Biểu thức và chứng minh, số phức và phương trình (数学Ⅱ, tức Toán II bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Thay a=x và b=2 vào (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ được x³+6x²+12x+8. Kết quả x³+8 là lỗi quen thuộc do quên hai số hạng giữa là 3a²b và 3ab². Hãy kiểm tra dãy hệ số 1,3,3,1.

Theo a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²), ta có x³−27=(x−3)(x²+3x+9). Số hạng giữa của ngoặc sau là +ab, tức ngược dấu với ngoặc đầu. Biểu thức (x−3)(x²−3x+9) là lỗi đảo dấu, còn (x−3)³ khi khai triển cho x³−9x²+27x−27 nên không khớp.

Số hạng tổng quát là C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. Số hạng chứa x³ ứng với r=2, nên hệ số là C(5,2)·2² = 10×4 = 40. Kết quả 80 là lỗi nhân 2³, 20 là lỗi nhân 2¹, còn 10 là lỗi quên nhân 2².

Số hạng tổng quát là C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. Số hạng chứa x⁴y² ứng với r=2, cho C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. Kết quả −240 là lỗi xử lý sai dấu của (−y)², 60 là lỗi lấy 2⁴ thành 2², còn 480 là lỗi nhân 2⁵.

Tử số bằng (x+3)(x−3) và mẫu số bằng (x+3)(x−2). Rút gọn nhân tử chung x+3 được (x−3)/(x−2). Nguyên tắc bất di bất dịch là phân tích tử và mẫu thành nhân tử trước. Vì x−3 và x−2 là hai nhân tử khác nhau nên không rút gọn thêm được.

Quy đồng mẫu được {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). Kết quả 5/(x²−1) là lỗi không quy đồng tử mà chỉ lấy 2+3, còn (5x+1) là lỗi tính sai dấu.

Vế trái bằng (a+b)x+(a−b). Đồng nhất hệ số được a+b=3 và a−b=5. Cộng lại được 2a=8 nên a=4, rồi b=3−4=−1. Kết quả a=4, b=1 là lỗi lẫn lộn hai phương trình a−b=5 và a+b=3. Nếu dùng cách thay số thì x=1 cho 2a=8 và x=−1 cho −2b=2.

Thay x=1 được c=1. Đồng nhất hệ số của x² được a=1. Thay x=0 được 0=a−b+c=1−b+1 nên b=2. Kiểm tra lại: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x², đúng. Lỗi điển hình là sai dấu của b, tức lấy b=−2.

Vì x>0 và 9/x>0 nên theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. Dấu bằng xảy ra khi x=9/x, tức x=3. Kết quả 3 là lỗi chỉ lấy √9 mà quên nhân 2, còn 9 là lỗi nhầm với tích x·(9/x).

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. Dấu bằng xảy ra khi x=y=2, và khi đó đúng là xy=4, nên giá trị nhỏ nhất bằng 4. Kết quả 2 là lỗi chỉ lấy √4 mà quên nhân 2, còn 8 là lỗi tính 2×4.

Ta có a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. Kết quả 27 là lỗi quên số hạng −3ab(a+b), 24 là lỗi chỉ trừ ab và viết 27−3, còn 30 sinh ra khi tính nhầm a²+b² thành 9+2=11 rồi lấy (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.

Số hạng tổng quát là C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. Số hạng không chứa x ứng với 6−2r=0, tức r=3, cho C(6,3)=20. Kết quả 15 là C(6,2) và 6 là C(6,1), tức chọn sai r. Quy trình đúng là tìm r làm số mũ của x bằng 0 trước.

Cộng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo: (3+1)+(2−4)i = 4−2i. Kết quả 4+2i là lỗi xử lý dấu của phần ảo, 2−2i là lỗi tính phần thực, còn 4−6i là lỗi lấy 2−4 thành −6.

Khai triển được 6−4i+3i−2i². Vì i²=−1 nên −2i²=+2, do đó 6−i+2 = 8−i. Kết quả 4−i là lỗi lấy i²=+1, còn 6−i là lỗi bỏ sót số hạng −2i². Việc xử lý i² quyết định đúng sai.

Các lũy thừa của i lặp lại theo chu kỳ 4 là i, −1, −i, 1. Vì 23 = 4×5+3 nên i²³ = i³ = i²·i = −i. Quy trình là xét số dư khi chia số mũ cho 4, ở đây 23 chia 4 dư 3.

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu là 3+i. Tử số bằng (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i và mẫu số bằng 9−i² = 10, nên kết quả là (2+4i)/10 = (1+2i)/5. Kết quả (2+i)/5 là lỗi nhân với 3−i, còn nếu tính mẫu thành 9−1=8 thì ra (1+2i)/4.

Trước hết chuyển sang đơn vị ảo: √(−8)=2√2i và √(−2)=√2i, nên tích bằng 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. Viết √(−8)×√(−2)=√16=4 là lỗi quen thuộc, do quên rằng với số âm thì không dùng được √a·√b=√(ab).

Dùng công thức nghiệm: x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. Kết quả −2±4i là lỗi quên chia cho 2, còn 1±2i là lỗi sai dấu. Dùng D/4 = 1−5 = −4 thì nhanh hơn: x = −1±√(−4) = −1±2i.

Điều kiện có nghiệm kép là D=0. Ta có D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0, nên k=6, −2. Nếu khai triển −4(k+3) mà sai dấu, không ra −4k−12, thì sẽ dẫn tới các đáp án sai như k=−6, 2.

Biệt thức D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 nên phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt. Với hệ số thực thì nghiệm ảo luôn xuất hiện thành cặp liên hợp, nên trường hợp một nghiệm thực và một nghiệm ảo là không thể xảy ra.

Theo hệ thức Vi-ét, α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 và αβ = c/a = 3. Kết quả α+β=−5 là lỗi quen thuộc do quên dấu trừ trong −b/a.

Ta có α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. Kết quả 25 là lỗi quên −2αβ, 31 là lỗi cộng thành 25+6, còn 22 là lỗi chỉ trừ αβ một lần và viết 25−3.

Theo hệ thức Vi-ét, α+β=3 và αβ=5. Do đó α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. Kết quả 27 là lỗi quên số hạng −3αβ(α+β), 72 là lỗi cộng thành 27+45, còn 12 là lỗi quên nhân (α+β) và viết 27−15.

Vì hệ số là số thực nên số liên hợp 3−2i cũng là nghiệm. Tổng hai nghiệm bằng 6 = −p nên p=−6, tích hai nghiệm bằng 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. Kết quả q=5 là lỗi tính tích thành 9−4, còn p=6 là lỗi sai dấu. Phương trình là x²−6x+13=0.

Theo định lý số dư, số dư bằng P(2) = 8−8+6−1 = 5. Kết quả −23 là do đọc nhầm dấu và tính P(−2). Chia cho x−2 thì phải thay x=2.

Vì x+1 = x−(−1) nên số dư bằng P(−1) = −2+1+5+3 = 7. Kết quả 1 là do tính P(1)=2+1−5+3. Điểm quan trọng nhất là quy tắc đổi dấu: chia cho x+1 thì thay x=−1.

Theo định lý nhân tử, nếu P(k)=0 thì x−k là một nhân tử. Ta có P(2) = 8−12−8+12 = 0 nên x−2 là nhân tử. Trong khi đó P(−3)=−30, P(4)=12 và P(−1)=12 đều khác 0. Thật ra P(x)=(x−2)(x+2)(x−3).

Dùng sơ đồ Horner với dãy hệ số 1, −4, 1, 6, nhân dần với 2 rồi cộng, ta được 1, −2, −3, 0. Vậy thương là x²−2x−3 và số dư bằng 0. Biểu thức x²−6x+13 là thương khi chia cho x+2, tức khi dùng −2, một đáp án sai sinh ra từ việc đọc nhầm dấu.

Vì P(1)=1−7+6=0 nên x−1 là một nhân tử. Dùng sơ đồ Horner được thương x²+x−6=(x+3)(x−2). Do đó (x−1)(x−2)(x+3)=0 và x=1, 2, −3. Kiểm tra: tích ba nghiệm 1·2·(−3)=−6, đúng bằng số hạng tự do đổi dấu.

Phân tích x³−8=0 theo công thức a³−b³ được (x−2)(x²+2x+4)=0. Phương trình x²+2x+4=0 có nghiệm x=−1±√3i, nên tất cả có 3 nghiệm là x=2, −1±√3i. Trả lời chỉ x=2 là bỏ sót các nghiệm ảo, còn 1±√3i là lỗi sai dấu trong công thức nghiệm.

Theo định lý nhân tử, P(1)=1−2+a+b=0 cho a+b=1, và P(−2)=−8−8−2a+b=0 cho −2a+b=16. Trừ hai phương trình được 3a=−15, nên a=−5 và b=6. Nếu trong P(−2) lấy nhầm −2a thành +2a thì sẽ ra a=15, b=−14.

Ta có x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Vì x²−1 còn phân tích được nên dừng ở (x²−1)(x²+1) là chưa đủ. Trên tập số thực thì x²+1 không phân tích được, còn (x−i)(x+i) là phân tích trên tập số phức.

Vì ω là nghiệm ảo của x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 nên ω thỏa mãn x²+x+1=0. Từ ω²+ω+1=0 suy ra ω²+ω=−1. Hai hệ thức ω³=1 và ω²+ω+1=0 là công cụ cơ bản khi tính toán với ω.

Chia cho đa thức bậc hai thì số dư có bậc không quá 1, nên đặt số dư là ax+b. Áp dụng định lý số dư cho P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b, ta có P(1)=a+b=3 và P(2)=2a+b=5. Trừ hai phương trình được a=2, b=1, nên số dư là 2x+1. Giải nhầm hệ này sẽ ra −2x+7.

Vì hệ số là số thực nên số liên hợp 1−i cũng là nghiệm. Gọi γ là nghiệm còn lại thì tổng ba nghiệm bằng (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4, nên γ=2. Khai triển (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 cho a=6 và b=−4. Dùng tính chất tổng ba nghiệm bằng hệ số của x² đổi dấu sẽ nhanh hơn.