식과 증명, 복소수와 방정식 (수학Ⅱ: 일본 고교 수학 II)

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ 에 a=x, b=2 를 대입하여 x³+6x²+12x+8 이 된다. x³+8 은 가운데 두 항(3a²b 와 3ab²)을 빠뜨리는 흔한 실수이다. 계수의 배열 1,3,3,1 을 확인한다.

a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) 에 의해 x³−27=(x−3)(x²+3x+9) 이다. 뒤 괄호의 가운데는 +ab(앞 괄호와 반대 부호)이다. (x−3)(x²−3x+9) 는 부호를 반대로 한 실수이고, (x−3)³ 은 전개하면 x³−9x²+27x−27 로 일치하지 않는다.

일반항은 C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ 이다. x³ 이 되는 것은 r=2 일 때이고, 계수는 C(5,2)·2² = 10×4 = 40 이다. 80 은 2³ 을 곱한 실수, 20 은 2¹ 을 곱한 실수, 10 은 2² 을 곱하지 않은 실수이다.

일반항은 C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ 이다. x⁴y² 은 r=2 이고 C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240 이다. −240 은 (−y)² 의 부호 처리를 틀린 실수, 60 은 2⁴ 을 2² 으로 한 실수, 480 은 2⁵ 을 곱한 실수이다.

분자 = (x+3)(x−3), 분모 = (x+3)(x−2) 이다. 공통인수 x+3 으로 약분하여 (x−3)/(x−2) 가 된다. 먼저 분모와 분자를 인수분해하는 것이 철칙이다. x−3 과 x−2 는 다른 인수이므로 더 이상 약분할 수 없다.

통분하면 {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1) 이다. 5/(x²−1) 은 분자를 통분하지 않고 2+3 으로 한 실수이고, (5x+1) 은 부호 계산 실수이다.

좌변 = (a+b)x+(a−b) 이다. 계수를 비교하면 a+b=3, a−b=5 이다. 더하면 2a=8 이므로 a=4, b=3−4=−1 이다. a=4, b=1 은 a−b=5 와 a+b=3 을 뒤바꾸어 푼 실수이다. 수치대입법이라면 x=1 에서 2a=8, x=−1 에서 −2b=2 로도 구할 수 있다.

x=1 을 대입하면 c=1 이다. x² 의 계수를 비교하면 a=1 이다. x=0 을 대입하면 0=a−b+c=1−b+1 이므로 b=2 이다. 검산: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x² 로 성립한다. b 의 부호 실수(b=−2)가 전형적인 오답이다.

x>0, 9/x>0 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6 이다. 등호는 x=9/x 즉 x=3 일 때 성립한다. 3 은 √9 만 구하고 2 를 곱하지 않은 실수이고, 9 는 곱 x·(9/x) 와 혼동한 실수이다.

산술평균과 기하평균의 관계에 의해 x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4 이다. 등호는 x=y=2 일 때 성립하고 이때 확실히 xy=4 를 만족하므로 최솟값은 4 이다. 2 는 √4 만 구하고 2 를 곱하지 않은 실수이고, 8 은 2×4 로 한 오답이다.

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18 이다. 27 은 −3ab(a+b) 를 잊은 실수, 24 는 27−3 처럼 ab 만 뺀 실수, 30 은 a²+b² 을 9+2=11 로 잘못 보아 (a+b)(a²−ab+b²)=3×10 으로 한 실수이다.

일반항은 C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ 이다. 상수항은 6−2r=0 즉 r=3 일 때이고 C(6,3)=20 이다. 15 는 C(6,2), 6 은 C(6,1) 을 고른 실수이다. x 의 지수가 0 이 되는 r 을 먼저 구하는 것이 순서이다.

실수부끼리, 허수부끼리 더하여 (3+1)+(2−4)i = 4−2i 이다. 4+2i 는 허수부의 부호 처리 실수, 2−2i 는 실수부의 계산 실수, 4−6i 는 2−4 를 −6 으로 한 오답이다.

전개하면 6−4i+3i−2i² 이다. i²=−1 이므로 −2i²=+2 가 되어 6−i+2 = 8−i 이다. 4−i 는 i²=+1 로 잘못 본 실수, 6−i 는 −2i² 항을 빠뜨린 실수이다. i² 의 처리가 정답을 가른다.

i 의 거듭제곱은 i, −1, −i, 1 의 주기 4 로 반복된다. 23 = 4×5+3 이므로 i²³ = i³ = i²·i = −i 이다. 나머지(23 을 4 로 나눈 나머지 3)로 판단하는 것이 순서이다.

분모의 켤레인 3+i 를 분모와 분자에 곱한다. 분자 = (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i, 분모 = 9−i² = 10 이다. 따라서 (2+4i)/10 = (1+2i)/5 이다. (2+i)/5 는 분자에 3−i 를 곱한 실수이고, 분모를 9−1=8 로 하면 (1+2i)/4 가 된다.

먼저 i 로 고친다. √(−8)=2√2i, √(−2)=√2i 이므로 곱은 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4 이다. √(−8)×√(−2)=√16=4 로 하는 것은 음수에서는 √a·√b=√(ab) 를 쓸 수 없다는 점을 놓친 흔한 실수이다.

근의 공식으로 x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i 이다. −2±4i 는 2 로 나누는 것을 잊은 실수, 1±2i 는 부호 실수이다. D/4 = 1−5 = −4 를 쓰면 x = −1±√(−4) = −1±2i 로 빠르다.

중근의 조건은 D=0 이다. D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 에서 k=6, −2 이다. −4(k+3) 을 전개할 때 −4k−12 로 하지 않고 부호를 틀리면 k=−6, 2 같은 오답이 된다.

판별식 D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 이므로 서로 다른 두 허근이다. 실수 계수에서는 허근이 반드시 켤레 쌍으로 나타나므로 '실근 1 개와 허근 1 개'는 있을 수 없다.

근과 계수의 관계에 의해 α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5, αβ = c/a = 3 이다. α+β=−5 는 −b/a 의 마이너스를 붙이는 것을 잊은 흔한 실수이다.

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19 이다. 25 는 −2αβ 를 잊은 실수, 31 은 25+6 으로 더한 실수, 22 는 25−3 처럼 αβ 를 한 번만 뺀 실수이다.

근과 계수의 관계로 α+β=3, αβ=5 이다. α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18 이다. 27 은 −3αβ(α+β) 를 잊은 실수, 72 는 27+45 로 더한 실수, 12 는 27−15 처럼 (α+β) 를 곱하지 않은 실수이다.

실수 계수이므로 켤레인 3−2i 도 근이다. 근의 합 = 6 = −p 에서 p=−6 이고, 근의 곱 = 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q 이다. q=5 는 곱을 9−4 로 잘못 본 실수, p=6 은 부호 실수이다. 방정식은 x²−6x+13=0 이다.

나머지정리에 의해 나머지는 P(2) = 8−8+6−1 = 5 이다. −23 은 P(−2) 를 계산한, 부호를 잘못 읽은 결과이다. x−2 로 나눈다면 x=2 를 대입한다.

x+1 = x−(−1) 이므로 나머지는 P(−1) = −2+1+5+3 = 7 이다. 1 은 P(1)=2+1−5+3 을 계산한 실수이다. 'x+1 로 나눈다 → x=−1 을 대입한다'는 부호의 바꿔 읽기가 가장 중요한 요점이다.

인수정리에 의해 P(k)=0 이면 x−k 가 인수이다. P(2) = 8−12−8+12 = 0 이므로 x−2 는 인수이다. P(−3)=−30, P(4)=12, P(−1)=12 로 모두 0 이 아니다. 실제로 P(x)=(x−2)(x+2)(x−3) 으로 분해된다.

조립제법으로 계수 1, −4, 1, 6 에 2 를 곱해 더해 가면 1, −2, −3, 0 이 된다. 몫은 x²−2x−3, 나머지는 0 이다. x²−6x+13 은 x+2 로 나누었을 때(−2 를 썼을 때)의 몫이며, 부호를 잘못 읽어 생기는 오답이다.

P(1)=1−7+6=0 이므로 x−1 이 인수이다. 조립제법으로 몫은 x²+x−6=(x+3)(x−2) 이다. 따라서 (x−1)(x−2)(x+3)=0 에서 x=1, 2, −3 이다. 검산: 세 근의 곱 1·2·(−3)=−6 은 −(상수항)과 일치한다.

x³−8=0 을 a³−b³ 의 공식으로 (x−2)(x²+2x+4)=0 으로 분해한다. x²+2x+4=0 의 해는 x=−1±√3i 이다. 따라서 x=2, −1±√3i 의 3 개이다. x=2 뿐이라고 하는 것은 허근을 빠뜨린 실수이고, 1±√3i 는 근의 공식의 부호 실수이다.

인수정리에 의해 P(1)=1−2+a+b=0 에서 a+b=1, P(−2)=−8−8−2a+b=0 에서 −2a+b=16 이다. 차를 구하면 3a=−15 이므로 a=−5, b=6 이다. P(−2) 의 −2a 를 +2a 로 잘못 보면 a=15, b=−14 가 된다.

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1) 이다. x²−1 은 더 분해할 수 있으므로 (x²−1)(x²+1) 에서 멈추면 불완전하다. x²+1 은 실수의 범위에서는 분해할 수 없다((x−i)(x+i) 는 복소수 범위의 분해이다).

ω 는 x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 의 허근이므로 x²+x+1=0 을 만족한다. 따라서 ω²+ω+1=0 에서 ω²+ω=−1 이다. ω³=1 과 ω²+ω+1=0 이라는 두 관계식이 ω 계산의 기본 도구이다.

이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하이므로 ax+b 로 놓는다. P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b 에 나머지정리를 쓰면 P(1)=a+b=3, P(2)=2a+b=5 이다. 차에서 a=2, b=1 이므로 나머지는 2x+1 이다. 연립을 뒤바꾸면 −2x+7 이 된다.

실수 계수이므로 켤레인 1−i 도 근이다. 나머지 근을 γ 라 하면 세 근의 합 = (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4 이므로 γ=2 이다. (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 로 전개되므로 a=6, b=−4 이다. 세 근의 합이 x² 의 계수의 부호를 뒤집은 값과 같다는 것을 쓰면 빠르다.