지수함수와 로그함수 (수학Ⅱ: 일본 고교 수학 II)

음의 지수는 역수를 나타내므로 2⁻³=1/2³=1/8 이다. −8 은 '마이너스를 붙인다'고 오해한 실수, 1/6 은 2×3 을 계산한 실수, −1/8 은 둘을 섞은 실수이다.

a≠0 일 때 a⁰=1 이다. 5²÷5²=5⁰ 이고 실제 값은 25÷25=1 이기 때문이다. 0 은 '0 제곱이니까 0'이라는 흔한 오해이고, 1/5 은 5⁻¹ 과의 혼동이다.

8^(2/3)=(세제곱근√8)²=2²=4 이다. 2 는 8^(1/3) 에서 멈춘 실수, 16 은 8×2 처럼 지수를 곱셈과 혼동한 실수, 16/3 은 8×2/3 으로 계산한 실수이다.

지수는 3+5−2=6 이므로 a⁶ 이다. a¹⁰ 은 나눗셈까지 더한 3+5+2, a⁸ 은 ÷a² 을 잊은 3+5, a⁴ 는 (3+5)÷2 로 잘못한 실수이다.

(2³)²=2⁶ 이므로 2⁶×2⁻⁴=2²=4 이다. 2 는 (2³)² 의 지수를 3+2=5 로 한 2⁵⁻⁴, 64 는 2⁻⁴ 를 곱하지 않은 2⁶, 1/4 은 부호 처리를 틀린 2⁻² 이다.

거듭제곱근의 곱은 진수의 곱이므로 세제곱근√(16×4)=세제곱근√64=4 이다. 8 은 √64(제곱근)와 혼동한 실수, 세제곱근√20 은 16+4 로 더한 실수, 2 는 세제곱근√8 과의 혼동이다.

밑을 2 로 맞추면 √2=2^(1/2), 세제곱근√4=2^(2/3), 네제곱근√8=2^(3/4) 이다. 밑 2>1 이므로 지수 1/2<2/3<3/4 의 순서가 그대로 값의 대소가 되어 √2 < 세제곱근√4 < 네제곱근√8 이다.

음의 지수는 역수이므로 (1/2)⁻²=2²=4 이다. 1/4 은 부호를 무시한 (1/2)², −4 와 −1/4 은 '마이너스 제곱=음수'라는 오해에서 나오는 실수이다.

3⁰=1 이므로 반드시 점(0, 1)을 지나고, 밑 3>1 이므로 증가한다. 항상 y>0 이므로 x축(점근선)과는 만나지 않는다. 감소하는 것은 밑이 0<a<1 일 때이다.

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7 이다(2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1). 9 는 −2 를 잊은 실수, 11 은 +2 로 한 부호 실수, 6 은 2×3 으로 잘못 본 값이다.

'2 를 몇 제곱하면 8 이 되는가'에 답하는 수이며, 2³=8 이므로 3 이다. 4 는 8÷2 로 나눈 실수, 16 은 2×8 로 곱한 실수, 2 는 밑을 그대로 답한 실수이다.

3⁰=1 이므로 log_3 1=0 이다. 어떤 밑이어도 log_a 1=0 이다. 1 은 log_a a=1 과의 혼동, 1/3 은 3⁻¹ 의 값, 3 은 밑을 그대로 답한 실수이다.

log_2 8=3, log_2 4=2 이므로 3+2=5 이다(진수의 곱 log_2 32=5 로 해도 같다). 6 은 3×2 로 곱한 실수, 12 는 진수를 8+4 로 더한 실수, 1 은 log_2(8/4) 처럼 몫으로 한 실수이다.

곱의 공식으로 log_10(5×2)=log_10 10=1 이다. log_10 7 은 진수를 5+2 로 더한 실수, log_10 3 은 5−2 로 뺀 실수, 10 은 log 를 떼고 진수의 곱만 답한 실수이다.

√8=8^(1/2) 이므로 log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2 이다. 3 은 √ 를 무시한 log_2 8, 1/2 은 지수만 답한 실수, 2√2 는 √8 의 값 그 자체이다.

몫의 공식으로 log_3(18/2)=log_3 9=2 이다(3²=9). 9 는 log 를 떼고 18÷2 만 답한 실수, 16 은 진수를 18−2 로 뺀 실수, 1 은 log_3(18/2) 를 log_3 3 으로 진수까지 지나치게 나눈 실수이다(log_3 3=1).

밑 변환 공식으로 log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2 이다. 2/3 은 분자와 분모를 뒤바꾼 실수, 2 는 8÷4 로 나눈 실수, 1/2 은 4÷8 로 나눈 실수이다.

45=3²×5 이므로 log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b 이다. a+2b 는 45=3×5² 로 잘못 분해한 실수, a+b 는 45=15 처럼 제곱을 빠뜨린 실수, 2ab 는 계수를 곱셈으로 만든 실수이다.

밑 변환으로 log_3 4=log_2 4/log_2 3 이므로 곱은 log_2 4=2 이다. 1 은 log_2 3×log_3 2=1(역수 관계)과의 혼동이고, log_2 12 나 12 는 '곱이니까 진수를 곱한다'고 오해한 실수이다.

16=2⁴ 이므로 지수를 비교하여 x=4 이다. 8 은 16÷2, 32 는 16×2 로 계산한 실수, 2 는 √16 과의 혼동이다. 양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 나타내는 것이 기본이다.

1/9=1/3²=3⁻² 이므로 x=−2 이다. 2 는 역수에 따른 마이너스를 잊은 실수, −3 은 1/27=3⁻³ 과의 혼동, 3 은 27 과의 혼동이다. '1/aⁿ=a⁻ⁿ'으로 밑을 맞춘다.

밑을 2 로 맞추면 2²ˣ=2³ 이고 2x=3 이므로 x=3/2 이다. 2/3 은 2x=3 을 x=2/3 으로 거꾸로 푼 실수, 2 는 4×2=8 이라는 짐작, 4 는 8−4 로 뺀 실수이다.

정의에 의해 x=2⁵=32 이다. 25 는 5² 처럼 밑과 지수를 뒤바꾼 실수, 10 은 2×5, 7 은 2+5 로 계산한 실수이다. log_a x=p ⇔ x=aᵖ 로 바꾸어 읽는 것이 전부이다.

진수 조건 x−1>0 아래에서 x−1=3²=9 이므로 x=10 이다(x−1=9>0 이라 적합하다). 9 는 +1 을 잊은 실수, 7 은 3×2=6 에 1 을 더한 실수, 4 는 3¹=3 으로 잘못 읽고 1 을 더한 실수이다.

1/8=(1/2)³ 이므로 (1/2)ˣ<(1/2)³ 이다. 밑 1/2 은 1 보다 작아 감소함수이므로 부등호의 방향을 뒤집어 x>3 이다. x<3 은 방향 뒤집기를 잊은 흔한 실수이다. 실제로 (1/2)⁴=1/16<1/8 로 확인할 수 있다.

−2=log_(1/3) 9 이다((1/3)⁻²=9). 밑 1/3<1 이므로 부등호의 방향을 뒤집어 x<9 이고, 진수 조건 x>0 과 합하면 0<x<9 이다. x>9 는 방향 뒤집기를 잊은 것이고, 1/9 은 (1/3)² 으로 부호를 틀린 값이다.

2ˣ=t(t>0)로 놓으면 t²−3t−4=0, 즉 (t−4)(t+1)=0 이다. t>0 이므로 t=4 뿐이고 2ˣ=4 에서 x=2 이다. 'x=2, −1' 은 t=−1 을 버리는 것을 잊은 실수, x=4 는 t 의 값을 그대로 해로 삼은 실수, x=1 은 대입하면 4−6−4=−6≠0 으로 성립하지 않는다.

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010 이다. 3≦log_10 2¹⁰<4 에서 10³≦2¹⁰<10⁴ 이므로 4 자리이다(실제로 2¹⁰=1024). 3 자리는 정수 부분을 그대로 답하여 +1 을 잊은 실수이고, 10 자리는 지수와의 혼동이다.

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05 이다. 15≦log_10 2⁵⁰<16 에서 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶ 이므로 16 자리이다. 15 자리는 정수 부분에 +1 하는 것을 잊은 실수, 50 자리는 지수와의 혼동, 17 자리는 +2 로 지나치게 센 실수이다.

양변에 상용로그를 취하면 −0.3010n<−3 이므로 n>3/0.3010=9.96… 이다. 이를 만족하는 최소의 자연수는 n=10 이다. 검산: (1/2)⁹≒0.00195 는 0.001 보다 크고, (1/2)¹⁰≒0.00098 에서 처음으로 밑돈다. 9 는 9.96… 을 버림한 실수, 3 은 0.001=10⁻³ 의 지수를 그대로 답한 실수이다.