นิพจน์และการพิสูจน์ จำนวนเชิงซ้อนและสมการ

แทน a=x และ b=2 ในสูตร (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ จะได้ x³+6x²+12x+8 ข้อ x³+8 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมสองพจน์กลางคือ 3a²b กับ 3ab² ให้ตรวจลำดับของสัมประสิทธิ์ว่าเป็น 1,3,3,1

จาก a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) จะได้ x³−27=(x−3)(x²+3x+9) พจน์กลางในวงเล็บหลังคือ +ab ซึ่งมีเครื่องหมายตรงข้ามกับในวงเล็บแรก ข้อ (x−3)(x²−3x+9) เกิดจากใส่เครื่องหมายกลับกัน ส่วน (x−3)³ เมื่อกระจายจะได้ x³−9x²+27x−27 ซึ่งไม่ตรงกัน

พจน์ทั่วไปคือ C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ พจน์ที่เป็น x³ เกิดเมื่อ r=2 สัมประสิทธิ์จึงเป็น C(5,2)·2² = 10×4 = 40 ข้อ 80 เกิดจากคูณด้วย 2³ ข้อ 20 เกิดจากคูณด้วย 2¹ และ 10 เกิดจากลืมคูณด้วย 2²

พจน์ทั่วไปคือ C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ พจน์ x⁴y² เกิดเมื่อ r=2 จึงได้ C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240 ข้อ −240 เกิดจากจัดการเครื่องหมายของ (−y)² ผิด ข้อ 60 เกิดจากคิด 2⁴ เป็น 2² และ 480 เกิดจากคูณด้วย 2⁵

ตัวเศษเท่ากับ (x+3)(x−3) และตัวส่วนเท่ากับ (x+3)(x−2) ตัดตัวประกอบร่วม x+3 ออกได้ (x−3)/(x−2) หลักสำคัญคือแยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วนก่อน เนื่องจาก x−3 กับ x−2 เป็นคนละตัวประกอบ จึงตัดทอนต่อไปไม่ได้อีก

ทำตัวส่วนให้เท่ากันได้ {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1) ข้อ 5/(x²−1) เกิดจากไม่ทำตัวเศษให้ถูกต้องแล้วคิดเพียง 2+3 ส่วน (5x+1) เกิดจากคำนวณเครื่องหมายผิด

ข้างซ้ายเท่ากับ (a+b)x+(a−b) เทียบสัมประสิทธิ์ได้ a+b=3 และ a−b=5 บวกกันได้ 2a=8 นั่นคือ a=4 และ b=3−4=−1 ข้อ a=4, b=1 เกิดจากสลับ a−b=5 กับ a+b=3 แล้วแก้ผิด ถ้าใช้วิธีแทนค่าตัวเลข จะได้ 2a=8 เมื่อ x=1 และ −2b=2 เมื่อ x=−1 ซึ่งหาคำตอบได้เช่นกัน

แทน x=1 ได้ c=1 เทียบสัมประสิทธิ์ของ x² ได้ a=1 แทน x=0 ได้ 0=a−b+c=1−b+1 จึงได้ b=2 ตรวจคำตอบได้ว่า (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x² ซึ่งเป็นจริง ความผิดพลาดแบบฉบับคือใส่เครื่องหมายของ b ผิดเป็น b=−2

เนื่องจาก x>0 และ 9/x>0 จากความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะได้ x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6 เครื่องหมายเท่ากับเกิดขึ้นเมื่อ x=9/x นั่นคือ x=3 ข้อ 3 เกิดจากคิดเพียง √9 แล้วลืมคูณด้วย 2 และ 9 เกิดจากสับสนกับผลคูณ x·(9/x)

จากความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะได้ x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4 เครื่องหมายเท่ากับเกิดขึ้นเมื่อ x=y=2 ซึ่งสอดคล้องกับ xy=4 จริง ค่าต่ำสุดจึงเป็น 4 ข้อ 2 เกิดจากคิดเพียง √4 แล้วลืมคูณด้วย 2 และ 8 เกิดจากคิดผิดเป็น 2×4

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18 ข้อ 27 เกิดจากลืมพจน์ −3ab(a+b) ข้อ 24 เกิดจากลบเพียง ab แล้วคิดเป็น 27−3 และ 30 เกิดจากคิด a²+b² ผิดเป็น 9+2=11 แล้วใช้ (a+b)(a²−ab+b²)=3×10

พจน์ทั่วไปคือ C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ พจน์คงตัวเกิดเมื่อ 6−2r=0 นั่นคือ r=3 จึงได้ C(6,3)=20 ข้อ 15 คือ C(6,2) และ 6 คือ C(6,1) ซึ่งเลือกผิด ขั้นตอนที่ถูกคือหาค่า r ที่ทำให้เลขชี้กำลังของ x เป็น 0 ก่อน

บวกส่วนจริงกับส่วนจริงและส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพได้ (3+1)+(2−4)i = 4−2i ข้อ 4+2i เกิดจากจัดการเครื่องหมายของส่วนจินตภาพผิด ข้อ 2−2i เกิดจากคำนวณส่วนจริงผิด และ 4−6i เกิดจากคิด 2−4 เป็น −6

กระจายได้ 6−4i+3i−2i² เนื่องจาก i²=−1 จึงมี −2i²=+2 ทำให้ได้ 6−i+2 = 8−i ข้อ 4−i เกิดจากคิดผิดว่า i²=+1 และ 6−i เกิดจากทำพจน์ −2i² ตกหล่น การจัดการ i² คือจุดชี้ขาดถูกผิด

กำลังของ i วนซ้ำเป็นคาบ 4 คือ i, −1, −i, 1 เนื่องจาก 23 = 4×5+3 จึงได้ i²³ = i³ = i²·i = −i ขั้นตอนคือดูเศษจากการหาร 23 ด้วย 4 ซึ่งเท่ากับ 3

คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วนคือ 3+i ตัวเศษได้ (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i และตัวส่วนได้ 9−i² = 10 จึงได้ (2+4i)/10 = (1+2i)/5 ข้อ (2+i)/5 เกิดจากคูณตัวเศษด้วย 3−i และถ้าคิดตัวส่วนผิดเป็น 9−1=8 จะได้ (1+2i)/4

ต้องเปลี่ยนให้อยู่ในรูปที่มี i ก่อน โดย √(−8)=2√2i และ √(−2)=√2i ผลคูณจึงเป็น 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4 การคิดว่า √(−8)×√(−2)=√16=4 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่มองข้ามว่าสำหรับจำนวนลบใช้ √a·√b=√(ab) ไม่ได้

ใช้สูตรกำลังสองได้ x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i ข้อ −2±4i เกิดจากลืมหารด้วย 2 และ 1±2i เกิดจากเครื่องหมายผิด ถ้าใช้ D/4 = 1−5 = −4 จะได้ x = −1±√(−4) = −1±2i ซึ่งเร็วกว่า

เงื่อนไขของการมีรากซ้ำคือ D=0 จาก D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 ได้ k=6, −2 ถ้ากระจาย −4(k+3) แล้วใส่เครื่องหมายผิด แทนที่จะได้ −4k−12 ก็จะได้คำตอบผิดอย่าง k=−6, 2

ดิสคริมิแนนต์คือ D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 จึงมีคำตอบที่เป็นจำนวนจินตภาพสองค่าที่ต่างกัน เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง คำตอบที่เป็นจำนวนจินตภาพจะปรากฏเป็นคู่สังยุคเสมอ กรณีที่มีคำตอบจำนวนจริงหนึ่งค่ากับจำนวนจินตภาพหนึ่งค่าจึงเป็นไปไม่ได้

จากความสัมพันธ์ระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์ α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 และ αβ = c/a = 3 ข้อ α+β=−5 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมใส่เครื่องหมายลบใน −b/a

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19 ข้อ 25 เกิดจากลืมพจน์ −2αβ ข้อ 31 เกิดจากบวกเป็น 25+6 และ 22 เกิดจากลบ αβ เพียงครั้งเดียวเป็น 25−3

จากความสัมพันธ์ระหว่างรากกับสัมประสิทธิ์ได้ α+β=3 และ αβ=5 ดังนั้น α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18 ข้อ 27 เกิดจากลืมพจน์ −3αβ(α+β) ข้อ 72 เกิดจากบวกเป็น 27+45 และ 12 เกิดจากลืมคูณด้วย (α+β) แล้วคิดเป็น 27−15

เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง สังยุคคือ 3−2i จึงเป็นคำตอบด้วย ผลบวกของคำตอบเท่ากับ 6 = −p จึงได้ p=−6 และผลคูณของคำตอบเท่ากับ 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q ข้อ q=5 เกิดจากคิดผลคูณผิดเป็น 9−4 และ p=6 เกิดจากเครื่องหมายผิด สมการคือ x²−6x+13=0

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เศษเหลือคือ P(2) = 8−8+6−1 = 5 ข้อ −23 เกิดจากอ่านเครื่องหมายผิดแล้วคำนวณ P(−2) ถ้าหารด้วย x−2 ต้องแทน x=2

เนื่องจาก x+1 = x−(−1) เศษเหลือจึงเป็น P(−1) = −2+1+5+3 = 7 ข้อ 1 เกิดจากคำนวณ P(1)=2+1−5+3 จุดสำคัญที่สุดคือการอ่านเครื่องหมายให้ถูกว่า หารด้วย x+1 ต้องแทน x=−1

จากทฤษฎีบทตัวประกอบ ถ้า P(k)=0 แล้ว x−k เป็นตัวประกอบ เนื่องจาก P(2) = 8−12−8+12 = 0 ดังนั้น x−2 จึงเป็นตัวประกอบ ส่วน P(−3)=−30, P(4)=12 และ P(−1)=12 ล้วนไม่เท่ากับ 0 ที่จริงแล้วแยกได้เป็น P(x)=(x−2)(x+2)(x−3)

ใช้การหารสังเคราะห์กับสัมประสิทธิ์ 1, −4, 1, 6 โดยคูณด้วย 2 แล้วบวกไปเรื่อย ๆ จะได้ 1, −2, −3, 0 ผลหารจึงเป็น x²−2x−3 และเศษเหลือเป็น 0 ข้อ x²−6x+13 คือผลหารเมื่อหารด้วย x+2 ซึ่งใช้ −2 อันเกิดจากอ่านเครื่องหมายผิด

P(1)=1−7+6=0 จึงมี x−1 เป็นตัวประกอบ ใช้การหารสังเคราะห์ได้ผลหาร x²+x−6=(x+3)(x−2) ดังนั้นจาก (x−1)(x−2)(x+3)=0 ได้ x=1, 2, −3 ตรวจคำตอบได้จากผลคูณของคำตอบคือ 1·2·(−3)=−6 ซึ่งตรงกับค่าลบของพจน์คงตัว

แยก x³−8=0 ด้วยสูตร a³−b³ ได้ (x−2)(x²+2x+4)=0 คำตอบของ x²+2x+4=0 คือ x=−1±√3i จึงได้คำตอบทั้งหมด 3 ค่าคือ x=2, −1±√3i ข้อที่ตอบว่ามีเพียง x=2 เกิดจากทำคำตอบจินตภาพตกหล่น และ 1±√3i เกิดจากใส่เครื่องหมายในสูตรกำลังสองผิด

จากทฤษฎีบทตัวประกอบ P(1)=1−2+a+b=0 ได้ a+b=1 และ P(−2)=−8−8−2a+b=0 ได้ −2a+b=16 นำมาลบกันได้ 3a=−15 จึงได้ a=−5 และ b=6 ถ้าคิด −2a ใน P(−2) ผิดเป็น +2a จะได้ a=15, b=−14

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1) เนื่องจาก x²−1 ยังแยกต่อได้ การหยุดที่ (x²−1)(x²+1) จึงยังไม่สมบูรณ์ ส่วน x²+1 แยกไม่ได้ในระบบจำนวนจริง เพราะ (x−i)(x+i) เป็นการแยกในระบบจำนวนเชิงซ้อน

ค่า ω เป็นคำตอบจินตภาพของ x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 จึงสอดคล้องกับ x²+x+1=0 ดังนั้นจาก ω²+ω+1=0 ได้ ω²+ω=−1 ความสัมพันธ์สองข้อคือ ω³=1 กับ ω²+ω+1=0 เป็นเครื่องมือพื้นฐานในการคำนวณเกี่ยวกับ ω

เศษเหลือจากการหารด้วยนิพจน์กำลังสองมีดีกรีไม่เกินหนึ่ง จึงตั้งเป็น ax+b เมื่อใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือกับ P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b จะได้ P(1)=a+b=3 และ P(2)=2a+b=5 นำมาลบกันได้ a=2 และ b=1 เศษเหลือจึงเป็น 2x+1 ถ้าแก้ระบบสมการสลับกันจะได้ −2x+7

เนื่องจากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง สังยุคคือ 1−i จึงเป็นคำตอบด้วย ให้คำตอบที่เหลือเป็น γ ผลบวกของคำตอบทั้งสามคือ (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4 จึงได้ γ=2 เมื่อกระจาย (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 จึงได้ a=6 และ b=−4 การใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลบวกของคำตอบทั้งสามเท่ากับค่าลบของสัมประสิทธิ์ของ x² ทำให้ทำได้เร็ว