Expresiones y demostración, números complejos y ecuaciones (Matemáticas II)

Al sustituir a=x y b=2 en (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ se obtiene x³+6x²+12x+8. La opción x³+8 es el error clásico de olvidar los dos términos centrales, 3a²b y 3ab². Compruebe la secuencia de coeficientes 1,3,3,1.

Por a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) se obtiene x³−27=(x−3)(x²+3x+9). El término central del segundo paréntesis es +ab, con el signo contrario al del primer paréntesis. La opción (x−3)(x²−3x+9) invierte ese signo, y (x−3)³ desarrollado da x³−9x²+27x−27, que no coincide.

El término general es C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. El término en x³ aparece con r=2, y su coeficiente es C(5,2)·2² = 10×4 = 40. El valor 80 multiplica por 2³, 20 multiplica por 2¹, y 10 olvida por completo multiplicar por 2².

El término general es C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. El término en x⁴y² aparece con r=2, lo que da C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. El valor −240 trata mal el signo de (−y)², 60 usa 2² en lugar de 2⁴, y 480 multiplica por 2⁵.

El numerador es (x+3)(x−3) y el denominador es (x+3)(x−2). Al cancelar el factor común x+3 se obtiene (x−3)/(x−2). La regla de oro es factorizar primero el numerador y el denominador. Como x−3 y x−2 son factores distintos, no se puede simplificar nada más.

Al poner un denominador común se obtiene {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). La opción 5/(x²−1) simplemente suma 2+3 sin ajustar los numeradores, y (5x+1) es un error de signo.

El lado izquierdo es (a+b)x+(a−b). Al comparar coeficientes se obtiene a+b=3 y a−b=5. Sumándolas se obtiene 2a=8, así que a=4 y b=3−4=−1. La opción a=4, b=1 intercambia a−b=5 con a+b=3. También funciona sustituir valores: x=1 da 2a=8 y x=−1 da −2b=2.

Al sustituir x=1 se obtiene c=1. Al comparar los coeficientes de x² se obtiene a=1. Al sustituir x=0 se obtiene 0=a−b+c=1−b+1, así que b=2. Comprobación: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x², que se cumple. Un error de signo en b, que da b=−2, es la equivocación típica.

Como x>0 y 9/x>0, la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. La igualdad se cumple cuando x=9/x, es decir, x=3. La opción 3 toma solo √9 y olvida multiplicar por 2, y 9 lo confunde con el producto x·(9/x).

La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica da x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. La igualdad se cumple cuando x=y=2, que efectivamente satisface xy=4, así que el mínimo es 4. La opción 2 toma solo √4 y olvida multiplicar por 2, y 8 sale de calcular 2×4.

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. La opción 27 olvida el término −3ab(a+b), 24 resta solo ab, como 27−3, y 30 sale de tomar por error a²+b² como 9+2=11 y calcular (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.

El término general es C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. El término independiente aparece cuando 6−2r=0, es decir, r=3, lo que da C(6,3)=20. El valor 15 es C(6,2) y 6 es C(6,1). El método consiste en hallar primero el r que hace cero el exponente de x.

Sume las partes reales con las partes reales y las partes imaginarias con las partes imaginarias: (3+1)+(2−4)i = 4−2i. La opción 4+2i trata mal el signo de la parte imaginaria, 2−2i calcula mal la parte real, y 4−6i toma 2−4 como −6.

Al desarrollar se obtiene 6−4i+3i−2i². Como i²=−1, el término −2i² se convierte en +2, así que se obtiene 6−i+2 = 8−i. La opción 4−i toma por error i²=+1, y 6−i omite el término −2i². Tratar i² correctamente es lo que decide la respuesta.

Las potencias de i se repiten con período 4: i, −1, −i, 1. Como 23 = 4×5+3, se obtiene i²³ = i³ = i²·i = −i. El método consiste en decidir según el resto, aquí 3, de dividir 23 entre 4.

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado 3+i. El numerador es (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i y el denominador es 9−i² = 10, así que se obtiene (2+4i)/10 = (1+2i)/5. La opción (2+i)/5 multiplica en cambio el numerador por 3−i, y tomar el denominador como 9−1=8 da (1+2i)/4.

Primero exprese con i: √(−8)=2√2i y √(−2)=√2i, así que el producto es 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. Escribir √(−8)×√(−2)=√16=4 es el error clásico de pasar por alto que √a·√b=√(ab) no se cumple para números negativos.

La fórmula general da x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. La opción −2±4i olvida dividir entre 2, y 1±2i es un error de signo. Usar D/4 = 1−5 = −4 es más rápido: x = −1±√(−4) = −1±2i.

La condición es D=0. De D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 se obtiene k=6, −2. Desarrollar −4(k+3) de otra forma que no sea −4k−12, con un error de signo, lleva a respuestas incorrectas como k=−6, 2.

El discriminante es D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0, así que hay dos raíces imaginarias distintas. Con coeficientes reales, las raíces imaginarias siempre aparecen en pares conjugados, así que es imposible tener una raíz real junto con una raíz imaginaria.

Por las relaciones entre raíces y coeficientes, α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 y αβ = c/a = 3. La opción α+β=−5 es el error clásico de olvidar el signo menos de −b/a.

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. La opción 25 olvida −2αβ, 31 suma como 25+6, y 22 resta αβ una sola vez, como 25−3.

Por las relaciones entre raíces y coeficientes, α+β=3 y αβ=5. Entonces α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. La opción 27 olvida −3αβ(α+β), 72 suma como 27+45, y 12 sale de 27−15, al olvidar multiplicar por (α+β).

Como los coeficientes son reales, el conjugado 3−2i también es raíz. La suma de las raíces es 6 = −p, así que p=−6, y el producto es 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. La opción q=5 toma el producto como 9−4, y p=6 es un error de signo. La ecuación es x²−6x+13=0.

Por el teorema del resto, el resto es P(2) = 8−8+6−1 = 5. La opción −23 sale de calcular P(−2), una lectura errónea del signo. Para dividir entre x−2 se sustituye x=2.

Como x+1 = x−(−1), el resto es P(−1) = −2+1+5+3 = 7. La opción 1 sale de calcular P(1)=2+1−5+3. El punto más importante es el cambio de signo: dividir entre x+1 significa sustituir x=−1.

Por el teorema del factor, x−k es un factor cuando P(k)=0. Aquí P(2) = 8−12−8+12 = 0, así que x−2 es un factor. Se tiene P(−3)=−30, P(4)=12 y P(−1)=12, y ninguno es 0. De hecho, P(x)=(x−2)(x+2)(x−3).

En la división sintética, al multiplicar por 2 y sumar hacia abajo los coeficientes 1, −4, 1, 6 se obtiene 1, −2, −3, 0. Así que el cociente es x²−2x−3 con resto 0. La opción x²−6x+13 es el cociente de la división entre x+2, usando −2, y surge de leer mal el signo.

Como P(1)=1−7+6=0, x−1 es un factor. La división sintética da el cociente x²+x−6=(x+3)(x−2). Por lo tanto, (x−1)(x−2)(x+3)=0 y x=1, 2, −3. Comprobación: el producto de las raíces 1·2·(−3)=−6 coincide con el término independiente cambiado de signo.

Factorice x³−8=0 con la fórmula de a³−b³ como (x−2)(x²+2x+4)=0. Las raíces de x²+2x+4=0 son x=−1±√3i, así que las tres soluciones son x=2 y −1±√3i. Responder solo x=2 omite las raíces imaginarias, y 1±√3i es un error de signo en la fórmula general.

Por el teorema del factor, P(1)=1−2+a+b=0 da a+b=1, y P(−2)=−8−8−2a+b=0 da −2a+b=16. Al restarlas se obtiene 3a=−15, así que a=−5 y b=6. Escribir +2a en lugar de −2a en P(−2) lleva a a=15, b=−14.

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Como x²−1 todavía se puede descomponer, detenerse en (x²−1)(x²+1) es incompleto. El factor x²+1 no se puede descomponer en los números reales; la forma (x−i)(x+i) es una factorización en los números complejos.

Como ω es una raíz imaginaria de x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0, satisface x²+x+1=0. Por lo tanto, ω²+ω+1=0 da ω²+ω=−1. Las dos relaciones ω³=1 y ω²+ω+1=0 son las herramientas básicas para calcular con ω.

El resto de la división entre una expresión cuadrática tiene grado 1 como máximo, así que se escribe como ax+b. Al aplicar el teorema del resto a P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b se obtiene P(1)=a+b=3 y P(2)=2a+b=5. Al restarlas se obtiene a=2 y b=1, así que el resto es 2x+1. Confundir las ecuaciones simultáneas lleva a −2x+7.

Como los coeficientes son reales, el conjugado 1−i también es raíz. Si se escribe la raíz restante como γ, la suma de las tres raíces es (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4, así que γ=2. Al desarrollar (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 se obtiene a=6 y b=−4. Es rápido usar el hecho de que la suma de las raíces es igual al coeficiente de x² con el signo cambiado.