Expressions et démonstration, nombres complexes et équations (mathématiques II, programme japonais)

En appliquant (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ avec a=x et b=2, on obtient x³+6x²+12x+8. La réponse x³+8 correspond à l'oubli classique des deux termes centraux 3a²b et 3ab². Il faut vérifier la suite de coefficients 1,3,3,1.

De a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) on tire x³−27=(x−3)(x²+3x+9). Le terme central de la seconde parenthèse est +ab, de signe opposé à celui de la première parenthèse. La réponse (x−3)(x²−3x+9) inverse ce signe, et (x−3)³ se développe en x³−9x²+27x−27, qui ne convient pas.

Le terme général s'écrit C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. On obtient x³ pour r=2, d'où le coefficient C(5,2)·2² = 10×4 = 40. La réponse 80 vient d'avoir multiplié par 2³, 20 d'avoir multiplié par 2¹, et 10 d'avoir oublié le facteur 2².

Le terme général s'écrit C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. Le terme en x⁴y² correspond à r=2, d'où C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. La réponse −240 vient d'une erreur de signe sur (−y)², 60 d'avoir écrit 2² au lieu de 2⁴, et 480 d'avoir multiplié par 2⁵.

Le numérateur vaut (x+3)(x−3) et le dénominateur (x+3)(x−2). En simplifiant par le facteur commun x+3, on obtient (x−3)/(x−2). La règle d'or est de commencer par factoriser numérateur et dénominateur. Comme x−3 et x−2 sont des facteurs différents, on ne peut pas simplifier davantage.

En réduisant au même dénominateur, {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). La réponse 5/(x²−1) vient d'avoir simplement additionné 2+3 au numérateur sans le réduire, et (5x+1) d'une erreur de signe.

Le membre de gauche vaut (a+b)x+(a−b). L'identification des coefficients donne a+b=3 et a−b=5. En additionnant, 2a=8, donc a=4 et b=3−4=−1. La réponse a=4, b=1 vient d'avoir interverti a−b=5 et a+b=3. On peut aussi substituer des valeurs : x=1 donne 2a=8 et x=−1 donne −2b=2.

En substituant x=1, on obtient c=1. L'identification du coefficient de x² donne a=1. En substituant x=0, 0=a−b+c=1−b+1, d'où b=2. Vérification : (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x². L'erreur typique est une faute de signe donnant b=−2.

Comme x>0 et 9/x>0, l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique donne x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. L'égalité a lieu lorsque x=9/x, c'est-à-dire x=3. La réponse 3 vient d'avoir calculé √9 sans multiplier par 2, et 9 d'une confusion avec le produit x·(9/x).

L'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne géométrique donne x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. L'égalité a lieu pour x=y=2, qui vérifie bien xy=4 : le minimum vaut donc 4. La réponse 2 vient d'avoir calculé √4 sans multiplier par 2, et 8 du calcul erroné 2×4.

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. La réponse 27 vient de l'oubli du terme −3ab(a+b), 24 d'avoir soustrait seulement ab en écrivant 27−3, et 30 d'avoir pris a²+b² égal à 9+2=11 puis calculé (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.

Le terme général s'écrit C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. Le terme constant correspond à 6−2r=0, soit r=3, d'où C(6,3)=20. La réponse 15 est C(6,2) et 6 est C(6,1). La démarche consiste à chercher d'abord la valeur de r annulant l'exposant de x.

On additionne séparément parties réelles et parties imaginaires : (3+1)+(2−4)i = 4−2i. La réponse 4+2i vient d'une erreur de signe sur la partie imaginaire, 2−2i d'une erreur sur la partie réelle, et 4−6i d'avoir calculé 2−4 comme −6.

En développant, 6−4i+3i−2i². Comme i²=−1, on a −2i²=+2, d'où 6−i+2 = 8−i. La réponse 4−i vient d'avoir pris i²=+1, et 6−i d'avoir omis le terme −2i². Tout se joue sur le traitement de i².

Les puissances de i se répètent avec une période de 4 : i, −1, −i, 1. Comme 23 = 4×5+3, on a i²³ = i³ = i²·i = −i. La méthode consiste à raisonner sur le reste de la division de 23 par 4, ici 3.

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué 3+i du dénominateur. Le numérateur devient (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i et le dénominateur 9−i² = 10, d'où (2+4i)/10 = (1+2i)/5. La réponse (2+i)/5 vient d'avoir multiplié le numérateur par 3−i, et un dénominateur calculé comme 9−1=8 donne (1+2i)/4.

On passe d'abord par i : √(−8)=2√2i et √(−2)=√2i, donc le produit vaut 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. Écrire √(−8)×√(−2)=√16=4 est l'erreur classique consistant à oublier que la règle √a·√b=√(ab) ne s'applique pas aux nombres négatifs.

La formule des racines donne x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. La réponse −2±4i vient de l'oubli de la division par 2, et 1±2i d'une erreur de signe. En passant par D/4 = 1−5 = −4, on obtient plus vite x = −1±√(−4) = −1±2i.

La condition est D=0. D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0, donc k=6, −2. Une erreur de signe dans le développement de −4(k+3), qui vaut −4k−12, conduit à des réponses comme k=−6, 2.

Le discriminant vaut D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0 : il y a deux solutions imaginaires distinctes. Avec des coefficients réels, les solutions imaginaires apparaissent toujours par paires conjuguées, si bien qu'une solution réelle et une solution imaginaire est impossible.

Les relations entre racines et coefficients donnent α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 et αβ = c/a = 3. La réponse α+β=−5 correspond à l'oubli classique du signe moins dans −b/a.

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. La réponse 25 vient de l'oubli du terme −2αβ, 31 d'une addition 25+6, et 22 d'avoir soustrait αβ une seule fois, 25−3.

Les relations entre racines et coefficients donnent α+β=3 et αβ=5. Alors α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. La réponse 27 vient de l'oubli du terme −3αβ(α+β), 72 d'une addition 27+45, et 12 d'avoir oublié le facteur (α+β) en écrivant 27−15.

Les coefficients étant réels, le conjugué 3−2i est aussi solution. La somme des solutions vaut 6 = −p, donc p=−6, et leur produit vaut 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. La réponse q=5 vient d'avoir calculé le produit comme 9−4, et p=6 d'une erreur de signe. L'équation est x²−6x+13=0.

D'après le théorème du reste, celui-ci vaut P(2) = 8−8+6−1 = 5. La réponse −23 correspond au calcul de P(−2), à la suite d'une mauvaise lecture du signe. Pour une division par x−2, on substitue x=2.

Comme x+1 = x−(−1), le reste vaut P(−1) = −2+1+5+3 = 7. La réponse 1 correspond au calcul de P(1)=2+1−5+3. Le point essentiel est la lecture du signe : diviser par x+1 revient à substituer x=−1.

D'après le théorème du facteur, x−k est un facteur dès que P(k)=0. Ici P(2) = 8−12−8+12 = 0, donc x−2 est un facteur. On a P(−3)=−30, P(4)=12 et P(−1)=12, tous non nuls. De fait, P(x)=(x−2)(x+2)(x−3).

Par division synthétique, en partant des coefficients 1, −4, 1, 6 et en multipliant successivement par 2 puis en ajoutant, on obtient 1, −2, −3, 0. Le quotient est donc x²−2x−3 et le reste 0. La réponse x²−6x+13 est le quotient de la division par x+2, obtenue en utilisant −2, à la suite d'une mauvaise lecture du signe.

Comme P(1)=1−7+6=0, x−1 est un facteur. La division synthétique donne le quotient x²+x−6=(x+3)(x−2). De (x−1)(x−2)(x+3)=0 on tire x=1, 2, −3. Vérification : le produit des solutions 1·2·(−3)=−6 coïncide bien avec l'opposé du terme constant.

On factorise x³−8=0 avec la formule de a³−b³ : (x−2)(x²+2x+4)=0. Les solutions de x²+2x+4=0 sont x=−1±√3i, d'où trois solutions : x=2, −1±√3i. Répondre x=2 seulement revient à perdre les solutions imaginaires ; 1±√3i provient d'une erreur de signe dans la formule des racines.

D'après le théorème du facteur, P(1)=1−2+a+b=0 donne a+b=1, et P(−2)=−8−8−2a+b=0 donne −2a+b=16. Par différence, 3a=−15, d'où a=−5 et b=6. Écrire +2a au lieu de −2a dans P(−2) conduit à a=15, b=−14.

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Comme x²−1 peut encore être factorisé, s'arrêter à (x²−1)(x²+1) est incomplet. Le facteur x²+1 n'est pas factorisable dans l'ensemble des nombres réels, la forme (x−i)(x+i) relevant des nombres complexes.

Le nombre ω est une solution imaginaire de x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0, donc il vérifie x²+x+1=0. De ω²+ω+1=0 on tire ω²+ω=−1. Les deux relations ω³=1 et ω²+ω+1=0 sont les outils de base pour tout calcul avec ω.

Le reste d'une division par un polynôme du second degré est de degré au plus 1 : on le note ax+b. En appliquant le théorème du reste à P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b, on obtient P(1)=a+b=3 et P(2)=2a+b=5. Par différence, a=2 et b=1, donc le reste est 2x+1. Intervertir les deux équations conduit à −2x+7.

Les coefficients étant réels, le conjugué 1−i est aussi solution. En notant γ la solution restante, la somme des trois solutions vaut (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4, donc γ=2. Le développement (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4 donne alors a=6 et b=−4. Il est rapide d'utiliser le fait que la somme des trois solutions est l'opposé du coefficient de x².