指數函數與對數函數（數學Ⅱ，日本高中的第二階段數學）

負指數代表倒數，所以 2⁻³=1/2³=1/8。−8 是誤解成「加上負號」；1/6 是算成 2×3；−1/8 則是兩種錯誤混在一起。

當 a≠0 時 a⁰=1。因為 5²÷5²=5⁰，而實際的值是 25÷25=1。0 是「零次方所以是 0」這種常見誤解；1/5 則是與 5⁻¹ 混淆。

8^(2/3)=(∛8)²=2²=4。2 是停在 8^(1/3)；16 是把指數誤當成乘法、算成 8×2；16/3 則是算成 8×2/3。

指數是 3+5−2=6，所以是 a⁶。a¹⁰ 是連除法也加成 3+5+2；a⁸ 是漏掉 ÷a²、只算 3+5；a⁴ 則是誤算成 (3+5)÷2。

(2³)²=2⁶，所以 2⁶×2⁻⁴=2²=4。2 是把 (2³)² 的指數算成 3+2=5、變成 2⁵⁻⁴；64 是漏乘 2⁻⁴、停在 2⁶；1/4 則是符號處理錯誤、變成 2⁻²。

同次方根相乘可以把根號內相乘：∛(16×4)=∛64=4。8 是與 √64（平方根）混淆；∛20 是把 16+4 相加；2 則是與 ∛8 混淆。

統一化成以 2 為底：√2=2^(1/2)、∛4=2^(2/3)、∜8=2^(3/4)。底 2>1，所以指數 1/2<2/3<3/4 的順序就是值的大小順序，即 √2 < ∛4 < ∜8。

負指數代表倒數，所以 (1/2)⁻²=2²=4。1/4 是忽略負號、算成 (1/2)²；−4 與 −1/4 則來自「負次方等於負數」這種誤解。

因為 3⁰=1，圖形必定通過點 (0, 1)；底 3>1，所以遞增。又因為恆有 y>0，所以與 x 軸（漸近線）不會相交。遞減的情形是底為 0<a<1 的時候。

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7（因為 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1）。9 是忘了 −2；11 是把符號寫成 +2；6 則是誤算成 2×3。

它回答的是「2 的幾次方等於 8」，因為 2³=8，所以是 3。4 是算成 8÷2；16 是算成 2×8；2 則是直接把底當成答案。

因為 3⁰=1，所以 log_3 1=0。不論底是什麼，log_a 1=0。1 是與 log_a a=1 混淆；1/3 是 3⁻¹ 的值；3 則是直接把底當成答案。

log_2 8=3、log_2 4=2，所以 3+2=5（用真數相乘算 log_2 32=5 也一樣）。6 是算成 3×2；12 是把真數算成 8+4；1 則是誤取成商 log_2(8/4)。

由乘積公式得 log_10(5×2)=log_10 10=1。log_10 7 是把真數相加成 5+2；log_10 3 是相減成 5−2；10 則是把 log 拿掉、只答真數的乘積。

因為 √8=8^(1/2)，所以 log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2。3 是忽略了 √、直接算 log_2 8；1/2 是只答了指數；2√2 則是 √8 本身的值。

由商的公式得 log_3(18/2)=log_3 9=2（因為 3²=9）。9 是把 log 拿掉、只答 18÷2；16 是把真數相減成 18−2；1 則是把 log_3(18/2) 又多除一次真數、變成 log_3 3（log_3 3=1）。

用換底公式，log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2。2/3 是把分子分母顛倒；2 是算成 8÷4；1/2 則是算成 4÷8。

因為 45=3²×5，所以 log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b。a+2b 是誤拆成 45=3×5²；a+b 是漏掉平方、當成 45=15；2ab 則是把係數誤當成相乘。

由換底公式 log_3 4=log_2 4/log_2 3，所以乘積等於 log_2 4=2。1 是與 log_2 3×log_3 2=1（互為倒數）混淆；log_2 12 與 12 則是誤以為「相乘就把真數相乘」。

因為 16=2⁴，比較指數得 x=4。8 是算成 16÷2；32 是算成 16×2；2 則是與 √16 混淆。把兩邊化成同底的乘冪是基本做法。

因為 1/9=1/3²=3⁻²，所以 x=−2。2 是忘了倒數帶來的負號；−3 是與 1/27=3⁻³ 混淆；3 則是與 27 混淆。用「1/aⁿ=a⁻ⁿ」把底統一。

統一化成以 2 為底得 2²ˣ=2³，由 2x=3 得 x=3/2。2/3 是把 2x=3 反解成 x=2/3；2 是從 4×2=8 想當然；4 則是算成 8−4。

由定義得 x=2⁵=32。25 是把底與指數顛倒、算成 5²；10 是算成 2×5；7 則是算成 2+5。關鍵全在 log_a x=p ⇔ x=aᵖ 這個轉換。

在真數條件 x−1>0 之下，x−1=3²=9，所以 x=10（此時 x−1=9>0，合乎條件）。9 是忘了 +1；7 是把 3×2=6 再加 1；4 則是把 3¹=3 誤讀後再加 1。

因為 1/8=(1/2)³，所以 (1/2)ˣ<(1/2)³。底 1/2 小於 1，是遞減函數，所以不等號方向要反過來，得 x>3。x<3 是忘了反轉方向的常見錯誤。實際上 (1/2)⁴=1/16<1/8，可以確認。

−2=log_(1/3) 9（因為 (1/3)⁻²=9）。底 1/3<1，所以不等號方向要反過來，得 x<9；再配合真數條件 x>0，得 0<x<9。x>9 是忘了反轉方向；1/9 則是把符號誤成 (1/3)² 的值。

令 2ˣ=t（t>0），則 t²−3t−4=0，即 (t−4)(t+1)=0。因為 t>0，只取 t=4，由 2ˣ=4 得 x=2。答成 x=2, −1 是忘了捨去 t=−1；x=4 是把 t 的值直接當成解；x=1 代入後得 4−6−4=−6≠0，並不成立。

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010。由 3≦log_10 2¹⁰<4 得 10³≦2¹⁰<10⁴，所以是 4 位數（實際上 2¹⁰=1024）。3 位數是直接用整數部分、忘了 +1；10 位數則是與指數混淆。

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05。由 15≦log_10 2⁵⁰<16 得 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶，所以是 16 位數。15 位數是忘了對整數部分 +1；50 位數是與指數混淆；17 位數則是多加了 2。

兩邊取常用對數得 −0.3010n<−3，即 n>3/0.3010=9.96…，滿足的最小自然數是 n=10。驗算：(1/2)⁹≒0.00195 仍大於 0.001，到 (1/2)¹⁰≒0.00098 才首次低於它。9 是把 9.96… 直接捨去；3 則是直接用了 0.001=10⁻³ 的指數。