高校数学 HIGH SCHOOL MATH
3次式の展開・因数分解、二項定理、恒等式の係数決定から、相加平均・相乗平均を使う不等式の証明まで、数学Ⅱの計算と論証の土台を作ります。
数学Ⅰの乗法公式を3次に広げます。(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ は「係数が 1,3,3,1 と並ぶ」のが目印で、真ん中の 3a²b と 3ab² を落とすミスが定期テストで最も多いところです。因数分解では a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)、a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²) を使います。かっこの中の符号が「最初のかっこと逆」になる（+なら−ab、−なら+ab）ことをセットで覚えてください。
(a+b)ⁿ を一気に展開する道具が二項定理です。一般項は C(n,r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ（C(n,r) は組合せの数）で、「係数を知りたい項だけ取り出せる」のが強みです。例えば (x+2)⁵ の x³ の係数なら、x³ になるのは r=2 の項なので C(5,2)·2² = 10×4 = 40。b の側の累乗（ここでは 2²）を掛け忘れるミスが頻出なので、「係数は C(n,r) × 数の累乗」まで含めて1セットです。
分数式は数の分数と同じルールで、まず分母・分子を因数分解して約分し、足し算・引き算は通分してから行います。恒等式は「x にどんな値を入れても成り立つ等式」で、係数を決めるには①両辺の同じ次数の係数を比較する（係数比較法）②都合のよい値を代入する（数値代入法）の2つの方法があります。数値代入法で求めた値は、本来は逆に代入して恒等式になることを確かめるのが正式な手順です。
等式 A=B の証明は「左辺−右辺を計算して 0 を示す」か「両辺を同じ形に変形する」のが基本です。不等式では、a>0, b>0 のとき (a+b)/2 ≧ √(ab)（相加平均≧相乗平均、等号は a=b のとき）が最重要で、「正の数どうしの和の最小値」を求める問題で威力を発揮します。例えば x>0 のとき x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 6 のように、積が定数になる2項の和に使うのが典型パターンです。
| 公式 | 形 | 注意点 |
|---|---|---|
| (a+b)³ | a³+3a²b+3ab²+b³ | 係数は 1,3,3,1。中央2項を忘れない |
| (a−b)³ | a³−3a²b+3ab²−b³ | 符号が交互に − + − となる |
| a³+b³ | (a+b)(a²−ab+b²) | 後ろのかっこは −ab（符号が逆） |
| a³−b³ | (a−b)(a²+ab+b²) | 後ろのかっこは +ab（符号が逆） |
| 二項定理の一般項 | C(n,r)·aⁿ⁻ʳ·bʳ | b 側の累乗の掛け忘れに注意 |
| 相加相乗平均 | (a+b)/2 ≧ √(ab) | a>0, b>0 が条件。等号は a=b |
二項定理: (a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + … + C(n,n)bⁿ例: (x+2)⁵ の x³ の係数一般項 = C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ で x³ になるのは r=2C(5,2)·2² = 10×4 = 40相加相乗平均の使い方: x>0 のとき x + 9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6等号成立: x = 9/x すなわち x=3 のとき
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2乗して −1 になる数 i を導入し、複素数の四則計算、2次方程式の虚数解、判別式、そして頻出の「解と係数の関係」までを固めます。
i² = −1 となる数 i（虚数単位）を導入すると、どんな2次方程式も解をもつようになります。a+bi（a, b は実数）の形の数を複素数といい、b≠0 のものを虚数と呼びます。計算は i を文字のように扱い、i² が出たら −1 に置き換えるだけです。例えば (2+i)(3−2i) = 6−4i+3i−2i² = 6−i+2 = 8−i。i² の処理を忘れる・符号を誤るのが定番ミスです。
a+bi と a−bi を互いに共役な複素数といいます。割り算は分母の共役を分母・分子に掛けて、分母を実数 a²+b² に直します。また、負の数の平方根は √(−a) = √a·i（a>0）と i を使って表しますが、√(−8)·√(−2) のような積は先に i に直してから計算します。√(−8)·√(−2) = 2√2i·√2i = 4i² = −4 であり、√16 = 4 としてはいけません（√a·√b=√(ab) は負の数では使えない）。
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解は解の公式で x = (−b±√(b²−4ac))/2a。D = b²−4ac を判別式といい、D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解、D<0 なら異なる2つの虚数解をもちます。D<0 のときの2つの虚数解は互いに共役です。「重解をもつように定数を定めよ」は D=0 を解く、が決まった手順です。
解と係数の関係は定期テスト最頻出です。ax²+bx+c=0 の2解を α, β とすると α+β = −b/a、αβ = c/a。方程式を解かずに α²+β² = (α+β)²−2αβ、α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) などの対称式の値が計算できます。逆に、2数 α, β を解にもつ2次方程式は x²−(α+β)x+αβ = 0 です。α+β の符号（−b/a のマイナス）を落とすミスに注意してください。
| 項目 | 式・条件 | 意味 |
|---|---|---|
| 判別式 | D = b²−4ac | 解の種類を判定する |
| D > 0 | 異なる2つの実数解 | グラフは x 軸と2点で交わる |
| D = 0 | 重解 x=−b/2a | グラフは x 軸に接する |
| D < 0 | 異なる2つの虚数解 | 互いに共役な複素数になる |
| 解の和 | α+β = −b/a | マイナスを忘れない |
| 解の積 | αβ = c/a | 2数を解にもつ方程式は x²−(和)x+(積)=0 |
割り算: (1+i)/(3−i) = (1+i)(3+i)/{(3−i)(3+i)} = (2+4i)/10 = (1+2i)/5負の平方根: √(−a) = √a·i（a>0）。積は先に i に直す対称式の変形:α²+β² = (α+β)² − 2αβα³+β³ = (α+β)³ − 3αβ(α+β)(α−β)² = (α+β)² − 4αβ
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式の割り算の余りを一瞬で求める剰余の定理、因数を見つける因数定理、計算を速くする組立除法を使って、3次以上の方程式を解きます。
多項式 P(x) を1次式 x−k で割った余りは P(k) に等しい。これが剰余の定理です。割り算を実行しなくても、代入1回で余りが出ます。理由は、P(x) = (x−k)Q(x) + R（R は定数）と書いて x=k を代入すると (x−k) の部分が 0 になり P(k)=R となるからです。「x+1 で割る」ときは x−(−1) とみて P(−1) を計算します。符号の読み違いが最頻出ミスです。
余りが 0 になる場合が因数定理です。P(k)=0 ⇔ x−k は P(x) の因数。3次式の因数分解では、P(k)=0 となる k を「±(定数項の約数)/(最高次係数の約数)」の中から探します。例えば P(x)=x³−7x+6 なら P(1)=0 なので x−1 が因数だと分かります。
因数が見つかったら割り算で商を求めますが、1次式で割るときは組立除法が速くて確実です。係数だけを並べ、k を掛けて足す操作を繰り返すと、最後の数が余り、その前までが商の係数になります。抜けている次数の係数 0 を書き忘れないことが注意点です。
3次方程式は「因数定理で1次因数を見つける → 組立除法で2次式に落とす → 2次方程式を解く」の3段階で解きます。x³=8 のような形も x³−8=0 として a³−b³ の公式で (x−2)(x²+2x+4)=0 と分解すれば、実数解 2 と虚数解 −1±√3i がすべて求められます。また、実数係数の方程式が虚数解 p+qi をもてば、共役 p−qi も必ず解になります。この性質は「1つの虚数解から係数を決める」応用問題で使います。
| 手順 | やること | この例では |
|---|---|---|
| ① 因数を探す | P(k)=0 となる k を定数項の約数から探す | P(1)=1−7+6=0 → x−1 が因数 |
| ② 割り算 | 組立除法で P(x)÷(x−k) の商を求める | 商は x²+x−6 |
| ③ 分解 | P(x)=(x−k)×(2次式) と書く | (x−1)(x²+x−6)=0 |
| ④ 2次を解く | 因数分解または解の公式 | (x−1)(x+3)(x−2)=0 |
| ⑤ 解をそろえる | 1次因数の解をすべて並べる | x = 1, 2, −3 |
剰余の定理: P(x) を x−k で割った余り = P(k)組立除法（x³−4x²+x+6 ÷ (x−2)）:係数 1 −4 1 6 を並べ、2 を掛けて足していく1 → 1×2=2 を −4 に足して −2 → −2×2=−4 を 1 に足して −3 → −3×2=−6 を 6 に足して 0商 x²−2x−3、余り 0P(x) を (x−p)(x−q) で割った余りは1次以下: mx+n とおいて P(p), P(q) で連立
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
(x+2)³ を展開した結果はどれか。
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ に a=x, b=2 を代入して x³+6x²+12x+8。x³+8 は中央の2項（3a²b と 3ab²）を忘れた定番ミス。係数の並び 1,3,3,1 を確認する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x³−27 を因数分解した結果はどれか。
a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) より x³−27=(x−3)(x²+3x+9)。後ろのかっこの中央は +ab（最初のかっこと逆の符号）。(x−3)(x²−3x+9) は符号を逆にしたミス、(x−3)³ は展開すると x³−9x²+27x−27 で一致しない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
二項定理を用いるとき、(x+2)⁵ の展開式における x³ の係数はどれか。
一般項は C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ。x³ になるのは r=2 のときで、係数は C(5,2)·2² = 10×4 = 40。80 は 2³ を掛けたミス、20 は 2¹ を掛けたミス、10 は 2² の掛け忘れ。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
(2x−y)⁶ の展開式における x⁴y² の係数はどれか。
一般項は C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ。x⁴y² は r=2 で、C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240。−240 は (−y)² の符号処理を誤ったミス、60 は 2⁴ を 2² としたミス、480 は 2⁵ を掛けたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
分数式 (x²−9)/(x²+x−6) を約分した結果はどれか。
分子 = (x+3)(x−3)、分母 = (x+3)(x−2)。共通因数 x+3 で約分して (x−3)/(x−2)。まず分母・分子を因数分解するのが鉄則。x−3 と x−2 は別の因数なので、これ以上約分できない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
分数式の計算 2/(x−1) + 3/(x+1) の結果はどれか。
通分して {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1)。5/(x²−1) は分子を通分せず 2+3 としたミス、(5x+1) は符号の計算ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
a(x+1)+b(x−1) = 3x+5 が x についての恒等式となるとき、a, b の値はどれか。
左辺 = (a+b)x+(a−b)。係数比較で a+b=3, a−b=5。足して 2a=8 より a=4、b=3−4=−1。a=4, b=1 は a−b=5 と a+b=3 を取り違えて解いたミス。数値代入法なら x=1 で 2a=8、x=−1 で −2b=2 としても求められる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x² = a(x−1)²+b(x−1)+c が x についての恒等式となるとき、a, b, c の値はどれか。
x=1 を代入して c=1。x² の係数比較で a=1。x=0 を代入して 0=a−b+c=1−b+1 より b=2。検算: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x² で成立。b の符号ミス（b=−2）が典型的な誤り。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x>0 のとき、x + 9/x の最小値はどれか。
x>0, 9/x>0 なので相加平均・相乗平均の関係より x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6。等号は x=9/x すなわち x=3 のとき成立。3 は √9 だけで 2 を掛け忘れたミス、9 は積 x·(9/x) と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x>0, y>0, xy=4 のとき、x+y の最小値はどれか。
相加平均・相乗平均の関係より x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4。等号は x=y=2 のとき成立し、このとき確かに xy=4 を満たすので最小値は 4。2 は √4 のみで 2 を掛け忘れたミス、8 は 2×4 とした誤り。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
a+b=3, ab=1 のとき、a³+b³ の値はどれか。
a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18。27 は −3ab(a+b) を忘れたミス、24 は 27−3 と ab だけ引いたミス、30 は a²+b² を 9+2=11 と誤って (a+b)(a²−ab+b²)=3×10 としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
二項定理を用いるとき、(x + 1/x)⁶ の展開式における定数項はどれか。
一般項は C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ。定数項は 6−2r=0 すなわち r=3 のときで、C(6,3)=20。15 は C(6,2)、6 は C(6,1) を選んだミス。x の指数が 0 になる r を先に求めるのが手順。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
(3+2i)+(1−4i) を計算した結果はどれか。
実部どうし・虚部どうしを足して (3+1)+(2−4)i = 4−2i。4+2i は虚部の符号処理のミス、2−2i は実部の計算ミス、4−6i は 2−4 を −6 とした誤り。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
(2+i)(3−2i) を計算した結果はどれか。
展開すると 6−4i+3i−2i²。i²=−1 なので −2i²=+2 となり、6−i+2 = 8−i。4−i は i²=+1 と誤ったミス、6−i は −2i² の項を落としたミス。i² の処理が正否を分ける。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
i²³ の値はどれか。ただし i は虚数単位とする。
i の累乗は i, −1, −i, 1 の周期4で繰り返す。23 = 4×5+3 なので i²³ = i³ = i²·i = −i。余り（23 を 4 で割った余り 3）で判断するのが手順。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
(1+i)/(3−i) を計算した結果はどれか。
分母の共役 3+i を分母・分子に掛ける。分子 = (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i、分母 = 9−i² = 10。よって (2+4i)/10 = (1+2i)/5。(2+i)/5 は分子に 3−i を掛けたミス、分母を 9−1=8 とすると (1+2i)/4 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
√(−8) × √(−2) を計算した結果はどれか。
先に i に直す。√(−8)=2√2i、√(−2)=√2i なので、積は 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4。√(−8)×√(−2)=√16=4 とするのは、負の数では √a·√b=√(ab) が使えないことを見落とした定番ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2次方程式 x²+2x+5=0 の解はどれか。
解の公式で x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i。−2±4i は 2 で割り忘れたミス、1±2i は符号ミス。D/4 = 1−5 = −4 を使えば x = −1±√(−4) = −1±2i と速い。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2次方程式 x²+kx+k+3=0 が重解をもつとき、定数 k の値はどれか。
重解の条件は D=0。D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 より k=6, −2。−4(k+3) の展開で −4k−12 とせず符号を誤ると k=−6, 2 などの誤答になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2次方程式 3x²−5x+4=0 の解の種類として正しいものはどれか。
判別式 D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 なので異なる2つの虚数解。実数係数では虚数解は必ず共役のペアで現れるため「実数解1つと虚数解1つ」はあり得ない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2次方程式 x²−5x+3=0 の2つの解を α, β とするとき、α+β と αβ の値はどれか。
解と係数の関係より α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5、αβ = c/a = 3。α+β=−5 は −b/a のマイナスを付け忘れた定番ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
α+β=5, αβ=3 のとき、α²+β² の値はどれか。
α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19。25 は −2αβ を忘れたミス、31 は 25+6 と足したミス、22 は 25−3 と αβ を1回しか引かないミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
2次方程式 x²−3x+5=0 の2つの解を α, β とするとき、α³+β³ の値はどれか。
解と係数の関係で α+β=3, αβ=5。α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18。27 は −3αβ(α+β) を忘れたミス、72 は 27+45 と足したミス、12 は 27−15 と (α+β) を掛け忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
実数係数の2次方程式 x²+px+q=0 の1つの解が 3+2i であるとき、p, q の値はどれか。
実数係数なので共役な 3−2i も解。解の和 = 6 = −p より p=−6、解の積 = 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q。q=5 は積を 9−4 と誤ったミス、p=6 は符号ミス。方程式は x²−6x+13=0。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式 P(x)=x³−2x²+3x−1 を x−2 で割った余りはどれか。
剰余の定理より余りは P(2) = 8−8+6−1 = 5。−23 は P(−2) を計算した符号の読み違い。x−2 で割るなら x=2 を代入する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式 P(x)=2x³+x²−5x+3 を x+1 で割った余りはどれか。
x+1 = x−(−1) なので余りは P(−1) = −2+1+5+3 = 7。1 は P(1)=2+1−5+3 を計算したミス。「x+1 で割る → x=−1 を代入」の符号の読み替えが最重要ポイント。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式 P(x)=x³−3x²−4x+12 の因数であるものはどれか。
因数定理より P(k)=0 なら x−k が因数。P(2) = 8−12−8+12 = 0 なので x−2 は因数。P(−3)=−30、P(4)=12、P(−1)=12 でいずれも 0 でない。実際 P(x)=(x−2)(x+2)(x−3) と分解できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x³−4x²+x+6 を x−2 で割ったときの商はどれか（余りは 0）。
組立除法で係数 1, −4, 1, 6 に 2 を掛けて足していくと 1, −2, −3, 0。商は x²−2x−3、余り 0。x²−6x+13 は x+2 で割った（−2 を使った）ときの商で、符号の読み違いから生じる誤答。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
3次方程式 x³−7x+6=0 の解はどれか。
P(1)=1−7+6=0 より x−1 が因数。組立除法で商 x²+x−6=(x+3)(x−2)。よって (x−1)(x−2)(x+3)=0 から x=1, 2, −3。検算: 解の積 1·2·(−3)=−6 は −(定数項) と一致する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
方程式 x³=8 を複素数の範囲で解いたとき、解はどれか。
x³−8=0 を a³−b³ の公式で (x−2)(x²+2x+4)=0 と分解。x²+2x+4=0 の解は x=−1±√3i。よって x=2, −1±√3i の3個。x=2 のみは虚数解を落としたミス、1±√3i は解の公式の符号ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式 x³−2x²+ax+b が x−1 と x+2 のどちらでも割り切れるとき、a, b の値はどれか。
因数定理より P(1)=1−2+a+b=0 で a+b=1、P(−2)=−8−8−2a+b=0 で −2a+b=16。差をとって 3a=−15、a=−5, b=6。P(−2) の −2a を +2a と誤ると a=15, b=−14 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x⁴−1 を実数の範囲で因数分解した結果はどれか。
x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1)。x²−1 はさらに分解できるので (x²−1)(x²+1) では不完全。x²+1 は実数の範囲では分解できない（(x−i)(x+i) は複素数の範囲の分解）。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
x³=1 の虚数解の1つを ω とするとき、ω²+ω の値はどれか。
ω は x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 の虚数解なので x²+x+1=0 を満たす。よって ω²+ω+1=0 から ω²+ω=−1。ω³=1 と ω²+ω+1=0 の2つの関係式が ω の計算の基本道具。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
多項式 P(x) を x−1 で割った余りが 3、x−2 で割った余りが 5 であるとき、P(x) を (x−1)(x−2) で割った余りはどれか。
2次式で割る余りは1次以下なので ax+b とおく。P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b に剰余の定理を使うと P(1)=a+b=3、P(2)=2a+b=5。差から a=2, b=1 で余りは 2x+1。連立を取り違えると −2x+7 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
実数係数の3次方程式 x³−4x²+ax+b=0 が 1+i を解にもつとき、a, b の値と残りの解の組合せとして正しいものはどれか。
実数係数なので共役 1−i も解。残りの解を γ とすると3解の和 = (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4 より γ=2。(x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 と展開できるので a=6, b=−4。3解の和が x² の係数の符号反転に等しいことを使うと速い。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第2 数学Ⅱ 2 内容（1）いろいろな式
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※ 解説は学習用の情報提供です。教科書・学校の指示する解法を優先してください。
※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。