式與證明、複數與方程式（數學Ⅱ，日本高中的第二階段數學）

把 a=x, b=2 代入 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，得 x³+6x²+12x+8。x³+8 是忘了中間兩項（3a²b 與 3ab²）的常見錯誤。可以用係數排列 1,3,3,1 來確認。

由 a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)，得 x³−27=(x−3)(x²+3x+9)。後面括號中間那一項是 +ab（與前面括號的符號相反）。(x−3)(x²−3x+9) 是把符號弄反的錯誤；(x−3)³ 展開後是 x³−9x²+27x−27，並不相符。

一般項是 C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ。要得到 x³ 需 r=2，係數為 C(5,2)·2² = 10×4 = 40。80 是誤乘 2³、20 是誤乘 2¹、10 則是漏乘 2²。

一般項是 C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ。x⁴y² 對應 r=2，係數為 C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240。−240 是 (−y)² 的符號處理錯誤；60 是把 2⁴ 誤成 2²；480 則是誤乘 2⁵。

分子＝(x+3)(x−3)、分母＝(x+3)(x−2)，約掉公因式 x+3 得 (x−3)/(x−2)。先把分子分母因式分解是鐵則。x−3 與 x−2 是不同的因式，不能再約分。

通分得 {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1)。5/(x²−1) 是分子沒有通分、直接算成 2+3 的錯誤；(5x+1) 則是符號算錯。

左邊＝(a+b)x+(a−b)。比較係數得 a+b=3, a−b=5，相加得 2a=8，故 a=4，b=3−4=−1。a=4, b=1 是把 a−b=5 與 a+b=3 弄錯而解出的答案。用代入法也可以：x=1 時 2a=8，x=−1 時 −2b=2。

代入 x=1 得 c=1。比較 x² 的係數得 a=1。代入 x=0 得 0=a−b+c=1−b+1，故 b=2。驗算：(x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x²，成立。b 的符號弄錯（b=−2）是典型錯誤。

因為 x>0、9/x>0，由算術平均數與幾何平均數的關係得 x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6。等號在 x=9/x 即 x=3 時成立。3 是只算了 √9、忘了乘 2；9 則是與乘積 x·(9/x) 混淆。

由算術平均數與幾何平均數的關係得 x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4。等號在 x=y=2 時成立，此時確實滿足 xy=4，所以最小值是 4。2 是只算了 √4、忘了乘 2；8 則是算成 2×4 的錯誤。

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18。27 是忘了 −3ab(a+b)；24 是算成 27−3、只減了 ab；30 則是把 a²+b² 誤成 9+2=11、算成 (a+b)(a²−ab+b²)=3×10。

一般項是 C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ。常數項對應 6−2r=0 即 r=3，值為 C(6,3)=20。15 是選了 C(6,2)、6 是選了 C(6,1)。步驟是先求出使 x 的指數為 0 的 r。

實部與實部相加、虛部與虛部相加，得 (3+1)+(2−4)i = 4−2i。4+2i 是虛部的符號處理錯誤；2−2i 是實部算錯；4−6i 則是把 2−4 誤成 −6。

展開得 6−4i+3i−2i²。因為 i²=−1，所以 −2i²=+2，於是 6−i+2 = 8−i。4−i 是把 i² 誤成 +1；6−i 是漏掉 −2i² 這一項。i² 的處理決定了對錯。

i 的乘冪以 i, −1, −i, 1 為週期 4 循環。因為 23 = 4×5+3，所以 i²³ = i³ = i²·i = −i。步驟是用餘數判斷（23 除以 4 的餘數為 3）。

分子分母同乘分母的共軛 3+i。分子＝(1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i，分母＝9−i² = 10，所以 (2+4i)/10 = (1+2i)/5。(2+i)/5 是誤乘 3−i；若把分母算成 9−1=8 就會得到 (1+2i)/4。

先化成 i 的形式：√(−8)=2√2i、√(−2)=√2i，乘積為 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4。算成 √(−8)×√(−2)=√16=4 是常見錯誤，忽略了負數時不能使用 √a·√b=√(ab)。

用公式解得 x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i。−2±4i 是忘了除以 2；1±2i 是符號弄錯。用 D/4 = 1−5 = −4 更快：x = −1±√(−4) = −1±2i。

重根的條件是 D=0。D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0，得 k=6, −2。展開 −4(k+3) 時若沒寫成 −4k−12、符號弄錯，就會得到 k=−6, 2 之類的錯誤答案。

判別式 D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0，所以是相異兩虛根。實係數方程式的虛根必定成共軛對出現，所以不可能是一個實根與一個虛根。

由根與係數的關係，α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5，αβ = c/a = 3。答成 α+β=−5 是忘了 −b/a 的負號所造成的常見錯誤。

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19。25 是忘了 −2αβ；31 是算成 25+6；22 則是只減了一次 αβ、算成 25−3。

由根與係數的關係，α+β=3, αβ=5。α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18。27 是忘了 −3αβ(α+β)；72 是算成 27+45；12 則是漏乘 (α+β)、算成 27−15。

因為係數是實數，共軛的 3−2i 也是根。兩根之和＝6＝−p，故 p=−6；兩根之積＝9−(2i)² = 9+4 = 13＝q。q=5 是把積誤算成 9−4；p=6 則是符號弄錯。方程式為 x²−6x+13=0。

由餘式定理，餘數為 P(2) = 8−8+6−1 = 5。−23 是算成 P(−2)、把符號讀錯的結果。除以 x−2 時要代入 x=2。

因為 x+1 = x−(−1)，餘數為 P(−1) = −2+1+5+3 = 7。1 是算成 P(1)=2+1−5+3 的錯誤。最重要的關鍵就是「除以 x+1 就代入 x=−1」這個符號的轉換。

由因式定理，若 P(k)=0 則 x−k 是因式。P(2) = 8−12−8+12 = 0，所以 x−2 是因式。P(−3)=−30、P(4)=12、P(−1)=12 都不是 0。實際上 P(x)=(x−2)(x+2)(x−3)。

用綜合除法，把係數 1, −4, 1, 6 依序乘 2 再相加，得 1, −2, −3, 0。所以商是 x²−2x−3、餘數為 0。x²−6x+13 是除以 x+2（用 −2）時的商，來自符號讀錯的誤答。

P(1)=1−7+6=0，所以 x−1 是因式。用綜合除法得商 x²+x−6=(x+3)(x−2)。於是由 (x−1)(x−2)(x+3)=0 得 x=1, 2, −3。驗算：三根之積 1·2·(−3)=−6，與常數項取負號後相符。

把 x³−8=0 用 a³−b³ 的公式分解成 (x−2)(x²+2x+4)=0。x²+2x+4=0 的解是 x=−1±√3i，所以共有 x=2, −1±√3i 三個解。只答 x=2 是漏掉虛根；1±√3i 則是公式解的符號弄錯。

由因式定理，P(1)=1−2+a+b=0 得 a+b=1；P(−2)=−8−8−2a+b=0 得 −2a+b=16。相減得 3a=−15，故 a=−5, b=6。若把 P(−2) 中的 −2a 誤成 +2a，就會得到 a=15, b=−14。

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1)。x²−1 還可以再分解，所以停在 (x²−1)(x²+1) 並不完整。x²+1 在實數範圍內無法分解（(x−i)(x+i) 是複數範圍的分解）。

ω 是 x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0 的虛根，所以滿足 x²+x+1=0。由 ω²+ω+1=0 得 ω²+ω=−1。ω³=1 與 ω²+ω+1=0 這兩個關係式，是處理 ω 的基本工具。

除以二次式的餘式次數在一次以下，設為 ax+b。對 P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b 用餘式定理，得 P(1)=a+b=3、P(2)=2a+b=5。相減得 a=2, b=1，餘式為 2x+1。聯立式弄反就會得到 −2x+7。

因為係數是實數，共軛的 1−i 也是根。設其餘的根為 γ，則三根之和 = (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4，故 γ=2。展開 (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4，所以 a=6, b=−4。利用三根之和等於 x² 係數變號後的值，會比較快。