Bentuk Aljabar dan Pembuktian, Bilangan Kompleks dan Persamaan

Substitusikan a=x dan b=2 ke (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ sehingga diperoleh x³+6x²+12x+8. Bentuk x³+8 adalah kesalahan klasik karena dua suku tengah (3a²b dan 3ab²) terlupakan. Periksa susunan koefisiennya, yaitu 1,3,3,1.

Dengan a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) diperoleh x³−27=(x−3)(x²+3x+9). Suku tengah di dalam kurung kedua adalah +ab, yaitu berlawanan tanda dengan kurung pertama. Bentuk (x−3)(x²−3x+9) keliru karena tandanya dibalik, sedangkan (x−3)³ bila dijabarkan menjadi x³−9x²+27x−27 sehingga tidak cocok.

Suku umumnya C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. Pangkat x³ diperoleh saat r=2, sehingga koefisiennya C(5,2)·2² = 10×4 = 40. Nilai 80 muncul karena dikalikan 2³, 20 karena dikalikan 2¹, dan 10 karena 2² tidak ikut dikalikan.

Suku umumnya C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. Suku x⁴y² diperoleh saat r=2, sehingga C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. Nilai −240 muncul karena tanda pada (−y)² salah diproses, 60 karena 2⁴ dianggap 2², dan 480 karena dikalikan 2⁵.

Pembilangnya = (x+3)(x−3) dan penyebutnya = (x+3)(x−2). Setelah disederhanakan dengan faktor bersama x+3 diperoleh (x−3)/(x−2). Aturan bakunya adalah memfaktorkan pembilang dan penyebut lebih dulu. Karena x−3 dan x−2 adalah faktor yang berbeda, bentuknya tidak dapat disederhanakan lagi.

Setelah penyebutnya disamakan diperoleh {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). Bentuk 5/(x²−1) adalah kesalahan karena pembilangnya tidak disamakan penyebutnya dan langsung dihitung 2+3, sedangkan (5x+1) adalah kesalahan hitung pada tandanya.

Ruas kiri = (a+b)x+(a−b). Dengan menyamakan koefisien diperoleh a+b=3 dan a−b=5. Menjumlahkan keduanya memberi 2a=8 sehingga a=4 dan b=3−4=−1. Jawaban a=4, b=1 muncul karena a−b=5 dan a+b=3 tertukar saat diselesaikan. Dengan metode substitusi nilai pun bisa: x=1 memberi 2a=8 dan x=−1 memberi −2b=2.

Substitusi x=1 memberi c=1. Menyamakan koefisien x² memberi a=1. Substitusi x=0 memberi 0=a−b+c=1−b+1 sehingga b=2. Pemeriksaan: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x², jadi benar. Kekeliruan yang khas adalah salah tanda pada b (b=−2).

Karena x>0 dan 9/x>0, menurut hubungan rata-rata hitung dan rata-rata ukur berlaku x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. Tanda sama dengan tercapai saat x=9/x, yaitu x=3. Nilai 3 adalah kesalahan karena hanya √9 yang dihitung dan lupa dikalikan 2, sedangkan 9 muncul karena tertukar dengan hasil kali x·(9/x).

Menurut hubungan rata-rata hitung dan rata-rata ukur, x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. Tanda sama dengan tercapai saat x=y=2, dan nilai itu memang memenuhi xy=4 sehingga nilai minimumnya 4. Nilai 2 adalah kesalahan karena hanya √4 yang dihitung dan lupa dikalikan 2, sedangkan 8 keliru karena dihitung 2×4.

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. Nilai 27 muncul karena suku −3ab(a+b) terlupakan, 24 karena hanya ab yang dikurangkan sebagai 27−3, dan 30 karena a²+b² keliru dihitung 9+2=11 lalu dipakai (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.

Suku umumnya C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. Suku konstan diperoleh saat 6−2r=0, yaitu r=3, sehingga nilainya C(6,3)=20. Nilai 15 berasal dari C(6,2) dan 6 dari C(6,1) yang salah dipilih. Langkahnya adalah mencari lebih dulu nilai r yang membuat pangkat x menjadi 0.

Jumlahkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner: (3+1)+(2−4)i = 4−2i. Bentuk 4+2i adalah kesalahan pada tanda bagian imajiner, 2−2i kesalahan hitung pada bagian real, dan 4−6i kesalahan karena 2−4 dihitung sebagai −6.

Penjabarannya 6−4i+3i−2i². Karena i²=−1 maka −2i²=+2, sehingga 6−i+2 = 8−i. Bentuk 4−i adalah kesalahan karena keliru menganggap i²=+1, sedangkan 6−i muncul karena suku −2i² terlewat. Penanganan i² itulah yang menentukan benar atau salahnya.

Pangkat i berulang dengan periode 4, yaitu i, −1, −i, 1. Karena 23 = 4×5+3, maka i²³ = i³ = i²·i = −i. Langkahnya adalah menilai dari sisa pembagian (sisa 3 saat 23 dibagi 4).

Kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan penyebutnya, yaitu 3+i. Pembilang = (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i, dan penyebut = 9−i² = 10. Jadi (2+4i)/10 = (1+2i)/5. Bentuk (2+i)/5 adalah kesalahan karena pembilangnya dikalikan 3−i, sedangkan penyebut yang keliru dihitung 9−1=8 menghasilkan (1+2i)/4.

Ubah lebih dulu ke bentuk i: √(−8)=2√2i dan √(−2)=√2i, sehingga hasil kalinya 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. Menghitung √(−8)×√(−2)=√16=4 adalah kesalahan klasik karena terlewat bahwa √a·√b=√(ab) tidak berlaku untuk bilangan negatif.

Dengan rumus kuadrat, x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. Bentuk −2±4i adalah kesalahan karena lupa dibagi 2, sedangkan 1±2i adalah kesalahan tanda. Memakai D/4 = 1−5 = −4 lebih cepat: x = −1±√(−4) = −1±2i.

Syarat akar kembar adalah D=0. Dari D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 diperoleh k=6, −2. Bila penjabaran −4(k+3) tidak menjadi −4k−12 karena salah tanda, muncul jawaban keliru seperti k=−6, 2.

Diskriminannya D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0, sehingga akarnya dua akar imajiner yang berbeda. Pada persamaan berkoefisien real, akar imajiner selalu muncul berpasangan sebagai bentuk sekawan, jadi satu akar real dan satu akar imajiner tidak mungkin terjadi.

Menurut hubungan akar dan koefisien, α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 dan αβ = c/a = 3. Jawaban α+β=−5 adalah kesalahan klasik karena tanda minus pada −b/a terlupakan.

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. Nilai 25 muncul karena suku −2αβ terlupakan, 31 karena keliru dijumlahkan menjadi 25+6, dan 22 karena αβ hanya dikurangkan sekali sebagai 25−3.

Dari hubungan akar dan koefisien, α+β=3 dan αβ=5. Maka α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. Nilai 27 muncul karena suku −3αβ(α+β) terlupakan, 72 karena keliru dijumlahkan menjadi 27+45, dan 12 karena (α+β) lupa dikalikan sehingga menjadi 27−15.

Karena koefisiennya real, bentuk sekawannya 3−2i juga merupakan akar. Jumlah akarnya = 6 = −p sehingga p=−6, dan hasil kali akarnya = 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. Jawaban q=5 muncul karena hasil kalinya keliru dihitung 9−4, sedangkan p=6 adalah kesalahan tanda. Persamaannya adalah x²−6x+13=0.

Menurut teorema sisa, sisanya adalah P(2) = 8−8+6−1 = 5. Nilai −23 berasal dari perhitungan P(−2) karena tandanya salah dibaca. Bila pembaginya x−2, yang disubstitusikan adalah x=2.

Karena x+1 = x−(−1), sisanya adalah P(−1) = −2+1+5+3 = 7. Nilai 1 berasal dari perhitungan P(1)=2+1−5+3. Titik terpentingnya adalah pembacaan tanda: dibagi x+1 berarti substitusi x=−1.

Menurut teorema faktor, bila P(k)=0 maka x−k adalah faktornya. Karena P(2) = 8−12−8+12 = 0, maka x−2 adalah faktor. Adapun P(−3)=−30, P(4)=12, dan P(−1)=12, semuanya bukan 0. Memang P(x)=(x−2)(x+2)(x−3) bila difaktorkan.

Dengan pembagian sintetik, koefisien 1, −4, 1, 6 dikalikan 2 lalu dijumlahkan berturut-turut sehingga diperoleh 1, −2, −3, 0. Jadi hasil baginya x²−2x−3 dengan sisa 0. Bentuk x²−6x+13 adalah hasil bagi bila dibagi x+2 (yaitu memakai −2), yakni jawaban keliru yang timbul dari salah membaca tanda.

Karena P(1)=1−7+6=0, maka x−1 adalah faktornya. Dengan pembagian sintetik diperoleh hasil bagi x²+x−6=(x+3)(x−2). Jadi dari (x−1)(x−2)(x+3)=0 didapat x=1, 2, −3. Pemeriksaan: hasil kali akarnya 1·2·(−3)=−6, cocok dengan negatif dari suku konstannya.

Faktorkan x³−8=0 dengan rumus a³−b³ menjadi (x−2)(x²+2x+4)=0. Penyelesaian x²+2x+4=0 adalah x=−1±√3i. Jadi seluruhnya ada 3, yaitu x=2, −1±√3i. Menjawab hanya x=2 berarti akar imajinernya terlewat, sedangkan 1±√3i adalah kesalahan tanda pada rumus kuadrat.

Menurut teorema faktor, P(1)=1−2+a+b=0 memberi a+b=1, dan P(−2)=−8−8−2a+b=0 memberi −2a+b=16. Selisih keduanya memberi 3a=−15 sehingga a=−5 dan b=6. Bila −2a pada P(−2) keliru ditulis +2a, hasilnya menjadi a=15, b=−14.

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Karena x²−1 masih dapat difaktorkan lagi, berhenti pada (x²−1)(x²+1) berarti belum lengkap. Adapun x²+1 tidak dapat difaktorkan dalam himpunan bilangan real ((x−i)(x+i) adalah pemfaktoran dalam himpunan bilangan kompleks).

Karena ω adalah akar imajiner dari x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0, maka ω memenuhi x²+x+1=0. Jadi dari ω²+ω+1=0 diperoleh ω²+ω=−1. Dua hubungan ω³=1 dan ω²+ω+1=0 adalah alat dasar dalam perhitungan yang melibatkan ω.

Sisa pembagian oleh bentuk kuadrat berderajat paling tinggi satu, jadi dimisalkan ax+b. Dengan teorema sisa pada P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b diperoleh P(1)=a+b=3 dan P(2)=2a+b=5. Dari selisihnya didapat a=2 dan b=1, sehingga sisanya 2x+1. Salah menyusun sistem persamaannya menghasilkan −2x+7.

Karena koefisiennya real, bentuk sekawan 1−i juga merupakan akar. Bila akar sisanya γ, jumlah ketiga akarnya = (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4 sehingga γ=2. Karena (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4, maka a=6 dan b=−4. Lebih cepat bila digunakan bahwa jumlah ketiga akar sama dengan koefisien x² dengan tanda dibalik.