图形与度量（三角比）

在三边之比为 1:2:√3 的直角三角形中，30° 的对边是斜边的一半，所以 sin30°=1/2。√3/2 是 cos30°，√2/2 是 sin45°，√3/3 是 tan30° 的值，容易混淆，最好整张表一起记。

在等腰直角三角形（1:1:√2）中 cos45°=1/√2=√2/2。1/2 是 cos60°，√3/2 是 cos30° 的值。45° 的特点是 sin 与 cos 取相同的值 √2/2。

在三边之比为 1:2:√3 的直角三角形中，60° 的对边是 √3、邻边是 1，所以 tan60°=√3。√3/3 是 tan30°，把对边与邻边弄反就会出现这个错误。√3/2 则是 sin60° 的值。

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2。在 90°<θ<180° 时 sin 仍为正，所以加负号写成 −√3/2 是错的。1/2 是 sin30°（也等于 cos60°）的值。

cos135°=−cos45°=−√2/2。要注意 cos 在 180°−θ 时会变号。忘记加负号写成 √2/2 是最常见的错误。−√3/2 是 cos150° 的值。

tan150°=−tan30°=−√3/3。tan 在钝角时为负。忘记符号就会写成 √3/3，把 tan30° 与 tan60° 弄混则会写成 −√3。

sin 是（对边）/（斜边）。斜边是最长的 5，角 A 的对边是 3，所以 sinA=3/5。4/5 是 cosA，3/4 是 tanA。先在图上确认哪条是对边、哪条是邻边，再写比值。

tan 是（对边）/（邻边）。角 A 的对边是 3、邻边是 4，所以 tanA=3/4。写成倒过来的 4/3 是常见错误。3/5 是 sinA，4/5 是 cosA 的值。

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9。因为 θ 是锐角，所以 cosθ=√(8/9)=2√2/3。直接答 8/9 是忘了开平方，√2/3 则来自 √8=2√2 的计算错误。

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16。在 90°<θ<180° 时 sinθ>0，所以 sinθ=√15/4。因为 cos 是负的就把 sin 也写成负的，是典型错误。15/16 是忘了开平方。

cos²θ=1−4/9=5/9，因为是钝角，所以 cosθ=−√5/3。tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5。把 cos 的符号取成正的，就会得到 2√5/5 这个错误答案。

由 90°−θ 的公式 sin(90°−θ)=cosθ 得 sin55°=sin(90°−35°)=cos35°。它的含义是：从直角三角形的两个锐角（35° 与 55°）来看同一组边的比，sin 与 cos 正好互换。

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2。按 180°−θ 的公式，cos 要变号。−1/2 是 cos120°，−√2/2 是 cos135° 的值，不要弄错作为基准的锐角。

由 1+tan²θ=1/cos²θ 得 1/cos²θ=1+4=5，即 cos²θ=1/5。因为是锐角，所以 cosθ=1/√5=√5/5。1/5 是忘了开平方，2√5/5 是 sinθ 的值。

两边平方得 sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4。代入 sin²θ+cos²θ=1 得 1+2sinθcosθ=1/4，所以 sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8。漏掉负号会得到 3/8，忘记除以 2 会得到 −3/4。

由正弦定理得 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8，所以 R=4。把 2R=8 直接当作答案就会得到 8 这个错误。只要有互相对应的一组边与角，就用正弦定理，这是选用定理的基本原则。

由正弦定理 a/sinA=b/sinB 得 b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3。√6/2 是忘了除以 sinA、只算了 b=a·sinB 时的值。已知两角和一边就用正弦定理。

由余弦定理得 a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19，a=√19。漏掉 −2bc·cosA 会得到 √34，把符号取成加号则 a²=49，得到 7 这个错误答案。

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2，所以 A=120°。分子的符号弄错得到 1/2，就会答成 60°。另外 cos135°=−√2/2、cos150°=−√3/2，不要与这些值混淆。

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2，所以 A=60°。不要与 cos30°=√3/2、cos45°=√2/2 混淆。三边齐全时就用余弦定理中求 cos 的形式。

由正弦定理得 sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2。因为 A 是锐角，所以 A=45°。误算成 sinA=1/2 就会答成 30°。要仔细完成 √3/√6 的有理化。

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28，所以 a=2√7。把 cos120°=−1/2 的符号误取为正，会得到 a²=12 即 2√3；漏掉修正项则 a²=20，得到 2√5。

最大角是最长边 4 所对的角。cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4。值为负，说明最大角是钝角。7/8 与 11/16 是另外两个角的余弦，弄错最大边时就会得到它们。

最长边 7 所对的角 θ 满足 cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2，所以 θ=120°。由正弦定理得 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3，R=7/√3=7√3/3。不要把 2R 的值 14√3/3 当成 R。

由两边及其夹角求第三边，正是余弦定理 a²=b²+c²−2bc·cosA 的典型用法。正弦定理用于已知互相对应的一组边与角的情形。勾股定理只适用于直角三角形。

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3。忘记乘 1/2 会得到 20√3。把 sin60°=√3/2 误当成 1/2（即 sin30°）则会得到 10。

由 S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 得 sinθ=1/2。因为 θ 是锐角，所以 θ=30°。不要由 sinθ=1/2 答成 60°（那是把它与 sin60°=√3/2 弄混），特殊角的值要记准。

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6。直接用 sin135°=√2/2（正值）即可。6√2 是忘了乘 sin135° 的错误，12 是忘了乘 (1/2) 的错误，3√2 是把 sin135° 误当成 1/2 的错误。

由余弦定理得 cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7，sinA=√(1−25/49)=2√6/7。S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6。用海伦公式也能验算：s=9，S=√(9·4·3·2)=√216=6√6。

由 S=(1/2)r(a+b+c) 得 6√6=(1/2)r·18=9r，所以 r=6√6/9=2√6/3。忘记把周长 18 取一半、写成 18r，就会得到 √6/3。先求面积再求 r 是常规做法。

面积 S=(1/2)·3·4=6。由 S=(1/2)r(3+4+5)=6r 得 r=1。对直角三角形也可以用 r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1 求出（c 为斜边）。

高 h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3（约 6.9m）。把它与 tan60°=√3 弄混就会得到 12√3。仰角问题的基本形式是：高度=水平距离×tan(仰角)。

从顶点向底面所作垂线的垂足是底面正三角形的重心，底面顶点到重心的距离是 6/√3=2√3。于是高 h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6。不要把到重心的距离与中线长 3√3 弄混。

底面积是 (√3/4)·36=9√3，高是 2√6，所以 V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2。忘记乘 1/3 会得到 54√2。用公式 V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 也可以确认。

由正弦定理得 a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3。设 a=7k、b=5k、c=3k，则 cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2，所以 A=120°。关键就在于 sin 的比可以化成边的比。