ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและฟังก์ชันลอการิทึม

เลขชี้กำลังที่เป็นลบหมายถึงส่วนกลับ จึงได้ 2⁻³=1/2³=1/8 ข้อ −8 เกิดจากเข้าใจผิดว่าให้ใส่เครื่องหมายลบ ข้อ 1/6 เกิดจากคำนวณ 2×3 และ −1/8 เกิดจากผสมความเข้าใจผิดทั้งสองแบบเข้าด้วยกัน

เมื่อ a≠0 จะมี a⁰=1 เพราะ 5²÷5²=5⁰ และค่าจริงคือ 25÷25=1 ข้อ 0 เป็นความเข้าใจผิดยอดนิยมว่ายกกำลังศูนย์แล้วต้องได้ศูนย์ และ 1/5 เกิดจากสับสนกับ 5⁻¹

8^(2/3)=(∛8)²=2²=4 ข้อ 2 เกิดจากหยุดที่ 8^(1/3) ข้อ 16 เกิดจากสับสนว่าเลขชี้กำลังคือการคูณแล้วคิดเป็น 8×2 และ 16/3 เกิดจากคำนวณเป็น 8×2/3

เลขชี้กำลังคือ 3+5−2=6 จึงได้ a⁶ ข้อ a¹⁰ เกิดจากนำส่วนที่เป็นการหารมาบวกด้วยเป็น 3+5+2 ข้อ a⁸ เกิดจากลืม ÷a² แล้วคิดเป็น 3+5 และ a⁴ เกิดจากคิดผิดเป็น (3+5)÷2

(2³)²=2⁶ จึงได้ 2⁶×2⁻⁴=2²=4 ข้อ 2 เกิดจากคิดเลขชี้กำลังของ (2³)² เป็น 3+2=5 แล้วได้ 2⁵⁻⁴ ข้อ 64 เกิดจากลืมคูณ 2⁻⁴ แล้วเหลือ 2⁶ และ 1/4 เกิดจากจัดการเครื่องหมายผิดจนได้ 2⁻²

ผลคูณของรากอันดับเดียวกันคือรากของผลคูณ จึงได้ ∛(16×4)=∛64=4 ข้อ 8 เกิดจากสับสนกับ √64 ซึ่งเป็นรากที่สอง ข้อ ∛20 เกิดจากนำมาบวกเป็น 16+4 และ 2 เกิดจากสับสนกับ ∛8

เมื่อทำให้ฐานเป็น 2 เหมือนกัน จะได้ √2=2^(1/2), ∛4=2^(2/3) และ ∜8=2^(3/4) เนื่องจากฐาน 2 มากกว่า 1 ลำดับของเลขชี้กำลัง 1/2<2/3<3/4 จึงเป็นลำดับของค่าโดยตรง ได้ √2 < ∛4 < ∜8

เลขชี้กำลังที่เป็นลบหมายถึงส่วนกลับ จึงได้ (1/2)⁻²=2²=4 ข้อ 1/4 คือ (1/2)² ซึ่งเกิดจากละเลยเครื่องหมาย ส่วน −4 และ −1/4 เกิดจากความเข้าใจผิดว่ายกกำลังด้วยจำนวนลบแล้วต้องได้จำนวนลบ

เนื่องจาก 3⁰=1 กราฟจึงผ่านจุด (0, 1) เสมอ และเพราะฐาน 3 มากกว่า 1 กราฟจึงเพิ่มขึ้น อีกทั้ง y>0 เสมอ จึงไม่ตัดแกน x ซึ่งเป็นเส้นกำกับ กราฟจะลดลงก็ต่อเมื่อฐานอยู่ในช่วง 0<a<1

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7 โดยที่ 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1 ข้อ 9 เกิดจากลืมลบ 2 ข้อ 11 เกิดจากใส่เป็น +2 ซึ่งเครื่องหมายผิด และ 6 เกิดจากคิดผิดเป็น 2×3

เป็นจำนวนที่ตอบคำถามว่ายก 2 ขึ้นกำลังเท่าใดจึงได้ 8 เนื่องจาก 2³=8 จึงได้ 3 ข้อ 4 เกิดจากหารเป็น 8÷2 ข้อ 16 เกิดจากคูณเป็น 2×8 และ 2 เกิดจากตอบฐานไปเลย

เนื่องจาก 3⁰=1 จึงได้ log_3 1=0 ไม่ว่าฐานจะเป็นอะไร ค่า log_a 1 ก็เท่ากับ 0 เสมอ ข้อ 1 เกิดจากสับสนกับ log_a a=1 ข้อ 1/3 คือค่าของ 3⁻¹ และ 3 เกิดจากตอบฐานไปเลย

log_2 8=3 และ log_2 4=2 จึงได้ 3+2=5 หรือจะคิดจากผลคูณของจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมเป็น log_2 32=5 ก็ได้ผลเท่ากัน ข้อ 6 เกิดจากคูณเป็น 3×2 ข้อ 12 เกิดจากบวกจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมเป็น 8+4 และ 1 เกิดจากทำเป็นผลหาร log_2(8/4)

ใช้สูตรผลคูณได้ log_10(5×2)=log_10 10=1 ข้อ log_10 7 เกิดจากบวกจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมเป็น 5+2 ข้อ log_10 3 เกิดจากลบเป็น 5−2 และ 10 เกิดจากตัด log ทิ้งแล้วตอบเพียงผลคูณของจำนวนที่อยู่ในลอการิทึม

√8=8^(1/2) จึงได้ log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2 ข้อ 3 เกิดจากละเลยเครื่องหมายกรณฑ์แล้วคิดเป็น log_2 8 ข้อ 1/2 เกิดจากตอบเพียงเลขชี้กำลัง และ 2√2 คือค่าของ √8 เอง

ใช้สูตรผลหารได้ log_3(18/2)=log_3 9=2 เพราะ 3²=9 ข้อ 9 เกิดจากตัด log ทิ้งแล้วตอบเพียง 18÷2 ข้อ 16 เกิดจากลบจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมเป็น 18−2 และ 1 เกิดจากหารจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมมากเกินไปจนกลายเป็น log_3 3 ซึ่งเท่ากับ 1

ใช้สูตรเปลี่ยนฐานได้ log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2 ข้อ 2/3 เกิดจากกลับตัวเศษกับตัวส่วน ข้อ 2 เกิดจากหารเป็น 8÷4 และ 1/2 เกิดจากหารเป็น 4÷8

45=3²×5 จึงได้ log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b ข้อ a+2b เกิดจากแยกผิดเป็น 45=3×5² ข้อ a+b เกิดจากทำกำลังสองตกหล่นราวกับว่า 45=15 และ 2ab เกิดจากเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ให้กลายเป็นการคูณ

จากการเปลี่ยนฐาน log_3 4=log_2 4/log_2 3 ผลคูณจึงเท่ากับ log_2 4=2 ข้อ 1 เกิดจากสับสนกับ log_2 3×log_3 2=1 ซึ่งเป็นความสัมพันธ์แบบส่วนกลับ ส่วน log_2 12 และ 12 เกิดจากเข้าใจผิดว่าเป็นผลคูณแล้วต้องคูณจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมเข้าด้วยกัน

16=2⁴ เมื่อเทียบเลขชี้กำลังจึงได้ x=4 ข้อ 8 เกิดจากคำนวณ 16÷2 ข้อ 32 เกิดจากคำนวณ 16×2 และ 2 เกิดจากสับสนกับ √16 หลักพื้นฐานคือเขียนทั้งสองข้างให้เป็นกำลังของฐานเดียวกัน

1/9=1/3²=3⁻² จึงได้ x=−2 ข้อ 2 เกิดจากลืมเครื่องหมายลบของส่วนกลับ ข้อ −3 เกิดจากสับสนกับ 1/27=3⁻³ และ 3 เกิดจากสับสนกับ 27 ให้ใช้ 1/aⁿ=a⁻ⁿ เพื่อทำให้ฐานเหมือนกัน

ทำให้ฐานเป็น 2 จะได้ 2²ˣ=2³ นั่นคือ 2x=3 จึงได้ x=3/2 ข้อ 2/3 เกิดจากแก้ 2x=3 กลับด้านเป็น x=2/3 ข้อ 2 เกิดจากคิดเอาเองจาก 4×2=8 และ 4 เกิดจากลบเป็น 8−4

จากนิยามได้ x=2⁵=32 ข้อ 25 เกิดจากสลับฐานกับเลขชี้กำลังเป็น 5² ข้อ 10 เกิดจากคำนวณ 2×5 และ 7 เกิดจากคำนวณ 2+5 ทั้งหมดขึ้นอยู่กับการแปลงความหมายว่า log_a x=p ก็คือ x=aᵖ

ภายใต้เงื่อนไขว่าจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมต้องเป็นบวกคือ x−1>0 จะได้ x−1=3²=9 จึงได้ x=10 ซึ่งใช้ได้เพราะ x−1=9>0 ข้อ 9 เกิดจากลืมบวก 1 ข้อ 7 เกิดจากคิด 3×2=6 แล้วบวก 1 และ 4 เกิดจากอ่านผิดเป็น 3¹=3 แล้วบวก 1

1/8=(1/2)³ จึงได้ (1/2)ˣ<(1/2)³ เนื่องจากฐาน 1/2 น้อยกว่า 1 ฟังก์ชันจึงลดลง ต้องกลับทิศอสมการเป็น x>3 ข้อ x<3 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมกลับทิศ ตรวจได้จริงว่า (1/2)⁴=1/16<1/8

−2=log_(1/3) 9 เพราะ (1/3)⁻²=9 เนื่องจากฐาน 1/3 น้อยกว่า 1 ต้องกลับทิศอสมการเป็น x<9 เมื่อรวมกับเงื่อนไขว่าจำนวนที่อยู่ในลอการิทึมต้องเป็นบวกคือ x>0 จึงได้ 0<x<9 ข้อ x>9 เกิดจากลืมกลับทิศ และ 1/9 เป็นค่าที่ได้จาก (1/3)² ซึ่งเครื่องหมายผิด

ให้ 2ˣ=t โดยที่ t>0 จะได้ t²−3t−4=0 นั่นคือ (t−4)(t+1)=0 เนื่องจาก t>0 จึงเหลือเพียง t=4 และจาก 2ˣ=4 ได้ x=2 ข้อที่ตอบทั้ง x=2 และ −1 เกิดจากลืมตัด t=−1 ทิ้ง ข้อ x=4 เกิดจากตอบค่าของ t ไปเลย และ x=1 เมื่อแทนกลับจะได้ 4−6−4=−6≠0 ซึ่งไม่เป็นจริง

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010 จาก 3≦log_10 2¹⁰<4 จะได้ 10³≦2¹⁰<10⁴ จึงมี 4 หลัก ซึ่งตรงกับค่าจริงคือ 2¹⁰=1024 ข้อ 3 หลัก เกิดจากตอบส่วนจำนวนเต็มไปเลยโดยลืมบวก 1 และ 10 หลัก เกิดจากสับสนกับเลขชี้กำลัง

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05 จาก 15≦log_10 2⁵⁰<16 จะได้ 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶ จึงมี 16 หลัก ข้อ 15 หลัก เกิดจากลืมบวก 1 ให้ส่วนจำนวนเต็ม ข้อ 50 หลัก เกิดจากสับสนกับเลขชี้กำลัง และ 17 หลัก เกิดจากบวกเกินไปเป็น 2

ใส่ลอการิทึมสามัญทั้งสองข้างได้ −0.3010n<−3 นั่นคือ n>3/0.3010=9.96… จำนวนนับที่น้อยที่สุดที่สอดคล้องคือ n=10 ตรวจคำตอบได้ว่า (1/2)⁹≒0.00195 ยังมากกว่า 0.001 และ (1/2)¹⁰≒0.00098 จึงจะต่ำกว่าเป็นครั้งแรก ข้อ 9 เกิดจากปัดค่า 9.96… ลง และ 3 เกิดจากตอบเลขชี้กำลังของ 0.001=10⁻³ ไปเลย