Funções exponenciais e logarítmicas (Matemática II)

Um expoente negativo significa o inverso, então 2⁻³=1/2³=1/8. A alternativa −8 interpreta erroneamente como simplesmente acrescentar um sinal de menos, 1/6 calcula 2×3, e −1/8 mistura os dois erros.

Para a≠0, temos a⁰=1, porque 5²÷5²=5⁰ e o valor real é 25÷25=1. A alternativa 0 é o equívoco clássico de achar que uma potência de expoente zero tem de ser zero, e 1/5 confunde com 5⁻¹.

8^(2/3)=(a raiz cúbica de 8)²=2²=4. A alternativa 2 para em 8^(1/3), 16 trata o expoente como uma multiplicação, como 8×2, e 16/3 calcula 8×2/3.

Os expoentes dão 3+5−2=6, então a resposta é a⁶. A alternativa a¹⁰ soma até na divisão, como 3+5+2, a⁸ esquece ÷a² e para em 3+5, e a⁴ calcula (3+5)÷2.

Como (2³)²=2⁶, obtém-se 2⁶×2⁻⁴=2²=4. A alternativa 2 toma o expoente de (2³)² como 3+2=5 e calcula 2⁵⁻⁴, 64 esquece de multiplicar por 2⁻⁴ e deixa 2⁶, e 1/4 erra o sinal e dá 2⁻².

Um produto de radicais de mesmo índice é o radical do produto: a raiz cúbica de 16×4=64 é 4. A alternativa 8 confunde com a raiz quadrada de 64, a raiz cúbica de 20 vem de somar 16+4, e 2 confunde com a raiz cúbica de 8.

Escrevendo tudo na base 2, obtém-se √2=2^(1/2), a raiz cúbica de 4 como 2^(2/3) e a raiz quarta de 8 como 2^(3/4). Como a base 2 é maior que 1, a ordem dos expoentes 1/2<2/3<3/4 é exatamente a ordem dos valores, então √2 vem primeiro, depois a raiz cúbica de 4 e depois a raiz quarta de 8.

Um expoente negativo significa o inverso, então (1/2)⁻²=2²=4. A alternativa 1/4 ignora o sinal e calcula (1/2)², enquanto −4 e −1/4 vêm do equívoco de que um expoente negativo produz um número negativo.

Como 3⁰=1, o gráfico sempre passa por (0, 1) e, como a base 3 é maior que 1, ele é crescente. Como sempre y>0, ele nunca intercepta o eixo x, que é uma assíntota. O gráfico é decrescente quando a base satisfaz 0<a<1.

4ˣ+4⁻ˣ=(2ˣ+2⁻ˣ)²−2·2ˣ·2⁻ˣ=3²−2=7, usando 2ˣ·2⁻ˣ=2⁰=1. A alternativa 9 esquece o −2, 11 tem o erro de sinal +2, e 6 vem do cálculo 2×3.

Ele responde à pergunta "a que potência se eleva 2 para obter 8?", e como 2³=8, o valor é 3. A alternativa 4 divide, como 8÷2, 16 multiplica, como 2×8, e 2 simplesmente repete a base.

Como 3⁰=1, temos log_3 1=0. Para qualquer base, log_a 1=0. A alternativa 1 confunde com log_a a=1, 1/3 é o valor de 3⁻¹, e 3 simplesmente repete a base.

log_2 8=3 e log_2 4=2, então a soma é 3+2=5, que também é igual a log_2 32, pelo produto dos logaritmandos. A alternativa 6 multiplica, como 3×2, 12 soma os logaritmandos, como 8+4, e 1 trata a expressão como o quociente log_2(8/4).

Pela propriedade do produto, log_10(5×2)=log_10 10=1. A alternativa log_10 7 soma os logaritmandos, como 5+2, log_10 3 os subtrai, como 5−2, e 10 descarta o logaritmo e informa apenas o produto dos logaritmandos.

Como √8=8^(1/2), obtém-se log_2 √8=(1/2)log_2 8=(1/2)×3=3/2. A alternativa 3 ignora o radical e dá log_2 8, 1/2 informa apenas o expoente, e 2√2 é o valor do próprio √8.

Pela propriedade do quociente, log_3(18/2)=log_3 9=2, pois 3²=9. A alternativa 9 descarta o logaritmo e informa apenas 18÷2, 16 subtrai os logaritmandos, como 18−2, e 1 divide o logaritmando além da conta, transformando log_3(18/2) em log_3 3, cujo valor é 1.

Pela fórmula de mudança de base, log_4 8=log_2 8/log_2 4=3/2. A alternativa 2/3 inverte numerador e denominador, 2 divide, como 8÷4, e 1/2 divide, como 4÷8.

Como 45=3²×5, obtém-se log_2 45=2log_2 3+log_2 5=2a+b. A alternativa a+2b decompõe 45 de forma errada, como 3×5², a+b descarta o quadrado, como se 45 fosse 15, e 2ab transforma um coeficiente em multiplicação.

Pela mudança de base, log_3 4=log_2 4/log_2 3, então o produto é log_2 4=2. A alternativa 1 confunde com log_2 3×log_3 2=1, um par de inversos, enquanto log_2 12 e 12 vêm de pensar erroneamente que um produto multiplica os logaritmandos.

Como 16=2⁴, comparando os expoentes, obtém-se x=4. A alternativa 8 calcula 16÷2, 32 calcula 16×2, e 2 confunde com √16. O passo básico é escrever os dois lados como potências de mesma base.

Como 1/9=1/3²=3⁻², obtém-se x=−2. A alternativa 2 esquece o sinal de menos que acompanha o inverso, −3 confunde com 1/27=3⁻³, e 3 confunde com 27. Use 1/aⁿ=a⁻ⁿ para igualar as bases.

Escrevendo tudo na base 2, obtém-se 2²ˣ=2³, então 2x=3 e x=3/2. A alternativa 2/3 inverte a solução de 2x=3 (x=2/3 em vez de 3/2), 2 vem de supor que 4×2=8, e 4 subtrai, como 8−4.

Pela definição, x=2⁵=32. A alternativa 25 troca a base e o expoente, como 5², 10 calcula 2×5, e 7 calcula 2+5. Tudo se apoia na reformulação log_a x=p ⇔ x=aᵖ.

Sob a condição x−1>0 para o logaritmando, x−1=3²=9, então x=10, e de fato x−1=9>0 é aceitável. A alternativa 9 esquece de somar 1, 7 soma 1 a 3×2=6, e 4 interpreta erroneamente a potência como 3¹=3 e soma 1.

Como 1/8=(1/2)³, a inequação é (1/2)ˣ<(1/2)³. A base 1/2 é menor que 1, então a função é decrescente e o sinal da desigualdade se inverte, o que dá x>3. A alternativa x<3 é o erro clássico de esquecer a inversão. Verificando, (1/2)⁴=1/16<1/8.

Observe que −2=log_(1/3) 9, pois (1/3)⁻²=9. Como a base 1/3 é menor que 1, o sinal da desigualdade se inverte, dando x<9, e junto com a condição do logaritmando x>0, obtém-se 0<x<9. A alternativa x>9 esquece a inversão, e 1/9 vem do erro de sinal (1/3)².

Fazendo 2ˣ=t, com t>0, obtém-se t²−3t−4=0, isto é, (t−4)(t+1)=0. Como t>0, só t=4 permanece, e 2ˣ=4 dá x=2. A alternativa x=2, −1 esquece de descartar t=−1, x=4 informa o valor de t como solução, e x=1 falha na substituição, pois 4−6−4=−6≠0.

log_10 2¹⁰=10×0.3010=3.010. De 3≦log_10 2¹⁰<4, obtém-se 10³≦2¹⁰<10⁴, então o número tem 4 algarismos; de fato, 2¹⁰=1024. A alternativa 3 algarismos informa a parte inteira sem somar 1, e 10 algarismos confunde com o expoente.

log_10 2⁵⁰=50×0.3010=15.05. De 15≦log_10 2⁵⁰<16, obtém-se 10¹⁵≦2⁵⁰<10¹⁶, então o número tem 16 algarismos. A alternativa 15 algarismos esquece de somar 1 à parte inteira, 50 algarismos confunde com o expoente, e 17 algarismos conta um a mais.

Tomando o logaritmo decimal dos dois lados, obtém-se −0.3010n<−3, então n>3/0.3010=9.96 e um pouco mais. O menor número natural que satisfaz isso é n=10. Verificando, (1/2)⁹≒0.00195 é maior que 0.001, e (1/2)¹⁰≒0.00098 é o primeiro a ficar abaixo dele. A alternativa 9 arredonda 9.96 para baixo, e 3 simplesmente informa o expoente em 0.001=10⁻³.