式与证明、复数与方程

把 a=x, b=2 代入 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，得 x³+6x²+12x+8。x³+8 是漏掉中间两项（3a²b 与 3ab²）的常见错误。可以核对系数的排列 1,3,3,1。

由 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) 得 x³−27=(x−3)(x²+3x+9)。后一个括号中间是 +ab（与前一个括号的符号相反）。(x−3)(x²−3x+9) 是把符号弄反的错误，(x−3)³ 展开后是 x³−9x²+27x−27，与原式不符。

通项是 C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ。出现 x³ 的是 r=2 的项，系数为 C(5,2)·2² = 10×4 = 40。80 是乘了 2³ 的错误，20 是乘了 2¹ 的错误，10 是忘了乘 2² 的错误。

通项是 C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ。x⁴y² 对应 r=2，系数为 C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240。−240 是 (−y)² 的符号处理出错，60 是把 2⁴ 当成 2² 的错误，480 是乘了 2⁵ 的错误。

分子 = (x+3)(x−3)，分母 = (x+3)(x−2)。约去公因式 x+3 得 (x−3)/(x−2)。先把分子分母因式分解是铁则。x−3 与 x−2 是不同的因式，不能再约分。

通分得 {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1)。5/(x²−1) 是没有对分子通分、直接写成 2+3 的错误，(5x+1) 是符号计算错误。

左边 = (a+b)x+(a−b)。比较系数得 a+b=3, a−b=5。两式相加得 2a=8，所以 a=4，b=3−4=−1。a=4, b=1 是把 a−b=5 与 a+b=3 弄反后解出的错误。用代入数值的方法也可以：取 x=1 得 2a=8，取 x=−1 得 −2b=2。

代入 x=1 得 c=1。比较 x² 的系数得 a=1。代入 x=0 得 0=a−b+c=1−b+1，所以 b=2。验算：(x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x²，成立。b 的符号弄错（写成 b=−2）是典型错误。

因为 x>0, 9/x>0，由基本不等式（算术平均数不小于几何平均数）得 x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6。等号在 x=9/x 即 x=3 时成立。3 是只算了 √9、忘记乘 2 的错误，9 是与乘积 x·(9/x) 混淆的错误。

由基本不等式得 x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4。等号在 x=y=2 时成立，此时确实满足 xy=4，所以最小值是 4。2 是只算了 √4、忘记乘 2 的错误，8 是按 2×4 计算的错误。

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18。27 是漏掉 −3ab(a+b) 的错误，24 是按 27−3、只减去 ab 的错误，30 是把 a²+b² 误算成 9+2=11、进而按 (a+b)(a²−ab+b²)=3×10 计算的错误。

通项是 C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ。常数项对应 6−2r=0，即 r=3，其值为 C(6,3)=20。15 是选了 C(6,2)，6 是选了 C(6,1) 的错误。先求出使 x 的指数为 0 的 r 是解题步骤。

实部与实部相加、虚部与虚部相加，得 (3+1)+(2−4)i = 4−2i。4+2i 是虚部符号处理出错，2−2i 是实部计算错误，4−6i 是把 2−4 算成 −6 的错误。

展开得 6−4i+3i−2i²。因为 i²=−1，所以 −2i²=+2，于是 6−i+2 = 8−i。4−i 是把 i² 误当成 +1 的错误，6−i 是漏掉 −2i² 这一项的错误。i² 的处理决定成败。

i 的乘方以 i, −1, −i, 1 为周期 4 循环。23 = 4×5+3，所以 i²³ = i³ = i²·i = −i。用余数（23 除以 4 的余数 3）来判断就是解题步骤。

分子分母同乘分母的共轭 3+i。分子 = (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i，分母 = 9−i² = 10。所以 (2+4i)/10 = (1+2i)/5。(2+i)/5 是把分子乘了 3−i 的错误，把分母算成 9−1=8 就会得到 (1+2i)/4。

先化成含 i 的形式。√(−8)=2√2i、√(−2)=√2i，所以乘积是 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4。写成 √(−8)×√(−2)=√16=4 是常见错误，它忽略了对负数不能使用 √a·√b=√(ab)。

用求根公式得 x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i。−2±4i 是忘了除以 2 的错误，1±2i 是符号错误。用 D/4 = 1−5 = −4 会更快：x = −1±√(−4) = −1±2i。

有重根的条件是 D=0。由 D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 得 k=6, −2。展开 −4(k+3) 时若不写成 −4k−12 而弄错符号，就会得到 k=−6, 2 这样的错误答案。

判别式 D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0，所以是两个不同的虚数解。在实系数的情形下虚数解必定成共轭的一对出现，所以不可能出现一个实数解与一个虚数解。

由根与系数的关系得 α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5，αβ = c/a = 3。α+β=−5 是忘了 −b/a 中的负号的常见错误。

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19。25 是漏掉 −2αβ 的错误，31 是按 25+6 相加的错误，22 是按 25−3、只减一次 αβ 的错误。

由根与系数的关系得 α+β=3, αβ=5。α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18。27 是漏掉 −3αβ(α+β) 的错误，72 是按 27+45 相加的错误，12 是按 27−15、忘了乘 (α+β) 的错误。

因为是实系数，所以共轭的 3−2i 也是解。两解之和 = 6 = −p，故 p=−6；两解之积 = 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q。q=5 是把积误算成 9−4 的错误，p=6 是符号错误。该方程是 x²−6x+13=0。

由余数定理，余数是 P(2) = 8−8+6−1 = 5。−23 是算成 P(−2) 的符号读错。除以 x−2 就要代入 x=2。

因为 x+1 = x−(−1)，所以余数是 P(−1) = −2+1+5+3 = 7。1 是算成 P(1)=2+1−5+3 的错误。最关键的一点是符号的转换：除以 x+1 就要代入 x=−1。

由因式定理，若 P(k)=0 则 x−k 是因式。P(2) = 8−12−8+12 = 0，所以 x−2 是因式。而 P(−3)=−30、P(4)=12、P(−1)=12，都不为 0。实际上 P(x)=(x−2)(x+2)(x−3)。

用综合除法，对系数 1, −4, 1, 6 依次乘 2 再相加，得 1, −2, −3, 0。所以商是 x²−2x−3，余数为 0。x²−6x+13 是除以 x+2（用了 −2）时的商，源于符号读错。

P(1)=1−7+6=0，所以 x−1 是因式。用综合除法得商 x²+x−6=(x+3)(x−2)。于是由 (x−1)(x−2)(x+3)=0 得 x=1, 2, −3。验算：三解之积 1·2·(−3)=−6，与常数项取相反数一致。

用 a³−b³ 的公式把 x³−8=0 分解为 (x−2)(x²+2x+4)=0。x²+2x+4=0 的解是 x=−1±√3i。所以解是 x=2, −1±√3i，共 3 个。只答 x=2 是漏掉了虚数解，1±√3i 是求根公式中的符号错误。

由因式定理，P(1)=1−2+a+b=0，即 a+b=1；P(−2)=−8−8−2a+b=0，即 −2a+b=16。两式相减得 3a=−15，所以 a=−5, b=6。若把 P(−2) 中的 −2a 误写成 +2a，就会得到 a=15, b=−14。

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1)。x²−1 还能继续分解，所以停在 (x²−1)(x²+1) 并不完整。x²+1 在实数范围内不能分解（(x−i)(x+i) 是复数范围内的分解）。

ω 是 x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 的虚数解，所以满足 x²+x+1=0。于是由 ω²+ω+1=0 得 ω²+ω=−1。ω³=1 与 ω²+ω+1=0 这两个关系式是计算 ω 的基本工具。

除以二次式的余式是一次或更低次，设为 ax+b。对 P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b 用余数定理得 P(1)=a+b=3、P(2)=2a+b=5。相减得 a=2, b=1，余式是 2x+1。方程组弄反就会得到 −2x+7。

因为是实系数，所以共轭的 1−i 也是解。设其余的解为 γ，则三解之和 = (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4，得 γ=2。展开 (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4，所以 a=6, b=−4。利用三解之和等于 x² 的系数取相反数会更快。