ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
(x+2)³ کو پھیلانے کا نتیجہ کیا ہے؟
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ میں a=x اور b=2 رکھنے سے x³+6x²+12x+8 حاصل ہوتا ہے۔ آپشن x³+8 درمیانی دو ارکان 3a²b اور 3ab² کو بھول جانے کی روایتی غلطی ہے۔ عددی سروں کی ترتیب 1,3,3,1 جانچ لیں۔
x³−27 کی تجزی کا نتیجہ کیا ہے؟
a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) سے x³−27=(x−3)(x²+3x+9) ملتا ہے۔ دوسری قوسین کا درمیانی رکن +ab ہے، جس کی علامت پہلی قوسین کی علامت کے الٹ ہے۔ آپشن (x−3)(x²−3x+9) اس علامت کو الٹ دیتا ہے، اور (x−3)³ پھیلانے پر x³−9x²+27x−27 بنتا ہے، جو مطابقت نہیں رکھتا۔
مسئلۂ ذو الحدین کے استعمال سے، (x+2)⁵ کے پھیلاؤ میں x³ کا عددی سر کیا ہے؟
عمومی رکن C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ ہے۔ x³ والا رکن r=2 پر آتا ہے، اور اس کا عددی سر C(5,2)·2² = 10×4 = 40 ہے۔ قیمت 80 میں 2³ سے ضرب دی گئی ہے، 20 میں 2¹ سے، اور 10 میں 2² سے ضرب دینا ہی بھول گئے ہیں۔
(2x−y)⁶ کے پھیلاؤ میں x⁴y² کا عددی سر کیا ہے؟
عمومی رکن C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ ہے۔ x⁴y² والا رکن r=2 پر آتا ہے، جس سے C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240 ملتا ہے۔ قیمت −240 میں (−y)² کی علامت غلط لی گئی ہے، 60 میں 2⁴ کی جگہ 2² استعمال ہوا ہے، اور 480 میں 2⁵ سے ضرب دی گئی ہے۔
ناطق اظہار (x²−9)/(x²+x−6) کو مختصر کرنے کا نتیجہ کیا ہے؟
شمار کنندہ (x+3)(x−3) اور نسب نما (x+3)(x−2) ہے۔ مشترک جزو ضربی x+3 کو کاٹنے سے (x−3)/(x−2) ملتا ہے۔ سنہری اصول یہ ہے کہ پہلے شمار کنندہ اور نسب نما کی تجزی کریں۔ چونکہ x−3 اور x−2 مختلف اجزائے ضربی ہیں، اس لیے مزید کچھ نہیں کٹتا۔
حساب 2/(x−1) + 3/(x+1) کا نتیجہ کیا ہے؟
مشترک نسب نما بنانے سے {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1) ملتا ہے۔ آپشن 5/(x²−1) شمار کنندوں کو درست کیے بغیر صرف 2+3 جمع کر دیتا ہے، اور (5x+1) علامت کی غلطی ہے۔
اگر a(x+1)+b(x−1) = 3x+5 متغیر x کے لحاظ سے مماثلت ہو تو a اور b کی قیمتیں کیا ہیں؟
بایاں رخ (a+b)x+(a−b) ہے۔ عددی سروں کا موازنہ کرنے سے a+b=3 اور a−b=5 ملتے ہیں۔ انہیں جمع کرنے سے 2a=8 ملتا ہے، لہٰذا a=4 اور b=3−4=−1۔ آپشن a=4, b=1 میں a−b=5 اور a+b=3 کو آپس میں بدل دیا گیا ہے۔ قیمتیں رکھنے کا طریقہ بھی کام کرتا ہے: x=1 سے 2a=8 اور x=−1 سے −2b=2 ملتا ہے۔
اگر x² = a(x−1)²+b(x−1)+c متغیر x کے لحاظ سے مماثلت ہو تو a، b اور c کی قیمتیں کیا ہیں؟
x=1 رکھنے سے c=1 ملتا ہے۔ x² کے عددی سروں کا موازنہ کرنے سے a=1 ملتا ہے۔ x=0 رکھنے سے 0=a−b+c=1−b+1 ملتا ہے، لہٰذا b=2۔ جانچ: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x²، جو درست ہے۔ b پر علامت کی غلطی، جس سے b=−2 آتا ہے، عام غلطی ہے۔
x>0 کے لیے x + 9/x کی اقل قیمت کیا ہے؟
چونکہ x>0 اور 9/x>0 ہیں، حسابی و ہندسی اوسط کی نامساوات سے x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6 ملتا ہے۔ برابری اس وقت قائم ہوتی ہے جب x=9/x ہو، یعنی x=3۔ آپشن 3 صرف √9 لیتا ہے اور 2 سے ضرب دینا بھول جاتا ہے، اور 9 اسے حاصل ضرب x·(9/x) سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔
x>0، y>0 اور xy=4 کے لیے x+y کی اقل قیمت کیا ہے؟
حسابی و ہندسی اوسط کی نامساوات سے x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4 ملتا ہے۔ برابری x=y=2 پر قائم ہوتی ہے، جو واقعی xy=4 کو پورا کرتا ہے، اس لیے اقل قیمت 4 ہے۔ آپشن 2 صرف √4 لیتا ہے اور 2 سے ضرب دینا بھول جاتا ہے، اور 8 حساب 2×4 سے آتا ہے۔
اگر a+b=3 اور ab=1 ہو تو a³+b³ کی قیمت کیا ہے؟
a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18۔ آپشن 27 میں رکن −3ab(a+b) بھول گئے ہیں، 24 میں 27−3 کی طرح صرف ab منفی کیا گیا ہے، اور 30 اس غلطی سے آتا ہے کہ a²+b² کو 9+2=11 مان کر (a+b)(a²−ab+b²)=3×10 نکالا جائے۔
مسئلۂ ذو الحدین کے استعمال سے، (x + 1/x)⁶ کے پھیلاؤ میں مستقل رکن کیا ہے؟
عمومی رکن C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ ہے۔ مستقل رکن اس وقت آتا ہے جب 6−2r=0 ہو، یعنی r=3، جس سے C(6,3)=20 ملتا ہے۔ قیمت 15 دراصل C(6,2) ہے اور 6 دراصل C(6,1) ہے۔ طریقہ یہ ہے کہ پہلے وہ r معلوم کریں جو x کی قوت نما کو صفر بنا دے۔
(3+2i)+(1−4i) کا نتیجہ کیا ہے؟
حقیقی حصوں کو حقیقی حصوں سے اور خیالی حصوں کو خیالی حصوں سے جمع کریں: (3+1)+(2−4)i = 4−2i۔ آپشن 4+2i میں خیالی حصے کی علامت غلط لی گئی ہے، 2−2i میں حقیقی حصے کا حساب غلط ہے، اور 4−6i میں 2−4 کو −6 سمجھ لیا گیا ہے۔
(2+i)(3−2i) کا نتیجہ کیا ہے؟
پھیلانے سے 6−4i+3i−2i² ملتا ہے۔ چونکہ i²=−1 ہے، رکن −2i² بدل کر +2 ہو جاتا ہے، لہٰذا 6−i+2 = 8−i ملتا ہے۔ آپشن 4−i میں غلطی سے i²=+1 لیا گیا ہے، اور 6−i میں رکن −2i² چھوٹ گیا ہے۔ i² کو درست طریقے سے سنبھالنا ہی جواب کا فیصلہ کرتا ہے۔
i²³ کی قیمت کیا ہے؟ یہاں i خیالی اکائی ہے۔
i کی قوتیں i، −1، −i، 1 کی صورت میں 4 کے دور کے ساتھ دہرائی جاتی ہیں۔ چونکہ 23 = 4×5+3 ہے، ہمیں i²³ = i³ = i²·i = −i ملتا ہے۔ طریقہ یہ ہے کہ 23 کو 4 سے تقسیم کرنے پر بچنے والے باقی، یعنی 3، سے فیصلہ کریں۔
(1+i)/(3−i) کا نتیجہ کیا ہے؟
شمار کنندہ اور نسب نما دونوں کو مزدوج (conjugate) عدد 3+i سے ضرب دیں۔ شمار کنندہ (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i ہے اور نسب نما 9−i² = 10 ہے، لہٰذا (2+4i)/10 = (1+2i)/5 ملتا ہے۔ آپشن (2+i)/5 میں شمار کنندہ کو اس کے بجائے 3−i سے ضرب دی گئی ہے، اور نسب نما کو 9−1=8 لینے سے (1+2i)/4 آتا ہے۔
√(−8) × √(−2) کا نتیجہ کیا ہے؟
پہلے i کی صورت میں بدلیں: √(−8)=2√2i اور √(−2)=√2i، اس لیے حاصل ضرب 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4 ہے۔ √(−8)×√(−2)=√16=4 لکھنا اس بات کو نظر انداز کرنے کی روایتی غلطی ہے کہ منفی اعداد کے لیے √a·√b=√(ab) درست نہیں ہوتا۔
دو درجی مساوات x²+2x+5=0 کا حل کیا ہے؟
دو درجی فارمولے سے x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i ملتا ہے۔ آپشن −2±4i میں 2 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور 1±2i علامت کی غلطی ہے۔ D/4 = 1−5 = −4 استعمال کرنا زیادہ تیز ہے: x = −1±√(−4) = −1±2i۔
اگر دو درجی مساوات x²+kx+k+3=0 کا مکرر جذر ہو تو مستقل k کی قیمت کیا ہے؟
شرط D=0 ہے۔ D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 سے k=6, −2 ملتا ہے۔ اگر علامت کی غلطی کے ساتھ −4(k+3) کو −4k−12 کے علاوہ کسی اور شکل میں پھیلایا جائے تو k=−6, 2 جیسے غلط جواب آتے ہیں۔
دو درجی مساوات 3x²−5x+4=0 کے جذروں کی نوعیت کون سا بیان درست طور پر بتاتا ہے؟
ممیز D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 ہے، اس لیے دو مختلف خیالی جذر ہیں۔ حقیقی عددی سروں کی صورت میں خیالی جذر ہمیشہ مزدوج جوڑوں میں آتے ہیں، اس لیے ایک حقیقی جذر کے ساتھ ایک خیالی جذر ہونا ناممکن ہے۔
فرض کریں α اور β دو درجی مساوات x²−5x+3=0 کے دو جذر ہیں۔ α+β اور αβ کی قیمتیں کیا ہیں؟
جذروں اور عددی سروں کے رشتوں سے α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 اور αβ = c/a = 3۔ آپشن α+β=−5 دراصل −b/a میں منفی علامت بھول جانے کی روایتی غلطی ہے۔
اگر α+β=5 اور αβ=3 ہو تو α²+β² کی قیمت کیا ہے؟
α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19۔ آپشن 25 میں −2αβ بھول گئے ہیں، 31 میں 25+6 کی طرح جمع کیا گیا ہے، اور 22 میں 25−3 کی طرح αβ صرف ایک بار منفی کیا گیا ہے۔
فرض کریں α اور β دو درجی مساوات x²−3x+5=0 کے دو جذر ہیں۔ α³+β³ کی قیمت کیا ہے؟
جذروں اور عددی سروں کے رشتوں سے α+β=3 اور αβ=5۔ پھر α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18۔ آپشن 27 میں −3αβ(α+β) بھول گئے ہیں، 72 میں 27+45 کی طرح جمع کیا گیا ہے، اور 12 حساب 27−15 سے آتا ہے، جس میں (α+β) سے ضرب دینا بھول گئے ہیں۔
حقیقی عددی سروں والی دو درجی مساوات x²+px+q=0 کا ایک جذر 3+2i ہے۔ p اور q کی قیمتیں کیا ہیں؟
چونکہ عددی سر حقیقی ہیں، اس لیے مزدوج عدد 3−2i بھی ایک جذر ہے۔ جذروں کا مجموعہ 6 = −p ہے، لہٰذا p=−6، اور حاصل ضرب 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q ہے۔ آپشن q=5 میں حاصل ضرب کو 9−4 لیا گیا ہے، اور p=6 علامت کی غلطی ہے۔ مساوات x²−6x+13=0 ہے۔
کثیر رکنی P(x)=x³−2x²+3x−1 کو x−2 سے تقسیم کرنے پر باقی کیا ہے؟
مسئلۂ باقی کی رو سے باقی P(2) = 8−8+6−1 = 5 ہے۔ آپشن −23 دراصل P(−2) کا حساب ہے، جو علامت غلط پڑھنے سے ہوتا ہے۔ x−2 سے تقسیم کے لیے x=2 رکھیں۔
کثیر رکنی P(x)=2x³+x²−5x+3 کو x+1 سے تقسیم کرنے پر باقی کیا ہے؟
چونکہ x+1 = x−(−1) ہے، باقی P(−1) = −2+1+5+3 = 7 ہے۔ آپشن 1 حساب P(1)=2+1−5+3 سے آتا ہے۔ سب سے اہم نکتہ علامت کا بدلنا ہے: x+1 سے تقسیم کا مطلب ہے x=−1 رکھنا۔
کثیر رکنی P(x)=x³−3x²−4x+12 کا جزو ضربی کون سا ہے؟
مسئلۂ جزو ضربی کی رو سے، جب P(k)=0 ہو تو x−k ایک جزو ضربی ہوتا ہے۔ یہاں P(2) = 8−12−8+12 = 0 ہے، اس لیے x−2 ایک جزو ضربی ہے۔ دوسری طرف P(−3)=−30، P(4)=12 اور P(−1)=12 ہیں، جن میں سے کوئی بھی 0 نہیں۔ درحقیقت P(x)=(x−2)(x+2)(x−3) ہے۔
x³−4x²+x+6 کو x−2 سے تقسیم کرنے پر خارج قسمت کیا ہے؟ باقی 0 ہے۔
ترکیبی تقسیم میں عددی سروں 1, −4, 1, 6 پر 2 سے ضرب دے کر نیچے جمع کرتے جانے سے 1, −2, −3, 0 ملتے ہیں۔ لہٰذا خارج قسمت x²−2x−3 اور باقی 0 ہے۔ آپشن x²−6x+13 دراصل x+2 سے تقسیم کی خارج قسمت ہے، جس میں −2 استعمال ہوتا ہے، اور یہ علامت غلط پڑھنے سے پیدا ہوتا ہے۔
سہ درجی مساوات x³−7x+6=0 کا حل کیا ہے؟
چونکہ P(1)=1−7+6=0 ہے، x−1 ایک جزو ضربی ہے۔ ترکیبی تقسیم سے خارج قسمت x²+x−6=(x+3)(x−2) ملتی ہے۔ لہٰذا (x−1)(x−2)(x+3)=0 اور x=1, 2, −3۔ جانچ: جذروں کا حاصل ضرب 1·2·(−3)=−6 مستقل رکن کے منفی کے برابر ہے۔
مساوات x³=8 کو مختلط اعداد میں حل کرنے پر حل کیا ہے؟
a³−b³ کے فارمولے سے x³−8=0 کی تجزی (x−2)(x²+2x+4)=0 کے طور پر کریں۔ x²+2x+4=0 کے جذر x=−1±√3i ہیں، اس لیے تین حل x=2 اور −1±√3i ہیں۔ صرف x=2 جواب دینے سے خیالی جذر چھوٹ جاتے ہیں، اور 1±√3i دو درجی فارمولے میں علامت کی غلطی ہے۔
اگر کثیر رکنی x³−2x²+ax+b دونوں x−1 اور x+2 سے قابلِ تقسیم ہو تو a اور b کی قیمتیں کیا ہیں؟
مسئلۂ جزو ضربی کی رو سے P(1)=1−2+a+b=0 سے a+b=1 ملتا ہے، اور P(−2)=−8−8−2a+b=0 سے −2a+b=16 ملتا ہے۔ تفریق کرنے سے 3a=−15 ملتا ہے، لہٰذا a=−5 اور b=6۔ P(−2) میں −2a کی جگہ +2a لکھنے سے a=15, b=−14 آتا ہے۔
حقیقی اعداد کے دائرے میں x⁴−1 کی تجزی کا نتیجہ کیا ہے؟
x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1)۔ چونکہ x²−1 کی مزید تجزی ہو سکتی ہے، اس لیے (x²−1)(x²+1) پر رک جانا نامکمل ہے۔ جزو ضربی x²+1 کی حقیقی اعداد میں تجزی نہیں ہو سکتی؛ شکل (x−i)(x+i) مختلط اعداد میں کی گئی تجزی ہے۔
فرض کریں ω مساوات x³=1 کے خیالی جذروں میں سے ایک ہے۔ ω²+ω کی قیمت کیا ہے؟
چونکہ ω مساوات x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 کا خیالی جذر ہے، یہ x²+x+1=0 کو پورا کرتا ہے۔ لہٰذا ω²+ω+1=0 سے ω²+ω=−1 ملتا ہے۔ دونوں رشتے ω³=1 اور ω²+ω+1=0، ω کے ساتھ حساب کے بنیادی اوزار ہیں۔
ایک کثیر رکنی P(x) کو x−1 سے تقسیم کرنے پر باقی 3 اور x−2 سے تقسیم کرنے پر باقی 5 بچتا ہے۔ P(x) کو (x−1)(x−2) سے تقسیم کرنے پر باقی کیا ہے؟
دو درجی اظہار سے تقسیم پر باقی کا درجہ زیادہ سے زیادہ 1 ہوتا ہے، اس لیے اسے ax+b لکھیں۔ P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b پر مسئلۂ باقی لاگو کرنے سے P(1)=a+b=3 اور P(2)=2a+b=5 ملتے ہیں۔ تفریق کرنے سے a=2 اور b=1 ملتے ہیں، لہٰذا باقی 2x+1 ہے۔ ہم وقت مساواتوں کو گڈمڈ کرنے سے −2x+7 آتا ہے۔
حقیقی عددی سروں والی سہ درجی مساوات x³−4x²+ax+b=0 کا ایک جذر 1+i ہے۔ کون سا مجموعہ a اور b کی قیمتیں اور بقیہ جذر درست بتاتا ہے؟
چونکہ عددی سر حقیقی ہیں، اس لیے مزدوج عدد 1−i بھی ایک جذر ہے۔ بقیہ جذر کو γ لکھیں تو تینوں جذروں کا مجموعہ (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4 ہے، لہٰذا γ=2۔ (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 پھیلانے سے a=6 اور b=−4 ملتے ہیں۔ یہ حقیقت استعمال کرنا تیز ہے کہ جذروں کا مجموعہ x² کے عددی سر کے برابر ہوتا ہے، علامت الٹ کر۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں