指数函数、对数函数

负指数表示倒数，所以 2⁻³=1/2³=1/8。−8 是误解成“加个负号”的错误，1/6 是算成 2×3 的错误，−1/8 是把两种错误混在一起。

当 a≠0 时 a⁰=1。因为 5²÷5²=5⁰，而实际的值是 25÷25=1。0 是“零次幂所以是0”这一常见误解，1/5 是与 5⁻¹ 混淆。

8^(2/3)=(∛8)²=2²=4。2 是停在 8^(1/3) 的错误，16 是把指数误当成乘法、算成 8×2 的错误，16/3 是算成 8×2/3 的错误。

指数为 3+5−2=6，所以是 a⁶。a¹⁰ 是把除法也算成加、写成 3+5+2，a⁸ 是忘了 ÷a²、只算 3+5，a⁴ 是误算成 (3+5)÷2。

(2³)²=2⁶，所以 2⁶×2⁻⁴=2²=4。2 是把 (2³)² 的指数算成 3+2=5、得到 2⁵⁻⁴，64 是忘了乘 2⁻⁴ 的 2⁶，1/4 是符号处理出错的 2⁻²。

同次方根相乘可以把根号里的数相乘：∛(16×4)=∛64=4。8 是与 √64（平方根）混淆的错误，∛20 是把 16+4 相加的错误，2 是与 ∛8 混淆。

统一化成以 2 为底：√2=2^(1/2)、∛4=2^(2/3)、∜8=2^(3/4)。底 2>1，所以指数 1/2<2/3<3/4 的顺序就是数值的大小顺序，即 √2 < ∛4 < ∜8。

负指数表示倒数，所以 (1/2)⁻²=2²=4。1/4 是忽略负号、算成 (1/2)² 的结果，−4 与 −1/4 都来自“负指数就是负数”这一误解。

因为 3⁰=1，所以图象必定经过点(0, 1)；底 3>1，所以递增。又因为始终有 y>0，所以与 x 轴（渐近线）不相交。底满足 0<a<1 时才递减。

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7（因为 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1）。9 是漏掉 −2 的错误，11 是写成 +2 的符号错误，6 是误算成 2×3 的值。

它回答的是“2 的多少次幂等于 8”，因为 2³=8，所以是 3。4 是算成 8÷2 的错误，16 是算成 2×8 的错误，2 是直接答底的错误。

因为 3⁰=1，所以 log_3 1=0。无论底是什么，都有 log_a 1=0。1 是与 log_a a=1 混淆，1/3 是 3⁻¹ 的值，3 是直接答底的错误。

log_2 8=3、log_2 4=2，所以 3+2=5（用真数相乘算 log_2 32=5 也一样）。6 是算成 3×2 的错误，12 是把真数相加成 8+4 的错误，1 是写成 log_2(8/4)、误用成商的错误。

用积的公式得 log_10(5×2)=log_10 10=1。log_10 7 是把真数相加成 5+2 的错误，log_10 3 是相减成 5−2 的错误，10 是把 log 去掉、只答真数之积的错误。

因为 √8=8^(1/2)，所以 log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2。3 是忽略根号、算成 log_2 8 的错误，1/2 是只答指数的错误，2√2 则是 √8 本身的值。

用商的公式得 log_3(18/2)=log_3 9=2（因为 3²=9）。9 是把 log 去掉、只答 18÷2 的错误，16 是把真数相减成 18−2 的错误，1 是把 log_3(18/2) 又约成 log_3 3 的过度化简（log_3 3=1）。

用换底公式得 log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2。2/3 是把分子分母弄反的错误，2 是算成 8÷4 的错误，1/2 是算成 4÷8 的错误。

因为 45=3²×5，所以 log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b。a + 2b 是误分解成 45=3×5² 的错误，a + b 是漏掉平方、当成 45=15 的错误，2ab 是把系数写成乘法的错误。

由换底公式 log_3 4=log_2 4/log_2 3，所以乘积等于 log_2 4=2。1 是与 log_2 3×log_3 2=1（互为倒数的关系）混淆，log_2 12 与 12 都来自“相乘就把真数相乘”这一误解。

因为 16=2⁴，比较指数得 x=4。8 是算成 16÷2，32 是算成 16×2 的错误，2 是与 √16 混淆。把两边化成同底的幂是基本做法。

因为 1/9=1/3²=3⁻²，所以 x=−2。2 是忘了倒数带来的负号，−3 是与 1/27=3⁻³ 混淆，3 是与 27 混淆。用“1/aⁿ=a⁻ⁿ”把底统一起来。

统一成底 2 得 2²ˣ=2³，由 2x=3 得 x=3/2。2/3 是把 2x=3 反着解成 x=2/3 的错误，2 是由 4×2=8 想当然，4 是算成 8−4 的错误。

由定义得 x=2⁵=32。25 是把底与指数弄反、算成 5² 的错误，10 是算成 2×5，7 是算成 2+5 的错误。关键全在 log_a x=p ⇔ x=aᵖ 这一改写。

在真数条件 x−1>0 之下，x−1=3²=9，所以 x=10（此时 x−1=9>0，符合条件）。9 是忘了 +1 的错误，7 是把 3×2=6 再加 1 的错误，4 是误读成 3¹=3 再加 1 的错误。

因为 1/8=(1/2)³，所以 (1/2)ˣ<(1/2)³。底 1/2 小于 1，是减函数，所以不等号方向要反过来，得 x>3。x<3 是忘记反转方向的常见错误。实际上 (1/2)⁴=1/16<1/8，可以据此确认。

−2=log_(1/3) 9（因为 (1/3)⁻²=9）。底 1/3<1，所以不等号方向反过来得 x<9，再结合真数条件 x>0，得 0<x<9。x>9 是忘了反转方向，1/9 是把符号弄错、算成 (1/3)² 的值。

令 2ˣ=t（t>0），则 t²−3t−4=0，即 (t−4)(t+1)=0。由 t>0 只取 t=4，再由 2ˣ=4 得 x=2。写成 x=2, −1 是忘了舍去 t=−1 的错误，x=4 是把 t 的值直接当成解的错误，x=1 代入得 4−6−4=−6≠0，不成立。

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010。由 3≦log_10 2¹⁰<4 得 10³≦2¹⁰<10⁴，所以是 4 位数（实际上 2¹⁰=1024）。3 位数是直接用整数部分、忘了 +1 的错误，10 位数是与指数混淆。

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05。由 15≦log_10 2⁵⁰<16 得 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶，所以是 16 位数。15 位数是忘了给整数部分 +1 的错误，50 位数是与指数混淆，17 位数是多加了 1、按 +2 计数的错误。

两边取常用对数得 −0.3010n<−3，即 n>3/0.3010=9.96…。满足它的最小自然数是 n=10。验算：(1/2)⁹≒0.00195 还大于 0.001，到 (1/2)¹⁰≒0.00098 才首次小于它。9 是把 9.96… 舍成整数部分的错误，3 是直接照抄 0.001=10⁻³ 的指数的错误。