Expressões e demonstrações, números complexos e equações (Matemática II)

Substituindo a=x e b=2 em (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, obtém-se x³+6x²+12x+8. A alternativa x³+8 é o erro clássico de esquecer os dois termos do meio, 3a²b e 3ab². Confira a sequência de coeficientes 1,3,3,1.

Por a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²), obtém-se x³−27=(x−3)(x²+3x+9). O termo do meio do segundo parêntese é +ab, com sinal oposto ao do primeiro parêntese. A alternativa (x−3)(x²−3x+9) inverte esse sinal, e (x−3)³, quando expandido, dá x³−9x²+27x−27, que não coincide.

O termo geral é C(5,r)·x⁵⁻ʳ·2ʳ. O termo em x³ ocorre para r=2, e seu coeficiente é C(5,2)·2² = 10×4 = 40. O valor 80 multiplica por 2³, 20 multiplica por 2¹, e 10 esquece de multiplicar por 2².

O termo geral é C(6,r)·(2x)⁶⁻ʳ·(−y)ʳ. O termo em x⁴y² ocorre para r=2, o que dá C(6,2)·2⁴·(−1)² = 15×16×1 = 240. O valor −240 erra o sinal de (−y)², 60 usa 2² em vez de 2⁴, e 480 multiplica por 2⁵.

O numerador é (x+3)(x−3) e o denominador é (x+3)(x−2). Cancelando o fator comum x+3, obtém-se (x−3)/(x−2). A regra de ouro é fatorar primeiro o numerador e o denominador. Como x−3 e x−2 são fatores diferentes, não há mais nada a cancelar.

Reduzindo ao mesmo denominador, obtém-se {2(x+1)+3(x−1)}/{(x−1)(x+1)} = (2x+2+3x−3)/(x²−1) = (5x−1)/(x²−1). A alternativa 5/(x²−1) simplesmente soma 2+3 sem ajustar os numeradores, e (5x+1) é um erro de sinal.

O lado esquerdo é (a+b)x+(a−b). Comparando os coeficientes, obtém-se a+b=3 e a−b=5. Somando as duas, obtém-se 2a=8, então a=4 e b=3−4=−1. A alternativa a=4, b=1 troca a−b=5 por a+b=3. Substituir valores também funciona: x=1 dá 2a=8 e x=−1 dá −2b=2.

Substituindo x=1, obtém-se c=1. Comparando os coeficientes de x², obtém-se a=1. Substituindo x=0, obtém-se 0=a−b+c=1−b+1, então b=2. Verificação: (x−1)²+2(x−1)+1 = x²−2x+1+2x−2+1 = x², o que confere. Um erro de sinal em b, que dá b=−2, é o erro típico.

Como x>0 e 9/x>0, a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dá x+9/x ≧ 2√(x·9/x) = 2√9 = 6. A igualdade ocorre quando x=9/x, isto é, x=3. A alternativa 3 considera apenas √9 e esquece de multiplicar por 2, e 9 confunde com o produto x·(9/x).

A desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dá x+y ≧ 2√(xy) = 2√4 = 4. A igualdade ocorre quando x=y=2, que de fato satisfaz xy=4, então o mínimo é 4. A alternativa 2 considera apenas √4 e esquece de multiplicar por 2, e 8 vem do cálculo 2×4.

a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−3·1·3 = 27−9 = 18. A alternativa 27 esquece o termo −3ab(a+b), 24 subtrai apenas ab, como 27−3, e 30 vem de tomar erroneamente a²+b² como 9+2=11 e calcular (a+b)(a²−ab+b²)=3×10.

O termo geral é C(6,r)·x⁶⁻ʳ·(1/x)ʳ = C(6,r)·x⁶⁻²ʳ. O termo independente ocorre quando 6−2r=0, isto é, r=3, o que dá C(6,3)=20. O valor 15 é C(6,2) e 6 é C(6,1). O método é encontrar primeiro o r que torna zero o expoente de x.

Some a parte real com a parte real e a parte imaginária com a parte imaginária: (3+1)+(2−4)i = 4−2i. A alternativa 4+2i erra o sinal da parte imaginária, 2−2i calcula errado a parte real, e 4−6i toma 2−4 como −6.

A expansão dá 6−4i+3i−2i². Como i²=−1, o termo −2i² vira +2, então obtém-se 6−i+2 = 8−i. A alternativa 4−i toma i²=+1 por engano, e 6−i descarta o termo −2i². Tratar corretamente o i² é o que decide a resposta.

As potências de i se repetem com período 4: i, −1, −i, 1. Como 23 = 4×5+3, obtém-se i²³ = i³ = i²·i = −i. O método é decidir pelo resto, aqui 3, da divisão de 23 por 4.

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado 3+i. O numerador é (1+i)(3+i) = 3+i+3i+i² = 2+4i e o denominador é 9−i² = 10, então obtém-se (2+4i)/10 = (1+2i)/5. A alternativa (2+i)/5 multiplica o numerador por 3−i, e tomar o denominador como 9−1=8 dá (1+2i)/4.

Converta primeiro para i: √(−8)=2√2i e √(−2)=√2i, então o produto é 2√2·√2·i² = 4×(−1) = −4. Escrever √(−8)×√(−2)=√16=4 é o erro clássico de não perceber que √a·√b=√(ab) não vale para números negativos.

A fórmula resolutiva dá x = (−2±√(4−20))/2 = (−2±√(−16))/2 = (−2±4i)/2 = −1±2i. A alternativa −2±4i esquece de dividir por 2, e 1±2i é um erro de sinal. Usar D/4 = 1−5 = −4 é mais rápido: x = −1±√(−4) = −1±2i.

A condição é D=0. De D = k²−4(k+3) = k²−4k−12 = (k−6)(k+2) = 0, obtém-se k=6, −2. Expandir −4(k+3) como algo diferente de −4k−12, com erro de sinal, leva a respostas erradas como k=−6, 2.

O discriminante é D = (−5)²−4·3·4 = 25−48 = −23 < 0, então há duas raízes imaginárias distintas. Com coeficientes reais, as raízes imaginárias sempre aparecem em pares conjugados, então uma raiz real junto com uma raiz imaginária é impossível.

Pelas relações entre raízes e coeficientes, α+β = −b/a = −(−5)/1 = 5 e αβ = c/a = 3. A alternativa α+β=−5 é o erro clássico de esquecer o sinal de menos em −b/a.

α²+β² = (α+β)²−2αβ = 25−2×3 = 19. A alternativa 25 esquece −2αβ, 31 soma, como 25+6, e 22 subtrai αβ só uma vez, como 25−3.

Pelas relações entre raízes e coeficientes, α+β=3 e αβ=5. Então α³+β³ = (α+β)³−3αβ(α+β) = 27−3·5·3 = 27−45 = −18. A alternativa 27 esquece −3αβ(α+β), 72 soma, como 27+45, e 12 vem de 27−15, esquecendo de multiplicar por (α+β).

Como os coeficientes são reais, o conjugado 3−2i também é raiz. A soma das raízes é 6 = −p, então p=−6, e o produto é 9−(2i)² = 9+4 = 13 = q. A alternativa q=5 toma o produto como 9−4, e p=6 é um erro de sinal. A equação é x²−6x+13=0.

Pelo teorema do resto, o resto é P(2) = 8−8+6−1 = 5. A alternativa −23 vem do cálculo de P(−2), uma leitura errada do sinal. Para obter o resto da divisão por x−2, substitui-se x=2.

Como x+1 = x−(−1), o resto é P(−1) = −2+1+5+3 = 7. A alternativa 1 vem do cálculo de P(1)=2+1−5+3. O ponto mais importante é a troca de sinal: dividir por x+1 significa substituir x=−1.

Pelo teorema do fator, x−k é um fator quando P(k)=0. Aqui P(2) = 8−12−8+12 = 0, então x−2 é um fator. Temos P(−3)=−30, P(4)=12 e P(−1)=12, e nenhum deles é 0. De fato, P(x)=(x−2)(x+2)(x−3).

No dispositivo de Briot-Ruffini, multiplicando por 2 e somando ao longo dos coeficientes 1, −4, 1, 6, obtém-se 1, −2, −3, 0. Então o quociente é x²−2x−3, com resto 0. A alternativa x²−6x+13 é o quociente da divisão por x+2, usando −2, e surge de uma leitura errada do sinal.

Como P(1)=1−7+6=0, x−1 é um fator. O dispositivo de Briot-Ruffini dá o quociente x²+x−6=(x+3)(x−2). Logo (x−1)(x−2)(x+3)=0 e x=1, 2, −3. Verificação: o produto das raízes 1·2·(−3)=−6 coincide com o oposto do termo independente.

Fatore x³−8=0 pela fórmula de a³−b³ como (x−2)(x²+2x+4)=0. As raízes de x²+2x+4=0 são x=−1±√3i, então as três soluções são x=2 e −1±√3i. Responder apenas x=2 descarta as raízes imaginárias, e 1±√3i é um erro de sinal na fórmula resolutiva.

Pelo teorema do fator, P(1)=1−2+a+b=0 dá a+b=1, e P(−2)=−8−8−2a+b=0 dá −2a+b=16. Subtraindo, obtém-se 3a=−15, então a=−5 e b=6. Escrever +2a em vez de −2a em P(−2) leva a a=15, b=−14.

x⁴−1 = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1). Como x²−1 ainda pode ser decomposto, parar em (x²−1)(x²+1) é incompleto. O fator x²+1 não pode ser decomposto no conjunto dos números reais; a forma (x−i)(x+i) é uma fatoração no conjunto dos números complexos.

Como ω é uma raiz imaginária de x³−1=(x−1)(x²+x+1)=0, ele satisfaz x²+x+1=0. Logo ω²+ω+1=0 dá ω²+ω=−1. As duas relações ω³=1 e ω²+ω+1=0 são as ferramentas básicas para calcular com ω.

O resto da divisão por uma expressão do segundo grau tem grau no máximo 1, então escreva-o como ax+b. Aplicando o teorema do resto a P(x)=(x−1)(x−2)Q(x)+ax+b, obtém-se P(1)=a+b=3 e P(2)=2a+b=5. Subtraindo, obtém-se a=2 e b=1, então o resto é 2x+1. Confundir o sistema de equações leva a −2x+7.

Como os coeficientes são reais, o conjugado 1−i também é raiz. Chamando a raiz restante de γ, a soma das três raízes é (1+i)+(1−i)+γ = 2+γ = 4, então γ=2. Expandindo (x²−2x+2)(x−2) = x³−4x²+6x−4, obtém-se a=6 e b=−4. É rápido usar o fato de que a soma das raízes é igual ao coeficiente de x² com o sinal trocado.