lỗi lấy thương log_2(8/4).

Theo công thức tổng thành tích, log_10(5×2)=log_10 10=1. Kết quả log_10 7 là lỗi cộng hai biểu thức dưới dấu lôgarit thành 5+2, log_10 3 là lỗi lấy hiệu 5−2, còn 10 là lỗi bỏ dấu lôgarit và chỉ trả lời tích.

Vì √8=8^(1/2) nên log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. Kết quả 3 là bỏ qua dấu căn và tính log_2 8, 1/2 là chỉ trả lời số mũ, còn 2√2 là chính giá trị của √8.

Theo công thức hiệu thành thương, log_3(18/2)=log_3 9=2 vì 3²=9. Kết quả 9 là lỗi bỏ dấu lôgarit và chỉ trả lời 18÷2, 16 là lỗi lấy hiệu 18−2 của các biểu thức dưới dấu lôgarit, còn 1 là lỗi chia quá tay thành log_3 3=1.

Theo công thức đổi cơ số, log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. Kết quả 2/3 là lỗi lật ngược tử và mẫu, 2 là lỗi chia 8÷4, còn 1/2 là lỗi chia 4÷8.

Vì 45=3²×5 nên log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. Kết quả a+2b là lỗi phân tích sai thành 45=3×5², a+b là lỗi bỏ mất lũy thừa bậc hai như thể coi 45=15, còn 2ab là lỗi biến hệ số thành phép nhân.

Đổi cơ số cho log_3 4=log_2 4/log_2 3, nên tích bằng log_2 4=2. Kết quả 1 là nhầm với quan hệ nghịch đảo log_2 3×log_3 2=1, còn log_2 12 và 12 sinh ra từ hiểu nhầm rằng tích thì nhân các biểu thức dưới dấu lôgarit.

Vì 16=2⁴ nên so sánh số mũ được x=4. Kết quả 8 là lỗi tính 16÷2, 32 là lỗi tính 16×2, còn 2 là nhầm với √16. Cách làm cơ bản là viết hai vế thành lũy thừa cùng cơ số.

Vì 1/9=1/3²=3⁻² nên x=−2. Kết quả 2 là lỗi quên dấu trừ của nghịch đảo, −3 là nhầm với 1/27=3⁻³, còn 3 là nhầm với 27. Hãy dùng quy tắc 1/aⁿ=a⁻ⁿ để đưa về cùng cơ số.

Đưa về cơ số 2 được 2²ˣ=2³, nên 2x=3 và x=3/2. Kết quả 2/3 là lỗi giải ngược 2x=3 thành x=2/3, 2 là suy đoán từ 4×2=8, còn 4 là lỗi tính hiệu 8−4.

Theo định nghĩa, x=2⁵=32. Kết quả 25 là lỗi đảo vai trò cơ số và số mũ thành 5², 10 là lỗi tính 2×5, còn 7 là lỗi tính 2+5. Toàn bộ nằm ở cách phát biểu tương đương log_a x=p ⇔ x=aᵖ.

Với điều kiện x−1>0, ta có x−1=3²=9, nên x=10 và khi đó x−1=9>0 nên nhận. Kết quả 9 là lỗi quên cộng 1, 7 là lỗi lấy 3×2=6 rồi cộng 1, còn 4 là lỗi đọc nhầm thành 3¹=3 rồi cộng 1.

Vì 1/8=(1/2)³ nên bất phương trình thành (1/2)ˣ<(1/2)³. Cơ số 1/2 nhỏ hơn 1 nên hàm nghịch biến, phải đổi chiều bất đẳng thức và được x>3. Kết quả x<3 là lỗi quen thuộc do quên đổi chiều. Thật vậy (1/2)⁴=1/16<1/8, phù hợp.

Ta có −2=log_(1/3) 9 vì (1/3)⁻²=9. Cơ số 1/3 nhỏ hơn 1 nên đổi chiều bất đẳng thức được x<9, kết hợp điều kiện x>0 thành 0<x<9. Kết quả x>9 là lỗi quên đổi chiều, còn 1/9 là giá trị sai dấu ứng với (1/3)².

Đặt 2ˣ=t với t>0 thì t²−3t−4=0, tức (t−4)(t+1)=0. Vì t>0 nên chỉ nhận t=4, và từ 2ˣ=4 được x=2. Đáp án x=2, −1 là lỗi quên loại t=−1, x=4 là lỗi lấy giá trị của t làm nghiệm, còn x=1 khi thay vào cho 4−6−4=−6≠0 nên không thỏa mãn.

Ta có log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. Từ 3≦log_10 2¹⁰<4 suy ra 10³≦2¹⁰<10⁴, nên số đó có 4 chữ số, thật vậy 2¹⁰=1024. Đáp án 3 chữ số là lỗi lấy phần nguyên mà quên cộng 1, còn 10 chữ số là nhầm với số mũ.

Ta có log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. Từ 15≦log_10 2⁵⁰<16 suy ra 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶, nên số đó có 16 chữ số. Đáp án 15 chữ số là lỗi quên cộng 1 vào phần nguyên, 50 chữ số là nhầm với số mũ, còn 17 chữ số là cộng thừa thành 2.

Lấy lôgarit thập phân hai vế được −0.3010n<−3, tức n>3/0.3010=9.96…, nên số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn là n=10. Kiểm tra: (1/2)⁹≒0.00195 vẫn lớn hơn 0.001, còn (1/2)¹⁰≒0.00098 mới nhỏ hơn. Đáp án 9 là lỗi làm tròn xuống từ 9.96…, còn 3 là lỗi chép lại số mũ của 0.001=10⁻³.