Geometrie și măsurare: rapoarte trigonometrice (matematică Ⅰ, programa japoneză)

Într-un triunghi dreptunghic cu laturile în raportul 1:2:√3, cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză, deci sin30°=1/2. Valoarea √3/2 este cos30°, √2/2 este sin45°, iar √3/3 este tan30°; fiind ușor de confundat, este bine să se învețe tabelul în întregime.

Într-un triunghi dreptunghic isoscel, cu laturile în raportul 1:1:√2, avem cos45°=1/√2=√2/2. Valoarea 1/2 este cos60°, iar √3/2 este cos30°. Particularitatea unghiului de 45° este că sinusul și cosinusul au aceeași valoare, √2/2.

Într-un triunghi dreptunghic cu laturile în raportul 1:2:√3, cateta opusă unghiului de 60° este √3, iar cea alăturată este 1, deci tan60°=√3. Valoarea √3/3 este tan30° și apare atunci când cateta opusă este confundată cu cea alăturată. Valoarea √3/2 este sin60°.

Avem sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Sinusul rămâne pozitiv și pentru 90°<θ<180°, deci a pune semnul minus și a scrie −√3/2 este greșit. Valoarea 1/2 este sin30°, adică tot cos60°.

Avem cos135°=−cos45°=−√2/2. Trebuie reținut că, la trecerea de la θ la 180°−θ, cosinusul își schimbă semnul. Cea mai frecventă greșeală este √2/2, adică uitarea semnului. Valoarea −√3/2 este cos150°.

Avem tan150°=−tan30°=−√3/3. Tangenta este negativă pentru unghiuri obtuze. Uitarea semnului duce la √3/3, iar confuzia dintre tan30° și tan60° duce la −√3.

Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză. Ipotenuza este latura cea mai lungă, 5, iar cateta opusă unghiului A este 3, deci sinA=3/5. Valoarea 4/5 este cosA, iar 3/4 este tanA. Este bine să se identifice pe figură care latură este opusă și care alăturată înainte de a scrie raportul.

Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată. Cateta opusă unghiului A este 3, iar cea alăturată este 4, deci tanA=3/4. Greșeala frecventă este răsturnarea raportului, 4/3. Valoarea 3/5 este sinA, iar 4/5 este cosA.

Avem cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Cum θ este ascuțit, cosθ=√(8/9)=2√2/3. A răspunde 8/9 înseamnă a uita extragerea rădăcinii, iar √2/3 provine dintr-o greșeală la calculul √8=2√2.

Avem sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Pentru 90°<θ<180° sinusul este pozitiv, deci sinθ=√15/4. Greșeala tipică este să se pună semnul minus și la sinus doar pentru că cosinusul este negativ. Valoarea 15/16 corespunde uitării rădăcinii pătrate.

Avem cos²θ=1−4/9=5/9 și, unghiul fiind obtuz, cosθ=−√5/3. Atunci tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Dacă semnul cosinusului este luat pozitiv, se ajunge greșit la 2√5/5.

Din formula pentru 90°−θ, adică sin(90°−θ)=cosθ, rezultă sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Interpretarea geometrică este că, privind același raport de laturi din cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic, 35° și 55°, sinusul și cosinusul se schimbă între ele.

Avem cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2. Prin formula pentru 180°−θ, cosinusul își schimbă semnul. Valoarea −1/2 este cos120°, iar −√2/2 este cos135°, deci trebuie ales corect unghiul ascuțit de referință.

Din 1+tan²θ=1/cos²θ rezultă 1/cos²θ=1+4=5, deci cos²θ=1/5. Unghiul fiind ascuțit, cosθ=1/√5=√5/5. Valoarea 1/5 corespunde uitării rădăcinii pătrate, iar 2√5/5 este sinθ.

Ridicând la pătrat ambii membri obținem sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. Înlocuind sin²θ+cos²θ=1 rezultă 1+2sinθcosθ=1/4, deci sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Pierderea semnului duce la 3/8, iar uitarea împărțirii la 2 duce la −3/4.

Din teorema sinusurilor, 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, deci R=4. Dacă se răspunde direct cu 2R=8, se obține greșit 8. Regula de bază pentru alegerea teoremei este: dacă se cunoaște o pereche formată dintr-o latură și unghiul opus ei, se folosește teorema sinusurilor.

Din teorema sinusurilor, a/sinA=b/sinB, rezultă b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. Valoarea √6/2 se obține când se uită împărțirea la sinA și se scrie b=a·sinB. Două unghiuri și o latură conduc la teorema sinusurilor.

Din teorema cosinusului, a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, deci a=√19. Dacă se uită termenul −2bc·cosA se obține √34, iar dacă i se pune semnul plus rezultă a²=49, adică 7.

Avem cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, deci A=120°. O greșeală de semn la numărător dă 1/2 și, de aici, 60°. Cum cos135°=−√2/2 și cos150°=−√3/2, aceste valori nu trebuie confundate.

Avem cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, deci A=60°. Nu trebuie confundate valorile cos30°=√3/2 și cos45°=√2/2. Când se cunosc toate cele trei laturi, se folosește forma teoremei cosinusului scrisă pentru cos.

Din teorema sinusurilor, sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. Cum A este ascuțit, A=45°. Dacă se obține greșit sinA=1/2, rezultă 30°. Raționalizarea expresiei √3/√6 trebuie făcută cu atenție.

Avem a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, deci a=2√7. Dacă semnul valorii cos120°=−1/2 este luat pozitiv, rezultă a²=12, adică 2√3, iar dacă termenul de corecție este uitat, rezultă a²=20, adică 2√5.

Cel mai mare unghi este opus celei mai lungi laturi, 4. Avem cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Fiind negativ, cel mai mare unghi este obtuz. Valorile 7/8 și 11/16 sunt cosinusurile celorlalte două unghiuri și apar când latura cea mai mare este identificată greșit.

Unghiul θ opus laturii celei mai lungi, 7, are cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2, deci θ=120°. Din teorema sinusurilor, 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3, deci R=7/√3=7√3/3. Valoarea 14√3/3 este 2R și nu trebuie dată drept R.

Aflarea celei de-a treia laturi din două laturi și unghiul dintre ele este utilizarea tipică a teoremei cosinusului, a²=b²+c²−2bc·cosA. Teorema sinusurilor se folosește atunci când se cunoaște o pereche formată dintr-o latură și unghiul opus ei. Teorema lui Pitagora se aplică numai triunghiurilor dreptunghice.

Avem S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Dacă se uită factorul 1/2 se obține 20√3. Dacă valoarea sin60°=√3/2 este confundată cu 1/2, adică sin30°, se obține 10.

Din S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 rezultă sinθ=1/2. Cum θ este ascuțit, θ=30°. Pentru a nu răspunde 60° pornind de la sinθ=1/2, prin confuzie cu sin60°=√3/2, valorile unghiurilor remarcabile trebuie știute exact.

Avem S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6. Se folosește pur și simplu sin135°=√2/2, care este pozitiv. Valoarea 6√2 apare când se uită înmulțirea cu sin135°, 12 când se uită factorul (1/2), iar 3√2 când sin135° este luat greșit ca 1/2.

Din teorema cosinusului, cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, deci sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Atunci S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. Verificarea se poate face și cu formula lui Heron: s=9 și S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.

Din S=(1/2)r(a+b+c) rezultă 6√6=(1/2)r·18=9r, deci r=6√6/9=2√6/3. Dacă se uită împărțirea perimetrului 18 la doi și se scrie 18r, se obține √6/3. Procedeul standard este să se afle mai întâi aria și abia apoi r.

Aria este S=(1/2)·3·4=6. Din S=(1/2)r(3+4+5)=6r rezultă r=1. Pentru un triunghi dreptunghic se poate folosi și formula r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1, unde c este ipotenuza.

Înălțimea este h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3, adică aproximativ 6.9m. Confuzia cu tan60°=√3 duce la 12√3. Forma de bază a problemelor cu unghi de înălțare este înălțime = distanță orizontală × tangenta unghiului de înălțare.

Piciorul perpendicularei coborâte din vârf pe bază este centrul de greutate al triunghiului echilateral de la bază, iar distanța de la un vârf al bazei la centrul de greutate este 6/√3=2√3. Înălțimea este h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. Distanța până la centrul de greutate nu trebuie confundată cu lungimea medianei, 3√3.

Aria bazei este (√3/4)·36=9√3, iar înălțimea este 2√6, deci V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Dacă se uită factorul 1/3 se obține 54√2. Se poate verifica și cu formula V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2.

Din teorema sinusurilor, a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. Notând a=7k, b=5k și c=3k, obținem cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, deci A=120°. Punctul cheie este că raportul sinusurilor poate fi transformat în raportul laturilor.