Funcții exponențiale și logaritmice (matematică Ⅱ, programa japoneză)

Un exponent negativ înseamnă inversul, deci 2⁻³=1/2³=1/8. Varianta −8 provine din interpretarea greșită că trebuie pus semnul minus, 1/6 din calculul 2×3, iar −1/8 din amestecarea celor două greșeli.

Pentru a≠0 avem a⁰=1, fiindcă 5²÷5²=5⁰, iar valoarea efectivă este 25÷25=1. Varianta 0 este confuzia clasică potrivit căreia un exponent nul ar da 0, iar 1/5 provine din confuzia cu 5⁻¹.

Expresia 8^(2/3) este pătratul rădăcinii cubice a lui 8, adică 2²=4. Varianta 2 se oprește la 8^(1/3), 16 tratează exponentul ca pe o înmulțire de tipul 8×2, iar 16/3 provine din calculul 8×2/3.

Exponentul este 3+5−2=6, deci rezultatul este a⁶. Varianta a¹⁰ apare când și împărțirea este tratată ca adunare, 3+5+2, a⁸ când se uită ÷a², adică se calculează doar 3+5, iar a⁴ din calculul greșit (3+5)÷2.

Cum (2³)²=2⁶, avem 2⁶×2⁻⁴=2²=4. Varianta 2 apare când exponentul lui (2³)² este luat ca 3+2=5, dând 2⁵⁻⁴, 64 când se uită înmulțirea cu 2⁻⁴ și rămâne 2⁶, iar 1/4 dintr-o greșeală de semn, dând 2⁻².

Produsul a doi radicali de același ordin este radicalul produsului: ³√(16×4)=³√64=4. Varianta 8 provine din confuzia cu rădăcina pătrată √64, ³√20 din adunarea 16+4, iar 2 din confuzia cu ³√8.

Aducând totul la baza 2 avem √2=2^(1/2), ³√4=2^(2/3) și ⁴√8=2^(3/4). Baza 2 fiind mai mare decât 1, ordinea exponenților 1/2<2/3<3/4 se transmite valorilor, deci √2 < ³√4 < ⁴√8.

Un exponent negativ înseamnă inversul, deci (1/2)⁻²=2²=4. Varianta 1/4 provine din ignorarea semnului și calculul (1/2)², iar −4 și −1/4 din interpretarea greșită potrivit căreia un exponent negativ ar da un număr negativ.

Cum 3⁰=1, graficul trece obligatoriu prin punctul (0, 1), iar baza 3 fiind mai mare decât 1, funcția este crescătoare. Fiind mereu y>0, graficul nu intersectează axa x, care este asimptotă. Funcția este descrescătoare doar când baza verifică 0<a<1.

Avem 4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, fiindcă 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. Varianta 9 apare când se uită termenul −2, 11 dintr-o greșeală de semn, cu +2, iar 6 din calculul greșit 2×3.

Este numărul care răspunde la întrebarea la ce putere trebuie ridicat 2 ca să dea 8, iar 2³=8, deci valoarea este 3. Varianta 4 provine din împărțirea 8÷2, 16 din înmulțirea 2×8, iar 2 din darea ca răspuns chiar a bazei.

Cum 3⁰=1, avem log_3 1=0. Pentru orice bază, log_a 1=0. Varianta 1 provine din confuzia cu log_a a=1, 1/3 este valoarea lui 3⁻¹, iar 3 este chiar baza dată ca răspuns.

Avem log_2 8=3 și log_2 4=2, deci 3+2=5; același rezultat se obține din produsul argumentelor, log_2 32=5. Varianta 6 provine din înmulțirea 3×2, 12 din adunarea argumentelor, 8+4, iar 1 din trecerea la cât, log_2(8/4).

Din formula produsului, log_10(5×2)=log_10 10=1. Varianta log_10 7 provine din adunarea argumentelor, 5+2, log_10 3 din scăderea 5−2, iar 10 din eliminarea logaritmului și darea doar a produsului argumentelor.

Cum √8=8^(1/2), avem log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. Varianta 3 apare când radicalul este ignorat și se calculează log_2 8, 1/2 când se dă doar exponentul, iar 2√2 este chiar valoarea lui √8.

Din formula câtului, log_3(18/2)=log_3 9=2, fiindcă 3²=9. Varianta 9 provine din eliminarea logaritmului și darea doar a câtului 18÷2, 16 din scăderea argumentelor, 18−2, iar 1 din împărțirea excesivă a argumentului, transformând log_3(18/2) în log_3 3, care este 1.

Cu formula de schimbare a bazei, log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. Varianta 2/3 provine din inversarea numărătorului cu numitorul, 2 din împărțirea 8÷4, iar 1/2 din împărțirea 4÷8.

Cum 45=3²×5, avem log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. Varianta a+2b provine din descompunerea greșită 45=3×5², a+b din pierderea pătratului, ca și cum am avea 45=15, iar 2ab din transformarea coeficientului într-o înmulțire.

Prin schimbarea bazei, log_3 4=log_2 4/log_2 3, deci produsul este log_2 4=2. Varianta 1 provine din confuzia cu log_2 3×log_3 2=1, care exprimă relația de inversare, iar log_2 12 și 12 din interpretarea greșită potrivit căreia la produs argumentele s-ar înmulți.

Cum 16=2⁴, prin identificarea exponenților rezultă x=4. Varianta 8 provine din calculul 16÷2, 32 din calculul 16×2, iar 2 din confuzia cu √16. Procedeul de bază este scrierea ambilor membri ca puteri ale aceleiași baze.

Cum 1/9=1/3²=3⁻², rezultă x=−2. Varianta 2 apare când se uită semnul minus care însoțește inversul, −3 din confuzia cu 1/27=3⁻³, iar 3 din confuzia cu 27. Bazele se egalează folosind 1/aⁿ=a⁻ⁿ.

Aducând la baza 2 obținem 2²ˣ=2³, deci 2x=3 și x=3/2. Varianta 2/3 apare când ecuația 2x=3 este rezolvată invers, 2 dintr-o presupunere pornind de la 4×2=8, iar 4 din scăderea 8−4.

Din definiție, x=2⁵=32. Varianta 25 provine din inversarea bazei cu exponentul, calculând 5², 10 din calculul 2×5, iar 7 din calculul 2+5. Totul se reduce la echivalența log_a x=p ⇔ x=aᵖ.

Sub condiția de existență x−1>0 avem x−1=3²=9, deci x=10, valoare acceptabilă fiindcă x−1=9>0. Varianta 9 apare când se uită adunarea lui 1, 7 din calculul 3×2=6 la care se adaugă 1, iar 4 din citirea greșită 3¹=3, la care se adaugă 1.

Cum 1/8=(1/2)³, inecuația devine (1/2)ˣ<(1/2)³. Baza 1/2 fiind mai mică decât 1, funcția este descrescătoare, deci sensul inegalității se schimbă și rezultă x>3. Varianta x<3 este greșeala clasică de a uita schimbarea sensului. Se verifică: (1/2)⁴=1/16<1/8.

Avem −2=log_(1/3) 9, fiindcă (1/3)⁻²=9. Baza 1/3 fiind mai mică decât 1, sensul inegalității se schimbă și rezultă x<9; împreună cu condiția de existență x>0 obținem 0<x<9. Varianta x>9 apare când se uită schimbarea sensului, iar 1/9 provine dintr-o greșeală de semn, folosind (1/3)².

Notând 2ˣ=t, cu t>0, obținem t²−3t−4=0, adică (t−4)(t+1)=0. Din t>0 rămâne doar t=4, iar din 2ˣ=4 rezultă x=2. Varianta x=2, −1 apare când nu se elimină t=−1, x=4 când valoarea lui t este dată drept soluție, iar x=1 nu verifică ecuația, fiindcă 4−6−4=−6≠0.

Avem log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. Din 3≦log_10 2¹⁰<4 rezultă 10³≦2¹⁰<10⁴, deci 4 cifre, ceea ce confirmă și valoarea 2¹⁰=1024. Varianta 3 cifre preia partea întreagă fără a adăuga 1, iar 10 cifre provine din confuzia cu exponentul.

Avem log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. Din 15≦log_10 2⁵⁰<16 rezultă 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶, deci 16 cifre. Varianta 15 cifre apare când se uită adăugarea lui 1 la partea întreagă, 50 cifre provine din confuzia cu exponentul, iar 17 cifre din adăugarea greșită a lui 2.

Luând logaritmul zecimal al ambilor membri obținem −0.3010n<−3, deci n>3/0.3010=9.96…, iar cel mai mic număr natural care verifică este n=10. Verificare: (1/2)⁹≒0.00195 este mai mare decât 0.001, iar (1/2)¹⁰≒0.00098 scade pentru prima dată sub prag. Varianta 9 provine din trunchierea lui 9.96…, iar 3 din preluarea exponentului din 0.001=10⁻³.