Liceu · Matematică de liceu: laboratorul testelor periodice
Puteți citi întrebările și explicațiile în Română. Lecțiile (articolele explicative) sunt disponibile doar în japoneză.
Vedeți versiunea în japoneză (cu lecții) →
Care este rezultatul dezvoltării lui (x+2)³?
Înlocuind a=x și b=2 în (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ obținem x³+6x²+12x+8. Varianta x³+8 este greșeala clasică de a uita cei doi termeni din mijloc, 3a²b și 3ab². Este util să se verifice succesiunea coeficienților 1,3,3,1.
Care este rezultatul descompunerii în factori a lui x³−27?
Din a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) rezultă x³−27=(x−3)(x²+3x+9). Termenul din mijlocul celei de-a doua paranteze este +ab, adică are semn opus față de prima paranteză. Varianta (x−3)(x²−3x+9) provine din schimbarea acestui semn, iar (x−3)³ dezvoltat dă x³−9x²+27x−27, care nu coincide.
Folosind binomul lui Newton, care este coeficientul lui x³ în dezvoltarea lui (x+2)⁵?
Termenul general este C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. Puterea x³ apare pentru r=2, iar coeficientul este C(5,2)·2² = 10×4 = 40. Valoarea 80 apare când se înmulțește cu 2³, 20 când se înmulțește cu 2¹, iar 10 când se uită înmulțirea cu 2².
Care este coeficientul lui x⁴y² în dezvoltarea lui (2x−y)⁶?
Termenul general este C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. Monomul x⁴y² apare pentru r=2, iar coeficientul este C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. Valoarea −240 provine dintr-o greșeală la semnul lui (−y)², 60 din luarea lui 2⁴ drept 2², iar 480 din înmulțirea cu 2⁵.
Care este rezultatul simplificării fracției algebrice (x²−9)/(x²+x−6)?
Numărătorul este (x+3)(x−3), iar numitorul (x+3)(x−2). Simplificând factorul comun x+3 rezultă (x−3)/(x−2). Regula de aur este să se descompună mai întâi în factori numărătorul și numitorul. Factorii x−3 și x−2 sunt diferiți, deci fracția nu mai poate fi simplificată.
Care este rezultatul calculului 2/(x−1) + 3/(x+1)?
Aducând la același numitor obținem {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). Varianta 5/(x²−1) apare când numărătorul nu este adus la același numitor și se calculează doar 2+3, iar (5x+1) provine dintr-o greșeală de semn.
Dacă a(x+1)+b(x−1) = 3x+5 este o identitate în x, care sunt valorile lui a și b?
Membrul stâng este (a+b)x+(a−b). Identificând coeficienții obținem a+b=3 și a−b=5. Adunându-le, 2a=8, deci a=4 și b=3−4=−1. Varianta a=4, b=1 apare când relațiile a−b=5 și a+b=3 sunt confundate între ele. Prin metoda valorilor particulare se poate lua x=1, de unde 2a=8, și x=−1, de unde −2b=2.
Dacă x² = a(x−1)²+b(x−1)+c este o identitate în x, care sunt valorile lui a, b și c?
Înlocuind x=1 obținem c=1, iar identificarea coeficientului lui x² dă a=1. Înlocuind x=0 obținem 0=a−b+c=1−b+1, deci b=2. Verificare: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x², deci identitatea se verifică. Greșeala tipică este semnul lui b, adică b=−2.
Pentru x>0, care este valoarea minimă a expresiei x + 9/x?
Cum x>0 și 9/x>0, din inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică rezultă x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. Egalitatea are loc pentru x=9/x, adică x=3. Valoarea 3 apare când se calculează doar √9 și se uită înmulțirea cu 2, iar 9 provine din confuzia cu produsul x·(9/x).
Dacă x>0, y>0 și xy=4, care este valoarea minimă a sumei x+y?
Din inegalitatea dintre media aritmetică și cea geometrică, x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. Egalitatea are loc pentru x=y=2, iar atunci condiția xy=4 este într-adevăr îndeplinită, deci valoarea minimă este 4. Valoarea 2 apare când se calculează doar √4 și se uită înmulțirea cu 2, iar 8 din calculul greșit 2×4.
Dacă a+b=3 și ab=1, care este valoarea lui a³+b³?
Avem a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. Valoarea 27 apare când se uită termenul −3ab(a+b), 24 când se scade doar ab, calculând 27−3, iar 30 când a²+b² este luat greșit ca 9+2=11 și se calculează (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.
Folosind binomul lui Newton, care este termenul liber din dezvoltarea lui (x + 1/x)⁶?
Termenul general este C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. Termenul liber apare pentru 6−2r=0, adică r=3, iar C(6,3)=20. Valoarea 15 este C(6,2), iar 6 este C(6,1). Procedeul corect este să se afle mai întâi valoarea lui r pentru care exponentul lui x devine 0.
Care este rezultatul calculului (3+2i)+(1−4i)?
Se adună separat părțile reale și părțile imaginare: (3+1)+(2−4)i = 4−2i. Varianta 4+2i provine dintr-o greșeală de semn la partea imaginară, 2−2i dintr-o greșeală la partea reală, iar 4−6i din calculul greșit al lui 2−4 ca −6.
Care este rezultatul calculului (2+i)(3−2i)?
Dezvoltând obținem 6−4i+3i−2i². Cum i²=−1, avem −2i²=+2, deci 6−i+2 = 8−i. Varianta 4−i apare când se ia greșit i²=+1, iar 6−i când termenul −2i² este pierdut. Tratarea corectă a lui i² decide rezultatul.
Care este valoarea lui i²³, unde i este unitatea imaginară?
Puterile lui i se repetă cu perioada 4: i, −1, −i, 1. Cum 23 = 4×5+3, avem i²³ = i³ = i²·i = −i. Procedeul este să se decidă după rest, aici restul împărțirii lui 23 la 4, adică 3.
Care este rezultatul calculului (1+i)/(3−i)?
Se înmulțesc numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului, 3+i. Numărătorul devine (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i, iar numitorul 9−i² = 10, deci (2+4i)/10 = (1+2i)/5. Varianta (2+i)/5 apare când numărătorul este înmulțit cu 3−i, iar dacă numitorul este calculat greșit ca 9−1=8 se obține (1+2i)/4.
Care este rezultatul calculului √(−8) × √(−2)?
Se trece mai întâi la forma cu i: √(−8)=2√2i și √(−2)=√2i, deci produsul este 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. A scrie √(−8)×√(−2)=√16=4 este greșeala clasică, care ignoră faptul că regula √a·√b=√(ab) nu se aplică la numere negative.
Care sunt soluțiile ecuației de gradul al doilea x²+2x+5=0?
Cu formula de rezolvare, x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. Varianta −2±4i apare când se uită împărțirea la 2, iar 1±2i provine dintr-o greșeală de semn. Folosind D/4 = 1−5 = −4 se ajunge mai repede: x = −1±√(−4) = −1±2i.
Pentru ce valori ale constantei k ecuația de gradul al doilea x²+kx+k+3=0 are soluție dublă?
Condiția pentru soluție dublă este D=0. Din D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0 rezultă k=6, −2. Dacă la desfacerea lui −4(k+3) semnele sunt greșite și nu se obține −4k−12, se ajunge la răspunsuri false precum k=−6, 2.
Care este natura soluțiilor ecuației de gradul al doilea 3x²−5x+4=0?
Discriminantul este D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0, deci ecuația are două soluții imaginare distincte. La coeficienți reali, soluțiile imaginare apar întotdeauna în perechi de numere conjugate, deci situația cu o soluție reală și una imaginară este imposibilă.
Dacă α și β sunt cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea x²−5x+3=0, care sunt valorile lui α+β și αβ?
Din relațiile lui Viète, α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 și αβ = c/a = 3. Varianta α+β=−5 este greșeala clasică de a uita semnul minus din −b/a.
Dacă α+β=5 și αβ=3, care este valoarea lui α²+β²?
Avem α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. Valoarea 25 apare când se uită termenul −2αβ, 31 când se adună, calculând 25+6, iar 22 când αβ este scăzut o singură dată, calculând 25−3.
Dacă α și β sunt cele două soluții ale ecuației de gradul al doilea x²−3x+5=0, care este valoarea lui α³+β³?
Din relațiile lui Viète, α+β=3 și αβ=5. Atunci α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. Valoarea 27 apare când se uită termenul −3αβ(α+β), 72 când se adună, calculând 27+45, iar 12 când se uită înmulțirea cu (α+β) și se calculează 27−15.
Dacă una dintre soluțiile ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali x²+px+q=0 este 3+2i, care sunt valorile lui p și q?
Coeficienții fiind reali, și conjugatul 3−2i este soluție. Suma soluțiilor este 6 = −p, deci p=−6, iar produsul este 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. Varianta q=5 apare când produsul este calculat greșit ca 9−4, iar p=6 dintr-o greșeală de semn. Ecuația este x²−6x+13=0.
Care este restul împărțirii polinomului P(x)=x³−2x²+3x−1 la x−2?
Din teorema restului, restul este P(2) = 8−8+6−1 = 5. Valoarea −23 provine din calculul lui P(−2), adică dintr-o citire greșită a semnului. La împărțirea cu x−2 se înlocuiește x=2.
Care este restul împărțirii polinomului P(x)=2x³+x²−5x+3 la x+1?
Cum x+1 = x−(−1), restul este P(−1) = −2+1+5+3 = 7. Valoarea 1 provine din calculul lui P(1)=2+1−5+3. Punctul cel mai important este citirea corectă a semnului: împărțirea la x+1 înseamnă înlocuirea x=−1.
Care dintre expresii este un factor al polinomului P(x)=x³−3x²−4x+12?
Din teorema factorului, dacă P(k)=0, atunci x−k este factor. Avem P(2) = 8−12−8+12 = 0, deci x−2 este factor. În schimb P(−3)=−30, P(4)=12 și P(−1)=12, niciunul nefiind 0. Într-adevăr, P(x)=(x−2)(x+2)(x−3).
Care este câtul împărțirii lui x³−4x²+x+6 la x−2, restul fiind 0?
Prin schema lui Horner, înmulțind cu 2 și adunând succesiv coeficienții 1, −4, 1, 6, se obține 1, −2, −3, 0. Câtul este x²−2x−3, iar restul 0. Expresia x²−6x+13 este câtul împărțirii la x+2, adică cel obținut folosind −2, și apare dintr-o citire greșită a semnului.
Care sunt soluțiile ecuației de gradul al treilea x³−7x+6=0?
Din P(1)=1−7+6=0 rezultă că x−1 este factor. Prin schema lui Horner câtul este x²+x−6=(x+3)(x−2), deci din (x−1)(x−2)(x+3)=0 rezultă x=1, 2, −3. Verificare: produsul soluțiilor, 1·2·(−3)=−6, coincide cu termenul liber luat cu semn schimbat.
Care sunt soluțiile ecuației x³=8 în mulțimea numerelor complexe?
Scriem x³−8=0 și descompunem cu formula pentru a³−b³: (x−2)(x²+2x+4)=0. Soluțiile ecuației x²+2x+4=0 sunt x=−1±√3i, deci în total avem 3 soluții: x=2, −1±√3i. Răspunsul cu o singură soluție pierde soluțiile imaginare, iar 1±√3i provine dintr-o greșeală de semn în formula de rezolvare.
Dacă polinomul x³−2x²+ax+b se împarte exact atât la x−1, cât și la x+2, care sunt valorile lui a și b?
Din teorema factorului, P(1)=1−2+a+b=0 dă a+b=1, iar P(−2)=−8−8−2a+b=0 dă −2a+b=16. Scăzând relațiile obținem 3a=−15, deci a=−5 și b=6. Dacă în P(−2) termenul −2a este luat greșit ca +2a, se ajunge la a=15, b=−14.
Care este rezultatul descompunerii în factori a lui x⁴−1 în mulțimea numerelor reale?
Avem x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Cum x²−1 se mai poate descompune, oprirea la (x²−1)(x²+1) este incompletă. Expresia x²+1 nu se poate descompune în mulțimea numerelor reale, iar (x−i)(x+i) este descompunerea din mulțimea numerelor complexe.
Dacă ω este una dintre soluțiile imaginare ale ecuației x³=1, care este valoarea lui ω²+ω?
Numărul ω este soluție imaginară a ecuației x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0, deci verifică x²+x+1=0. Din ω²+ω+1=0 rezultă ω²+ω=−1. Cele două relații ω³=1 și ω²+ω+1=0 sunt instrumentele de bază în calculele cu ω.
Dacă restul împărțirii polinomului P(x) la x−1 este 3, iar restul împărțirii la x−2 este 5, care este restul împărțirii lui P(x) la (x−1)(x−2)?
Restul împărțirii la un polinom de gradul al doilea are cel mult gradul întâi, deci îl scriem ax+b. Aplicând teorema restului în P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b obținem P(1)=a+b=3 și P(2)=2a+b=5. Din diferență rezultă a=2 și b=1, deci restul este 2x+1. Dacă sistemul este citit greșit, se ajunge la −2x+7.
Dacă ecuația de gradul al treilea cu coeficienți reali x³−4x²+ax+b=0 are soluția 1+i, care este combinația corectă a valorilor lui a și b cu soluția rămasă?
Coeficienții fiind reali, și conjugatul 1−i este soluție. Notând cu γ soluția rămasă, suma celor trei soluții este (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4, deci γ=2. Dezvoltând (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 obținem a=6 și b=−4. Se ajunge repede folosind faptul că suma celor trei soluții este egală cu coeficientul lui x² luat cu semn schimbat.
Acesta este un instrument de exersare cu întrebări în ordine aleatorie (funcționează când JavaScript este activat). Puteți citi oricum toate întrebările și explicațiile de mai sus.
* Acest material servește la recapitularea conținutului de liceu. Dacă notația sau modul de abordare diferă de manual sau de predarea de la școală, urmați manualul și explicațiile profesorului.
Această pagină este o traducere a textului original în japoneză. Dacă traducerea diferă de original, prevalează versiunea în japoneză. Vedeți originalul în japoneză