ہائی اسکول · ہائی اسکول ریاضی: باقاعدہ ٹیسٹ لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
sin30° کی قیمت کون سی ہے؟
جس قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کی نسبت 1:2:√3 ہو، اس میں 30° کے زاویے کے مقابل ضلع وتر کا نصف ہوتا ہے، اس لیے sin30°=1/2۔ قیمت √3/2 دراصل cos30° ہے، √2/2 دراصل sin45°، اور √3/3 دراصل tan30°؛ انہیں گڈمڈ کرنا آسان ہے، اس لیے پورا جدول یاد کرنا بہتر ہے۔
cos45° کی قیمت کون سی ہے؟
اضلاع 1:1:√2 والی قائمہ الزاویہ متساوی الساقین مثلث میں cos45°=1/√2=√2/2 ملتا ہے۔ قیمت 1/2 دراصل cos60° ہے اور √3/2 دراصل cos30°۔ 45° کی ایک نمایاں خصوصیت یہ ہے کہ sin اور cos دونوں کی قیمت ایک ہی، √2/2، ہوتی ہے۔
tan60° کی قیمت کون سی ہے؟
اضلاع 1:2:√3 والی قائمہ الزاویہ مثلث میں 60° کے زاویے کا مقابل ضلع √3 اور ملحقہ ضلع 1 ہے، اس لیے tan60°=√3۔ قیمت √3/3 دراصل tan30° ہے، جو مقابل اور ملحقہ اضلاع کو آپس میں بدل دینے سے ملتی ہے۔ قیمت √3/2 دراصل sin60° ہے۔
sin120° کی قیمت کون سی ہے؟
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2۔ چونکہ 90°<θ<180° کے لیے sin مثبت رہتا ہے، اس لیے منفی علامت لگا کر −√3/2 کہنا غلط ہے۔ قیمت 1/2 دراصل sin30° ہے، جو cos60° کے برابر ہے۔
cos135° کی قیمت کون سی ہے؟
cos135°=−cos45°=−√2/2۔ دھیان رکھیں کہ 180°−θ کے تحت cos کی علامت بدل جاتی ہے۔ علامت بھول کر √2/2 جواب دینا سب سے عام غلطی ہے۔ قیمت −√3/2 دراصل cos150° ہے۔
tan150° کی قیمت کون سی ہے؟
tan150°=−tan30°=−√3/3۔ منفرجہ زاویوں کے لیے ٹینجنٹ منفی ہوتا ہے۔ علامت بھول جانے سے √3/3 آتا ہے، اور tan30° کو tan60° سے گڈمڈ کرنے سے −√3۔
ایک قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 3، 4 اور 5 ہیں؛ فرض کریں A وہ زاویہ ہے جو لمبائی 3 والے ضلع کے مقابل ہے۔ sinA کی قیمت کون سی ہے؟
سائن = (مقابل ضلع)/(وتر)۔ وتر سب سے لمبا ضلع، 5، ہے اور A کا مقابل ضلع 3 ہے، اس لیے sinA=3/5۔ قیمت 4/5 دراصل cosA ہے اور 3/4 دراصل tanA۔ نسبت بنانے سے پہلے خاکے پر پہچان لیں کہ کون سا ضلع مقابل ہے اور کون سا ملحقہ۔
ایک قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 3، 4 اور 5 ہیں؛ فرض کریں A وہ زاویہ ہے جو لمبائی 3 والے ضلع کے مقابل ہے۔ tanA کی قیمت کون سی ہے؟
ٹینجنٹ = (مقابل ضلع)/(ملحقہ ضلع)۔ A کا مقابل ضلع 3 اور ملحقہ ضلع 4 ہے، اس لیے tanA=3/4۔ اسے الٹ کر 4/3 لکھنا عام غلطی ہے۔ قیمت 3/5 دراصل sinA ہے اور 4/5 دراصل cosA۔
اگر θ حادہ زاویہ ہو اور sinθ=1/3 ہو تو cosθ کی قیمت کون سی ہے؟
cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9۔ چونکہ θ حادہ ہے، cosθ=√(8/9)=2√2/3۔ 8/9 جواب دینا جذرِ مربع لینا بھول جانا ہے، اور √2/3 دراصل √8=2√2 کے غلط حساب سے آتا ہے۔
اگر 90°<θ<180° اور cosθ=−1/4 ہو تو sinθ کی قیمت کون سی ہے؟
sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16۔ 90°<θ<180° کے لیے sinθ>0 ہوتا ہے، اس لیے sinθ=√15/4۔ صرف اس لیے sin کو منفی کر دینا کہ cos منفی ہے، عام غلطی ہے، اور 15/16 میں جذرِ مربع لینا بھول گئے ہیں۔
اگر 90°<θ<180° اور sinθ=2/3 ہو تو tanθ کی قیمت کون سی ہے؟
cos²θ=1−4/9=5/9، اور چونکہ زاویہ منفرجہ ہے، cosθ=−√5/3۔ پھر tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5۔ cos کو مثبت لینے سے غلط جواب 2√5/5 آتا ہے۔
کس کی قیمت cos35° کے برابر ہے؟
مماثلت sin(90°−θ)=cosθ کے مطابق sin55°=sin(90°−35°)=cos35° ہے۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ قائمہ الزاویہ مثلث کے دونوں حادہ زاویوں (35° اور 55°) سے اضلاع کی ایک ہی نسبت کو دیکھیں تو سائن اور کوسائن آپس میں بدل جاتے ہیں۔
cos150° کی قیمت کون سی ہے؟
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2۔ 180°−θ کے تحت کوسائن کی علامت بدل جاتی ہے۔ قیمت −1/2 دراصل cos120° ہے اور −√2/2 دراصل cos135°، اس لیے احتیاط کریں کہ آپ کس حادہ زاویے کو بنیاد بنا رہے ہیں۔
اگر θ حادہ زاویہ ہو اور tanθ=2 ہو تو cosθ کی قیمت کون سی ہے؟
1+tan²θ=1/cos²θ سے 1/cos²θ=1+4=5 ملتا ہے، اس لیے cos²θ=1/5۔ چونکہ θ حادہ ہے، cosθ=1/√5=√5/5۔ قیمت 1/5 میں جذرِ مربع لینا بھول گئے ہیں، اور 2√5/5 دراصل sinθ ہے۔
اگر sinθ+cosθ=1/2 ہو تو sinθcosθ کی قیمت کون سی ہے؟
دونوں اطراف کا مربع لینے سے sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4 ملتا ہے۔ sin²θ+cos²θ=1 رکھنے سے 1+2sinθcosθ=1/4 بنتا ہے، اس لیے sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8۔ علامت چھوڑ دینے سے 3/8 آتا ہے، اور 2 سے تقسیم کرنا بھول جانے سے −3/4۔
مثلث ABC میں A=30° اور a=4 ہے۔ محیطی دائرے کا رداس R کون سا ہے؟
قانونِ سائن سے 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8، اس لیے R=4۔ 8 جواب دینا دراصل 2R کی قیمت بتانا ہے۔ آسان اصول یہ ہے کہ جب بھی کسی ضلع اور اس کے مقابل زاویے کا جوڑا معلوم ہو، قانونِ سائن استعمال کریں۔
مثلث ABC میں A=45°، B=60° اور a=√2 ہے۔ b کی قیمت کون سی ہے؟
قانونِ سائن a/sinA=b/sinB سے b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3 ملتا ہے۔ قیمت √6/2 اس وقت آتی ہے جب sinA سے تقسیم کرنا بھول کر b=a·sinB لکھ دیا جائے۔ دو زاویے اور ایک ضلع معلوم ہوں تو قانونِ سائن درکار ہوتا ہے۔
مثلث ABC میں b=3، c=5 اور A=60° ہے۔ a کی قیمت کون سی ہے؟
قانونِ کوسائن سے a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19، اس لیے a=√19۔ رکن −2bc·cosA بھول جانے سے √34 آتا ہے، اور اسے جمع کی علامت کے ساتھ لینے سے a²=49 اور غلط جواب 7 آتا ہے۔
مثلث ABC میں a=7، b=5 اور c=3 ہے۔ زاویہ A کتنا ہے؟
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2، اس لیے A=120°۔ شمار کنندہ کی علامت غلط لینے سے 1/2 اور یوں 60° آتا ہے۔ چونکہ cos135°=−√2/2 اور cos150°=−√3/2 ہیں، ان قیمتوں کو گڈمڈ نہ کریں۔
مثلث ABC میں a=√7، b=2 اور c=3 ہے۔ زاویہ A کتنا ہے؟
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2، اس لیے A=60°۔ اسے cos30°=√3/2 یا cos45°=√2/2 سے گڈمڈ نہ کریں۔ جب تینوں اضلاع معلوم ہوں تو قانونِ کوسائن کو اس کی کوسائن والی شکل میں استعمال کریں۔
مثلث ABC میں b=√6، B=60° اور a=2 ہے۔ زاویہ A کتنا ہے؟ فرض کریں کہ A حادہ ہے۔
قانونِ سائن سے sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2۔ چونکہ A حادہ ہے، A=45°۔ غلطی سے sinA=1/2 لینے پر 30° آئے گا۔ √3/√6 کو احتیاط سے ناطق بنائیں۔
مثلث ABC میں b=2، c=4 اور A=120° ہے۔ a کی قیمت کون سی ہے؟
a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28، اس لیے a=2√7۔ cos120°=−1/2 کو مثبت لینے سے a²=12 اور 2√3 آتا ہے، جبکہ اصلاحی رکن بھول جانے سے a²=20 اور 2√5۔
جس مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 2، 3 اور 4 ہوں، اس کے سب سے بڑے زاویے کا کوسائن کون سا ہے؟
سب سے بڑا زاویہ سب سے لمبے ضلع، 4، کے مقابل ہوتا ہے۔ cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4۔ چونکہ یہ منفی ہے، سب سے بڑا زاویہ منفرجہ ہے۔ قیمتیں 7/8 اور 11/16 باقی دو زاویوں کے کوسائن ہیں، جو غلط ضلع کو سب سے لمبا سمجھنے پر سامنے آتے ہیں۔
جس مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 3، 5 اور 7 ہوں، اس کے محیطی دائرے کا رداس R کون سا ہے؟
سب سے لمبے ضلع 7 کے مقابل زاویہ θ کے لیے cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2، اس لیے θ=120°۔ قانونِ سائن سے 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3، چنانچہ R=7/√3=7√3/3۔ 2R کی قیمت، یعنی 14√3/3، کو R کے طور پر نہ بتائیں۔
جب مثلث کے دو اضلاع اور ان کے درمیان کا زاویہ معلوم ہو تو باقی ضلع معلوم کرنے کے لیے کون سا مسئلہ سب سے موزوں ہے؟
دو اضلاع اور درمیانی زاویے سے باقی ضلع معلوم کرنا قانونِ کوسائن a²=b²+c²−2bc·cosA کا روایتی استعمال ہے۔ قانونِ سائن اس وقت کام آتا ہے جب کسی ضلع اور اس کے مقابل زاویے کا جوڑا معلوم ہو، اور مسئلۂ فیثاغورث صرف قائمہ الزاویہ مثلثوں پر لاگو ہوتا ہے۔
جس مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیاں 5 اور 8 ہوں اور درمیانی زاویہ 60° ہو، اس کا رقبہ کون سا ہے؟
S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3۔ 1/2 سے ضرب دینا بھول جانے سے 20√3 آتا ہے۔ sin60°=√3/2 کو غلطی سے 1/2 (جو sin30° ہے) سمجھنے سے 10 آتا ہے۔
ایک مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیاں 7 اور 8 ہیں اور اس کا رقبہ 14 ہے۔ ان دو اضلاع کے درمیان زاویہ θ کون سا ہے، جبکہ یہ حادہ ہے؟
S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14، اس لیے sinθ=1/2۔ چونکہ θ حادہ ہے، θ=30°۔ sinθ=1/2 سے sin60°=√3/2 کے ساتھ گڈمڈ کر کے 60° پر نہ پہنچیں؛ معیاری قیمتیں ٹھیک ٹھیک یاد رکھیں۔
جس مثلث کے دو اضلاع کی لمبائیاں 4 اور 3√2 ہوں اور درمیانی زاویہ 135° ہو، اس کا رقبہ کون سا ہے؟
S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6۔ بس sin135°=√2/2 استعمال کریں، جو مثبت ہے۔ آپشن 6√2 میں sin135° سے ضرب دینا بھول گئے ہیں، 12 میں جزو (1/2) بھول گئے ہیں، اور 3√2 دراصل sin135° کو 1/2 لینے سے آتا ہے۔
جس مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 5، 6 اور 7 ہوں، اس کا رقبہ کون سا ہے؟
قانونِ کوسائن سے cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7، اس لیے sinA=√(1−25/49)=2√6/7۔ پھر S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6۔ ہیرون کا فارمولا اس کی جانچ کرتا ہے: s=9 اور S=√(9·4·3·2)=√216=6√6۔
جس مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 5، 6 اور 7 ہوں اور رقبہ 6√6 ہو، اس کے محصور دائرے کا رداس r کون سا ہے؟
S=(1/2)r(a+b+c) سے 6√6=(1/2)r·18=9r ملتا ہے، اس لیے r=6√6/9=2√6/3۔ احاطے 18 کا نصف لینا بھول کر 18r لکھنے سے √6/3 آتا ہے۔ معیاری طریقہ یہ ہے کہ پہلے رقبہ معلوم کریں اور پھر r۔
جس قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں 3، 4 اور 5 ہوں، اس کے محصور دائرے کا رداس r کون سا ہے؟
رقبہ S=(1/2)·3·4=6 ہے۔ S=(1/2)r(3+4+5)=6r سے r=1 ملتا ہے۔ قائمہ الزاویہ مثلث کے لیے آپ r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1 بھی استعمال کر سکتے ہیں، جہاں c وتر ہے۔
ایک مینار سے افقی طور پر 12 m دور ایک نقطے سے مینار کی چوٹی 30° کے زاویۂ بلندی پر نظر آتی ہے۔ دیکھنے والے کی آنکھ کی اونچائی نظر انداز کرتے ہوئے، مینار کی اونچائی کون سی ہے؟
اونچائی h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3 ہے، یعنی تقریباً 6.9 m۔ اسے tan60°=√3 سے گڈمڈ کرنے سے 12√3 آتا ہے۔ زاویۂ بلندی کے سوالات کا بنیادی نمونہ یہ ہے: اونچائی = افقی فاصلہ × tan(زاویۂ بلندی)۔
جس منتظم چہار سطحی کے کنارے کی لمبائی 6 ہو، اس کی اونچائی کون سی ہے؟
چوٹی سے قاعدے پر ڈالے گئے عمود کا پایہ متساوی الاضلاع قاعدے کا مرکزِ ثقل ہوتا ہے، اور قاعدے کے کسی راس سے اس مرکزِ ثقل تک فاصلہ 6/√3=2√3 ہے۔ اونچائی h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6 ہے۔ مرکزِ ثقل تک فاصلے کو وسطانیے کی لمبائی، 3√3، سے گڈمڈ نہ کریں۔
جس منتظم چہار سطحی کے کنارے کی لمبائی 6 ہو، اس کا حجم کون سا ہے؟
قاعدے کا رقبہ (√3/4)·36=9√3 اور اونچائی 2√6 ہے، اس لیے V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2۔ جزو 1/3 بھول جانے سے 54√2 آتا ہے۔ فارمولا V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 اس کی تصدیق کرتا ہے۔
مثلث ABC میں sinA:sinB:sinC=7:5:3 ہے۔ زاویہ A کتنا ہے؟
قانونِ سائن سے a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3۔ a=7k، b=5k اور c=3k رکھنے سے cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2 ملتا ہے، اس لیے A=120°۔ اہم نکتہ یہ ہے کہ سائنوں کی نسبت کو اضلاع کی نسبت میں بدلا جا سکتا ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
* یہ ہائی اسکول کے تعلیمی مواد کی دہرائی کے لیے ہے۔ اگر علامات یا طریقۂ کار آپ کی درسی کتاب یا آپ کے اسکول کی تدریس سے مختلف ہو تو اپنی درسی کتاب اور اپنے استاد کی وضاحت پر عمل کریں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ یہ ترجمہ AI کی مدد سے کیا گیا ہے اور اس میں غلطیاں ہو سکتی ہیں۔ ترجمے کی غلطی کی اطلاع دیں جاپانی اصل متن دیکھیں