高校数学 HIGH SCHOOL MATH
角の二等分線と辺の比、重心・外心・内心・垂心の見分け方、中線定理、チェバ・メネラウスの定理まで。三角形の定期テスト頻出事項を整理します。
三角形の内角の二等分線には美しい比の性質があります。△ABCで∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、BD:DC = AB:AC。「二等分線は向かいの辺を、はさむ2辺の比に分ける」と覚えます。外角の二等分線でも同様に、BCの延長との交点EについてBE:EC=AB:ACが成り立ちます（外分）。
この性質は、ADに平行な補助線を引くか、面積比で証明できます。使うときは、BD = BC × AB/(AB+AC) のように、全体BCを AB:AC に内分する形で長さを出すのが実戦的です。比を取り違えて BD:DC = AC:AB としないよう、「Bに近い方の線分はBに近い辺ABと対応」と確認しましょう。
三角形の五心のうち数Aで頻出なのは4つ。重心Gは3本の中線（頂点と対辺の中点を結ぶ線）の交点で、中線を頂点側から2:1に内分します。外心Oは3辺の垂直二等分線の交点で、3頂点から等距離（外接円の中心）。内心Iは3つの内角の二等分線の交点で、3辺から等距離（内接円の中心）。垂心Hは3頂点から対辺に下ろした垂線の交点です。「何の交点か」「どこから等距離か」をセットで覚えます。
角度の頻出公式が2つ。内心Iについて ∠BIC = 90° + ∠A/2（∠IBC+∠ICBが(B+C)/2になることから）。外心Oについて、中心角と円周角の関係から ∠BOC = 2∠A（∠Aが鋭角のとき）。この2つは証明ごと出題されます。
中線定理（パップスの定理）は、辺BCの中点をMとすると AB² + AC² = 2(AM² + BM²)。中線の長さを2辺と底辺から計算できる公式で、座標を設定すれば証明できます。右辺のBM（半分の長さ）にBCをそのまま入れてしまうミスに注意。
線分の比にはチェバの定理とメネラウスの定理も使えます。チェバ：三角形の内部の点を通る3本の線が対辺と交わるとき (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。メネラウス：1本の直線が3辺（またはその延長）と交わるときも同じ形の式が成り立ちます。頂点→分点→頂点→分点…と一筆書きの順に回って書くのがコツです。
| 名前 | 何の交点か | 性質 | 円との関係 |
|---|---|---|---|
| 重心G | 中線（頂点と対辺の中点） | 中線を2:1に内分 | ― |
| 外心O | 辺の垂直二等分線 | 3頂点から等距離／∠BOC=2∠A | 外接円の中心 |
| 内心I | 内角の二等分線 | 3辺から等距離／∠BIC=90°+∠A/2 | 内接円の中心 |
| 垂心H | 頂点から対辺への垂線 | 鈍角三角形では外部にくる | ― |
角の二等分線: BD:DC = AB:AC （BD = BC×AB/(AB+AC)）重心: 中線を頂点側から 2:1 に内分内心: ∠BIC = 90° + ∠A/2外心: ∠BOC = 2∠A （∠Aが鋭角のとき）中線定理: AB² + AC² = 2(AM² + BM²) （MはBCの中点）チェバ・メネラウス: (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA) = 1
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円周角の定理、円に内接する四角形、接弦定理、方べきの定理の3パターン、2円の共通接線まで。円がらみの角度と長さの計算を一気に整理します。
円周角の定理：1つの弧に対する円周角は中心角の半分で、同じ弧に対する円周角はすべて等しい。特に半円の弧（直径）に対する円周角は90°です（タレスの定理）。また、円周角の大きさは弧の長さに比例するので、円周を3:4:5に分ければ、対応する円周角（内接三角形の内角）も3:4:5になります。
円に内接する四角形では、向かい合う内角の和が180°（対角の和）。同じことですが、1つの内角は向かいの内角の外角に等しい、とも言えます。逆に、対角の和が180°の四角形は円に内接します。この「内接する条件」は証明問題でも頻出です。
接弦定理：円の接線とその接点を通る弦のなす角は、その弦に対する円周角（弦の反対側の弧に対するもの）に等しい。接線が出てきたら、接点での角を円周角に読みかえるのが定石です。また、円外の1点からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。この性質から、内接円が辺と接する点までの長さは s−a（sは半周長）の形で表せます。
方べきの定理は3つの形をまとめて覚えます。(1)2つの弦AB、CDが円の内部の点Pで交わるとき PA·PB = PC·PD。(2)円外の点Pから2本の割線を引くとき PA·PB = PC·PD（PからみてA、Bの順、C、Dの順に円と交わる）。(3)一方が接線PTのとき PT² = PA·PB。どの形も「Pから円との交点までの2つの距離の積が一定」という同じ主張です。外部の場合、PA·PBのPBはPから遠い方の交点までの長さ（PB=PA+AB）であることに注意。
2つの円の位置関係は、中心間の距離dと半径r₁、r₂（r₁>r₂）の大小で5つに分類されます：離れている（d>r₁+r₂）、外接（d=r₁+r₂）、2点で交わる（r₁−r₂<d<r₁+r₂）、内接（d=r₁−r₂）、一方が内部（d<r₁−r₂）。共通接線の本数は順に4、3、2、1、0本です。
共通接線の長さは三平方の定理で求めます。共通外接線は ℓ = √(d²−(r₁−r₂)²)、共通内接線は ℓ = √(d²−(r₁+r₂)²)。半径の差か和か、どちらを使うかを図で確認して選びます（外接線は差、内接線は和）。
| 形 | 状況 | 式 | 注意点 |
|---|---|---|---|
| 内部交点型 | 2弦が円の内部の点Pで交わる | PA·PB = PC·PD | Pから4つの交点までの距離の積 |
| 外部割線型 | 円外のPから2本の割線 | PA·PB = PC·PD | PBはPから遠い交点まで（PB=PA+AB） |
| 接線型 | 円外のPから接線PTと割線 | PT² = PA·PB | 接線の長さの2乗になる |
円周角 = 中心角 ÷ 2 ／ 直径に対する円周角 = 90°内接四角形: 対角の和 = 180°接弦定理: 接線と弦のなす角 = その弦に対する円周角方べき: PA·PB = PC·PD ／ PT² = PA·PB共通外接線: ℓ = √(d² − (r₁−r₂)²)共通内接線: ℓ = √(d² − (r₁+r₂)²)
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
素因数分解と約数、最大公約数を求めるユークリッドの互除法、n進法と10進法の相互変換、不定方程式 ax+by=c の整数解。数学と人間の活動の計算パターンを固めます。
整数の性質の出発点は素因数分解です。どんな自然数も素数の積として（順序を除き）ただ1通りに表せます。540=2²×3³×5 のように指数の形で書けば、正の約数の個数は（各指数+1）の積で求められます。2つの数の最大公約数Gは共通の素因数の指数の小さい方、最小公倍数Lは大きい方を取ったもの。そして2つの自然数a、bについて G×L = a×b が成り立ちます。
大きい数の最大公約数はユークリッドの互除法で求めます。原理は「a = bq + r のとき、gcd(a, b) = gcd(b, r)」。割られる数と割る数の最大公約数は、割る数と余りの最大公約数に等しいので、余りが0になるまで割り算をくり返し、最後の割る数（=最後の0でない余り）が最大公約数です。319と143なら、319=143×2+33、143=33×4+11、33=11×3 なので gcd=11。
n進法は、位が上がるごとに値がn倍になる記数法です。n進数を10進数に直すには、各位にnの累乗を掛けてたします：110101₂ = 32+16+4+1 = 53。10進数をn進数に直すには、nで割った商と余りを余りが主役になるように並べます：nで割り続けて、出てきた余りを下から順に読む。123を5で割ると商24余り3、24を5で割ると商4余り4、4を5で割ると商0余り4なので、123 = 443₅。余りを上から読んでしまう（344₅とする）のが典型的なミスです。
1次不定方程式 ax+by=c は、a、bの最大公約数がcの約数のときに整数解をもちます。解き方は、(1)まず1組の解(x₀, y₀)を見つける（互除法を逆にたどるか、小さい数の代入で探す）。(2)ax+by=c から ax₀+by₀=c を辺々引くと a(x−x₀) = −b(y−y₀)。aとbが互いに素なら、x−x₀ はbの倍数となるので、整数kを使って x = x₀+bk、y = y₀−ak がすべての整数解です。xにはbの係数、yにはaの係数がつくこと、符号が逆になることを、もとの式に代入して確認する習慣をつけましょう。
割り算の余りで整数を分類する考え方も重要です。「7で割ると3余る数」は7k+3と表せます。2つの条件「7で割ると3余り、13で割ると5余る」を満たす数は、一方を代入して不定方程式に帰着させて求めます。解は91（=7×13）ごとに現れるので、最小の解を見つければ全体は91m+31の形に書けます。
このほか、倍数の判定法（2の倍数は一の位が偶数、3の倍数は各位の和が3の倍数、4の倍数は下2桁が4の倍数、5の倍数は一の位が0か5、9の倍数は各位の和が9の倍数）も基本として押さえておきましょう。
| テーマ | 手順 | 例 |
|---|---|---|
| 約数の個数 | 素因数分解して（指数+1）の積 | 720=2⁴·3²·5 → 5·3·2=30個 |
| 互除法 | 余りが0になるまで割り、最後の割る数 | 319→143→33→11→0 で gcd=11 |
| n進→10進 | 各位×nの累乗の和 | 110101₂=32+16+4+1=53 |
| 10進→n進 | nで割り続け、余りを下から読む | 123÷5の余り3,4,4 → 443₅ |
| 不定方程式 | 1組の解+一般解 x=x₀+bk, y=y₀−ak | 3x+5y=1 → x=2+5k, y=−1−3k |
約数の個数: N = pᵃqᵇrᶜ → (a+1)(b+1)(c+1) 個G×L = a×b （G:最大公約数, L:最小公倍数）互除法: a = bq + r ⇒ gcd(a, b) = gcd(b, r)n進→10進: 各位 × nᵏ の和 ／ 10進→n進: nで割って余りを下から読むax+by=c: 1組の解(x₀,y₀)を見つけ、x = x₀+bk, y = y₀−ak（a,b互いに素）
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
△ABCにおいて、AB=6、AC=4、BC=5である。∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、BDの長さを求めよ。
角の二等分線の性質より BD:DC=AB:AC=6:4=3:2。よってBD=BC×3/5=5×3/5=3。比を取り違えてBD:DC=4:6とするとBD=2（これはDCの長さ）になる。Bに近い線分BDはBをはさむ辺ABと対応する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCの辺BCの中点をMとし、重心をGとする。中線AMの長さが9のとき、AGの長さを求めよ。
重心は中線を頂点側から2:1に内分するので、AG:GM=2:1。よってAG=9×2/3=6。3はGMの長さ。9/2は中点と混同して半分にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
三角形の3辺それぞれの垂直二等分線は1点で交わる。この点を何というか。
3辺の垂直二等分線の交点は外心。垂直二等分線上の点は線分の両端から等距離なので、外心は3頂点から等距離となり、外接円の中心になる。内心は内角の二等分線、重心は中線、垂心は頂点から対辺への垂線の交点である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わり、その点は3辺から等距離にある。この点を何というか。
内角の二等分線の交点は内心。角の二等分線上の点は角の2辺から等距離なので、内心は3辺から等距離となり、内接円の中心になる。3頂点から等距離なのは外心で、混同しやすいので「内心=内接円=辺から等距離」とセットで覚える。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCにおいて、AB=7、AC=5、BC=8である。辺BCの中点をMとするとき、中線AMの長さを求めよ。
中線定理より AB²+AC²=2(AM²+BM²)。BM=4なので 49+25=2(AM²+16)、74=2AM²+32、AM²=21、AM=√21。右辺の2を掛け忘れる（割り忘れる）と74−16=58から√58になってしまう。BMはBCの半分の4を使う。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCにおいて、AB=8、AC=6、BC=7である。∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき、DCの長さを求めよ。
BD:DC=AB:AC=8:6=4:3。よってDC=BC×3/7=7×3/7=3。4はBDの長さで、どちらの線分を問われているかに注意。7/2は中点と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCにおいて、AB=7、BC=5、CA=3である。この三角形で最も大きい内角はどれか。
三角形では大きい辺の向かいの角ほど大きい。最大辺はAB=7で、その向かいの角は∠C。よって∠Cが最大（実際、余弦定理で計算すると∠C=120°）。最大辺自体の両端の角と混同して∠Aや∠Bを選ばないよう、「辺の向かい」を確認する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCの内部の点Pをとおる3直線AP、BP、CPが、対辺BC、CA、ABとそれぞれ点D、E、Fで交わっている。BD:DC=2:3、CE:EA=1:2のとき、AF:FBを求めよ。
チェバの定理より (AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。(AF/FB)×(2/3)×(1/2)=1 だから AF/FB=3。よってAF:FB=3:1。比の向き（頂点→分点→頂点の一筆書きの順）を逆にすると1:3になってしまうので、Aから始めて一周する順に書く。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCにおいて∠A=70°とし、内心をIとする。∠BICの大きさを求めよ。
∠IBC+∠ICB=(∠B+∠C)/2=(180°−70°)/2=55°。よって∠BIC=180°−55°=125°。公式では∠BIC=90°+∠A/2=90°+35°=125°。140°は2∠Aで外心の公式∠BOC=2∠Aと混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
鋭角三角形ABCにおいて∠A=50°とし、外心をOとする。∠BOCの大きさを求めよ。
外心Oは外接円の中心なので、∠BOCは弧BCに対する中心角、∠Aは同じ弧に対する円周角。よって∠BOC=2∠A=100°。115°は内心の公式90°+∠A/2と混同したミス。25°は半分にする向きを逆にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円Oにおいて、ある弧に対する中心角が120°のとき、同じ弧に対する円周角の大きさを求めよ。
円周角は中心角の半分なので120°÷2=60°。240°は逆に2倍したミス。中心角と円周角の関係「円周角×2=中心角」の向きを図で確認する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
線分ABを直径とする円の周上に、A、Bと異なる点Cをとる。∠ACBの大きさを求めよ。
直径ABに対する中心角は180°なので、円周角∠ACBはその半分の90°（タレスの定理）。Cの位置によらず一定である。180°は中心角をそのまま答えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
四角形ABCDが円に内接していて、∠A=95°である。∠Cの大きさを求めよ。
円に内接する四角形では向かい合う内角の和が180°。∠C=180°−95°=85°。95°は「対角は等しい」と誤解したミスで、等しいのではなく和が180°になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円Oの周上の点Aにおける接線をATとし、円周上に2点B、Cをとる。∠TAB=65°のとき、弧ABに対する円周角∠ACBの大きさを求めよ。ただしCは∠TABが見込む弧と反対側の弧の上にあるとする。
接弦定理より、接線と弦ABのなす角∠TABは、その弦に対する円周角∠ACBに等しいので65°。130°は円周角と中心角を混同して2倍したミス、115°は180°から引いてしまったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円の2つの弦ABとCDが円の内部の点Pで交わっている。PA=3、PB=4、PC=2のとき、PDの長さを求めよ。
方べきの定理より PA×PB=PC×PD。3×4=2×PD だから PD=6。5は3+4−2のように和や差で処理したミス。方べきは必ず「距離の積」が等しい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円外の点Pから円に接線PTを引き、またPを通る直線がこの円と2点A、Bで交わっている。PA=4、PB=9のとき、接線PTの長さを求めよ。
接線型の方べきの定理より PT²=PA×PB=4×9=36。よってPT=6。36のまま答えるのは平方根を取り忘れたミス。13/2は(4+9)/2で、積ではなく平均をとってしまったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円外の点Pから2本の直線を引き、一方は円と2点A、B（PA=3、AB=5）で、他方は2点C、D（PC=4、PC<PD）で交わっている。PDの長さを求めよ。
PB=PA+AB=3+5=8。方べきの定理より PA×PB=PC×PD、3×8=4×PD だから PD=6。ABの5をそのままPBとして3×5=4×PDとすると15/4になる。外部の割線ではPから遠い交点までの長さを使う。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
△ABCにおいて、BC=10、CA=7、AB=9である。△ABCの内接円が辺ABと接する点をPとするとき、APの長さを求めよ。
円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しいので、A、B、Cからの接線の長さをx、y、zとすると x+y=9、y+z=10、z+x=7。全部たすと x+y+z=13（半周長s）なので、AP=x=s−BC=13−10=3。6はBP（s−CA）、4はCからの接線の長さ（s−AB）で、どの頂点の接線かに注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
半径4の円Oと半径2の円O'があり、中心間の距離は10である。この2つの円の共通外接線の長さを求めよ。
共通外接線の長さは√(d²−(r₁−r₂)²)=√(100−(4−2)²)=√96=4√6。8=√(100−36)は半径の和(4+2)²を使った値で、それは共通内接線の長さ。外接線は差、内接線は和と使い分ける。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
円周上の3点A、B、Cが円周を弧AB:弧BC:弧CA=3:4:5に分けている。△ABCの最も大きい内角の大きさを求めよ。
円周角は弧の長さに比例するので、3つの内角は180°を3:4:5に分けた45°、60°、75°。最大の内角は最大の弧CAに対する円周角∠Bで75°。90°は3:4:5の直角三角形の辺の比と混同したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（1）図形の性質
540を素因数分解せよ。
540=2×270=2×2×135=2²×135、135=27×5=3³×5。よって540=2²×3³×5。検算すると4×27×5=540。2³×3²×5=360、2²×3²×5=180で一致しない。指数の付け間違いは掛け戻して確かめる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
12と18の最小公倍数を求めよ。
12=2²×3、18=2×3²。最小公倍数は各素因数の指数の大きい方を取って2²×3²=36。6は最大公約数。216=12×18÷1のように積をそのまま使うのは誤りで、G×L=a×bより L=12×18÷6=36と求めることもできる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
2つの自然数の最大公約数が6、最小公倍数が180で、一方の数が30であるとき、もう一方の数を求めよ。
2数a、bについて G×L=a×b が成り立つので、6×180=30×b より b=1080÷30=36。検算すると gcd(30,36)=6、lcm(30,36)=180 で条件に合う。60や90は約数・倍数の関係から当てずっぽうに選びやすい値だが、G×L=abで確かめれば1つに決まる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
ユークリッドの互除法を用いて、273と63の最大公約数を求めよ。
273=63×4+21、63=21×3+0。余りが0になったので、最後の割る数21が最大公約数。273=3×7×13、63=3²×7からも gcd=3×7=21 と確かめられる。7や3は公約数ではあるが最大ではない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
ユークリッドの互除法を用いて、319と143の最大公約数を求めよ。
319=143×2+33、143=33×4+11、33=11×3+0。よって最大公約数は11。33は途中の余りで、互除法は余りが0になるまで続ける。319=11×29、143=11×13からも確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
2進数 110101₂ を10進数で表せ。
110101₂=1×32+1×16+0×8+1×4+0×2+1×1=32+16+4+1=53。43は桁の重みを逆順（101011₂と同じ）に掛けてしまったミス。左端が最高位（2⁵=32の位）であることに注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
10進数の123を5進法で表せ。
123÷5=24余り3、24÷5=4余り4、4÷5=0余り4。余りを下から順に読んで443₅。検算すると4×25+4×5+3=123。余りを上から読むと344₅になってしまうのが典型的なミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
2進数の計算 1011₂+110₂ の結果を2進数で表せ。
10進数に直すと1011₂=11、110₂=6で、和は17=16+1=10001₂。2進数のまま筆算しても、1+1=10の繰り上がりを追えば10001₂。繰り上がりを1か所落とすと1111₂（15）や10011₂（19）のような値になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
方程式 3x+5y=1 の整数解の1つは x=2、y=−1 である。すべての整数解を表す式はどれか。ただしkは整数とする。
3(x−2)+5(y+1)=0 より 3(x−2)=−5(y+1)。3と5は互いに素なので x−2 は5の倍数となり、x=2+5k、y=−1−3k。xには相手の係数5、yには相手の係数3がつき、符号は逆になる。x=2+3k, y=−1−5kはk=0では成り立つがk=1で3×5+5×(−6)=−15≠1となり誤り。x=2−5k, y=−1−3k も k=1 のとき 3×(−3)+5×(−4)=−29≠1 となり誤り。代入して確認するのが確実。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
7で割ると3余り、13で割ると5余る自然数のうち、最小のものを求めよ。
求める数をNとすると N=7x+3=13y+5。よって7x−13y=2。x=4、y=2が1組の解で、このときN=7×4+3=31。検算すると31=7×4+3、31=13×2+5で条件を満たす。解は7×13=91ごとに現れるので、次は122（これは最小ではない）。18=13+5は7で割ると4余るので誤り。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第4 数学Ａ 2 内容（3）数学と人間の活動
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※ 解説は学習用の情報提供です。教科書・学校の指示する解法を優先してください。
※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。