Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

Pangkat negatif menyatakan kebalikan, sehingga 2⁻³=1/2³=1/8. Nilai −8 muncul dari salah paham bahwa cukup diberi tanda minus, 1/6 dari perhitungan 2×3, dan −1/8 dari campuran kedua kekeliruan itu.

Untuk a≠0 berlaku a⁰=1, sebab 5²÷5²=5⁰ dan nilainya memang 25÷25=1. Jawaban 0 adalah salah paham klasik bahwa pangkat nol berarti nol, sedangkan 1/5 tertukar dengan 5⁻¹.

8^(2/3)=(akar pangkat tiga dari 8)²=2²=4. Nilai 2 muncul karena berhenti pada 8^(1/3), 16 karena pangkatnya tertukar dengan perkalian seperti 8×2, dan 16/3 karena dihitung 8×2/3.

Pangkatnya 3+5−2=6, sehingga hasilnya a⁶. Bentuk a¹⁰ muncul karena pembagiannya ikut dijumlahkan sebagai 3+5+2, a⁸ karena ÷a² terlupakan sehingga hanya 3+5, dan a⁴ karena keliru dihitung (3+5)÷2.

Karena (2³)²=2⁶, maka 2⁶×2⁻⁴=2²=4. Nilai 2 muncul karena pangkat (2³)² dihitung 3+2=5 sehingga menjadi 2⁵⁻⁴, 64 karena 2⁻⁴ lupa dikalikan sehingga tinggal 2⁶, dan 1/4 karena tandanya salah diproses menjadi 2⁻².

Hasil kali akar pangkat sama dengan akar pangkat dari hasil kali bilangan di dalamnya: akar pangkat tiga dari (16×4) = akar pangkat tiga dari 64 = 4. Nilai 8 muncul karena tertukar dengan √64 (akar kuadrat), pilihan akar pangkat tiga dari 20 karena keliru dijumlahkan 16+4, dan 2 karena tertukar dengan akar pangkat tiga dari 8.

Bila disamakan ke basis 2: √2=2^(1/2), akar pangkat tiga dari 4 = 2^(2/3), dan akar pangkat empat dari 8 = 2^(3/4). Karena basisnya 2>1, urutan pangkat 1/2<2/3<3/4 langsung menjadi urutan nilainya, yaitu √2 < akar pangkat tiga dari 4 < akar pangkat empat dari 8.

Pangkat negatif menyatakan kebalikan, sehingga (1/2)⁻²=2²=4. Nilai 1/4 adalah (1/2)² dengan tandanya diabaikan, sedangkan −4 dan −1/4 timbul dari salah paham bahwa pangkat negatif berarti bilangan negatif.

Karena 3⁰=1, grafiknya pasti melalui titik (0, 1), dan karena basisnya 3>1 grafiknya naik. Nilainya selalu y>0 sehingga tidak pernah memotong sumbu x (yang menjadi asimtotnya). Grafik yang turun terjadi bila basisnya 0<a<1.

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, karena 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. Nilai 9 muncul karena −2 terlupakan, 11 karena tandanya keliru menjadi +2, dan 6 karena dihitung 2×3.

Nilainya adalah jawaban atas pertanyaan 2 dipangkatkan berapa agar menjadi 8; karena 2³=8, hasilnya 3. Nilai 4 muncul dari pembagian 8÷2, 16 dari perkalian 2×8, dan 2 karena basisnya langsung dijawab.

Karena 3⁰=1 maka log_3 1=0. Untuk basis apa pun berlaku log_a 1=0. Jawaban 1 tertukar dengan log_a a=1, 1/3 adalah nilai 3⁻¹, dan 3 muncul karena basisnya langsung dijawab.

Karena log_2 8=3 dan log_2 4=2, hasilnya 3+2=5 (sama saja lewat hasil kali bilangan pokoknya, log_2 32=5). Nilai 6 muncul karena dikalikan 3×2, 12 karena bilangan di dalam log dijumlahkan 8+4, dan 1 karena dijadikan pembagian log_2(8/4).

Dengan rumus hasil kali, log_10(5×2)=log_10 10=1. Bentuk log_10 7 muncul karena bilangan di dalam log dijumlahkan 5+2, log_10 3 karena dikurangkan 5−2, dan 10 karena log-nya dibuang sehingga hanya hasil kalinya yang dijawab.

Karena √8=8^(1/2), maka log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. Nilai 3 adalah log_2 8 dengan tanda akarnya diabaikan, 1/2 karena hanya pangkatnya yang dijawab, dan 2√2 adalah nilai √8 itu sendiri.

Dengan rumus hasil bagi, log_3(18/2)=log_3 9=2 karena 3²=9. Nilai 9 muncul karena log-nya dibuang sehingga hanya 18÷2 yang dijawab, 16 karena bilangan di dalam log dikurangkan 18−2, dan 1 karena log_3(18/2) terlanjur disederhanakan menjadi log_3 3 (padahal log_3 3=1).

Dengan rumus pengubahan basis, log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. Nilai 2/3 muncul karena pembilang dan penyebutnya terbalik, 2 karena dihitung 8÷4, dan 1/2 karena dihitung 4÷8.

Karena 45=3²×5, maka log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. Bentuk a+2b muncul dari penguraian keliru 45=3×5², a+b karena pangkat duanya terlewat seolah 45=15, dan 2ab karena koefisiennya dijadikan perkalian.

Dengan pengubahan basis, log_3 4=log_2 4/log_2 3, sehingga hasil kalinya log_2 4=2. Jawaban 1 tertukar dengan log_2 3×log_3 2=1 (hubungan saling berkebalikan), sedangkan log_2 12 dan 12 timbul dari salah paham bahwa pada perkalian, bilangan di dalam log ikut dikalikan.

Karena 16=2⁴, dengan membandingkan pangkatnya diperoleh x=4. Nilai 8 berasal dari 16÷2, 32 dari 16×2, dan 2 dari tertukar dengan √16. Dasarnya adalah menyatakan kedua ruas sebagai pangkat dengan basis yang sama.

Karena 1/9=1/3²=3⁻², maka x=−2. Jawaban 2 muncul karena tanda minus dari kebalikannya terlupakan, −3 karena tertukar dengan 1/27=3⁻³, dan 3 karena tertukar dengan 27. Samakan basisnya dengan hubungan 1/aⁿ=a⁻ⁿ.

Bila disamakan ke basis 2 diperoleh 2²ˣ=2³, sehingga 2x=3 dan x=3/2. Jawaban 2/3 muncul karena 2x=3 diselesaikan terbalik menjadi x=2/3, 2 karena terbawa dugaan dari 4×2=8, dan 4 karena dihitung 8−4.

Menurut definisinya, x=2⁵=32. Jawaban 25 muncul karena basis dan pangkatnya terbalik menjadi 5², 10 dari 2×5, dan 7 dari 2+5. Seluruh kuncinya adalah pengalihbentukan log_a x=p ⇔ x=aᵖ.

Dengan syarat x−1>0, dari x−1=3²=9 diperoleh x=10 (nilai x−1=9>0 memang memenuhi). Jawaban 9 muncul karena lupa menambahkan 1, 7 karena 3×2=6 lalu ditambah 1, dan 4 karena keliru membaca 3¹=3 lalu ditambah 1.

Karena 1/8=(1/2)³, pertidaksamaannya menjadi (1/2)ˣ<(1/2)³. Basis 1/2 lebih kecil daripada 1 sehingga fungsinya turun, dan arah tandanya harus dibalik menjadi x>3. Jawaban x<3 adalah kesalahan klasik karena lupa membalik arahnya. Memang (1/2)⁴=1/16<1/8 sebagai pemeriksaan.

Karena −2=log_(1/3) 9 (sebab (1/3)⁻²=9) dan basisnya 1/3<1, arah tandanya dibalik menjadi x<9; digabung dengan syarat x>0 diperoleh 0<x<9. Jawaban x>9 muncul karena lupa membalik arah, sedangkan 1/9 adalah nilai (1/3)² yang timbul dari kesalahan tanda.

Dengan pemisalan 2ˣ=t (t>0) diperoleh t²−3t−4=0, yaitu (t−4)(t+1)=0. Karena t>0, hanya t=4 yang berlaku, dan dari 2ˣ=4 didapat x=2. Jawaban x=2, −1 muncul karena t=−1 lupa dibuang, x=4 karena nilai t langsung dijadikan penyelesaian, dan x=1 tidak memenuhi karena substitusinya memberi 4−6−4=−6≠0.

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. Dari 3≦log_10 2¹⁰<4 diperoleh 10³≦2¹⁰<10⁴ sehingga banyaknya 4 digit (memang 2¹⁰=1024). Jawaban 3 digit muncul karena bagian bulatnya langsung dijawab tanpa menambahkan 1, sedangkan 10 digit tertukar dengan pangkatnya.

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. Dari 15≦log_10 2⁵⁰<16 diperoleh 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶ sehingga banyaknya 16 digit. Jawaban 15 digit muncul karena lupa menambahkan 1 pada bagian bulatnya, 50 digit tertukar dengan pangkatnya, dan 17 digit karena ditambah 2 sehingga kelebihan.

Dengan mengambil logaritma biasa pada kedua ruas diperoleh −0.3010n<−3, sehingga n>3/0.3010=9.96… dan bilangan asli terkecil yang memenuhinya adalah n=10. Pemeriksaan: (1/2)⁹≒0.00195 masih lebih besar daripada 0.001, dan baru (1/2)¹⁰≒0.00098 yang berada di bawahnya. Jawaban 9 muncul karena 9.96… dibulatkan ke bawah, sedangkan 3 karena pangkat pada 0.001=10⁻³ langsung dijawab.