圖形與測量：三角比（數學Ⅰ，日本高中必修的第一門數學）

在邊長比 1:2:√3 的直角三角形中，30° 的對邊是斜邊的一半，所以 sin30°=1/2。√3/2 是 cos30°、√2/2 是 sin45°、√3/3 是 tan30° 的值，很容易混淆，建議整張表一起記。

在等腰直角三角形（邊長比 1:1:√2）中，cos45°=1/√2=√2/2。1/2 是 cos60°、√3/2 是 cos30° 的值。45° 的特色是 sin 與 cos 同為 √2/2。

在邊長比 1:2:√3 的直角三角形中，60° 的對邊是 √3、鄰邊是 1，所以 tan60°=√3。√3/3 是 tan30°，把對邊與鄰邊顛倒就會出現這個錯誤。√3/2 則是 sin60° 的值。

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2。在 90°<θ<180° 時 sin 仍為正，所以加上負號寫成 −√3/2 是錯的。1/2 是 sin30°（也就是 cos60°）的值。

cos135°=−cos45°=−√2/2。要注意 cos 在 180°−θ 時符號會改變。最常見的錯誤是忘了加負號而寫成 √2/2。−√3/2 則是 cos150° 的值。

tan150°=−tan30°=−√3/3。tan 在鈍角時為負。忘了符號會得到 √3/3；把 tan30° 與 tan60° 弄混則會得到 −√3。

sin 是（對邊）/（斜邊）。斜邊是最長的 5，角 A 的對邊是 3，所以 sinA=3/5。4/5 是 cosA、3/4 是 tanA。先在圖上確認哪一邊是對邊、哪一邊是鄰邊，再列比值。

tan 是（對邊）/（鄰邊）。角 A 的對邊是 3、鄰邊是 4，所以 tanA=3/4。寫成上下顛倒的 4/3 是常見錯誤。3/5 是 sinA、4/5 是 cosA 的值。

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9。因為 θ 是銳角，所以 cosθ=√(8/9)=2√2/3。直接答 8/9 是忘了開根號；√2/3 則來自 √8=2√2 的計算錯誤。

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16。在 90°<θ<180° 時 sinθ>0，所以 sinθ=√15/4。因為 cos 是負的就連 sin 也寫成負的，是典型錯誤。15/16 則是忘了開根號。

cos²θ=1−4/9=5/9，因為是鈍角，所以 cosθ=−√5/3。tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5。把 cos 的符號取成正的，就會得到 2√5/5 這個錯誤答案。

由 90°−θ 的公式 sin(90°−θ)=cosθ，得 sin55°=sin(90°−35°)=cos35°。意思是在直角三角形的兩個銳角（35° 與 55°）之間看同一組邊的比值時，sin 與 cos 會互換。

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2。用 180°−θ 的公式時，cos 的符號會改變。−1/2 是 cos120°、−√2/2 是 cos135° 的值，要注意別把當基準的銳角弄錯。

由 1+tan²θ=1/cos²θ 得 1/cos²θ=1+4=5，即 cos²θ=1/5。因為是銳角，所以 cosθ=1/√5=√5/5。1/5 是忘了開根號；2√5/5 則是 sinθ 的值。

兩邊平方得 sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4。代入 sin²θ+cos²θ=1 得 1+2sinθcosθ=1/4，所以 sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8。漏掉負號會得到 3/8，忘了除以 2 會得到 −3/4。

由正弦定理，2R=a/sinA=4÷(1/2)=8，所以 R=4。直接把 2R=8 當成答案就會誤答 8。使用時機的基本原則是：有互相對應的邊與角成對出現，就用正弦定理。

由正弦定理 a/sinA=b/sinB 得 b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3。√6/2 是忘了除以 sinA、只算 b=a·sinB 時的值。兩角一邊就用正弦定理。

由餘弦定理 a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19，所以 a=√19。忘了 −2bc·cosA 會得到 √34；把符號取成 + 則會得到 a²=49，誤答 7。

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2，所以 A=120°。把分子的符號弄錯而得到 1/2，就會誤答 60°。另外 cos135°=−√2/2、cos150°=−√3/2，別和這些值混淆。

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2，所以 A=60°。別和 cos30°=√3/2、cos45°=√2/2 混淆。三邊齊全時就用餘弦定理求 cos 的形式。

由正弦定理，sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2。因為 A 是銳角，所以 A=45°。誤算成 sinA=1/2 就會答成 30°。要仔細做 √3/√6 的有理化。

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28，所以 a=2√7。把 cos120°=−1/2 的符號誤取為正，會得到 a²=12 即 2√3；忘掉修正項則會得到 a²=20 即 2√5。

最大角是最長邊 4 所對的角。cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4。值為負，表示最大角是鈍角。7/8 與 11/16 是另外兩角的餘弦，把最長邊弄錯就會得到它們。

最長邊 7 所對的角 θ 滿足 cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2，故 θ=120°。由正弦定理 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3，所以 R=7/√3=7√3/3。別把 2R 的值 14√3/3 當成 R。

由兩邊與夾角求剩下的邊，正是餘弦定理 a²=b²+c²−2bc·cosA 的典型用法。正弦定理用在已知互相對應的邊與角成對出現的時候。畢氏定理則只適用於直角三角形。

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3。忘了乘 1/2 會得到 20√3。把 sin60°=√3/2 誤成 1/2（即 sin30°）則會得到 10。

由 S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 得 sinθ=1/2。因為 θ 是銳角，所以 θ=30°。別把 sinθ=1/2 誤看成 60°（那是 sin60°=√3/2），特殊角的值要記正確。

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6。sin135°=√2/2 是正值，直接用即可。6√2 是忘了乘 sin135°；12 是忘了乘 (1/2)；3√2 則是把 sin135° 誤成 1/2。

由餘弦定理 cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7，故 sinA=√(1−25/49)=2√6/7。S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6。用海龍公式也能驗算：s=9，S=√(9·4·3·2)=√216=6√6。

由 S=(1/2)r(a+b+c) 得 6√6=(1/2)r·18=9r，所以 r=6√6/9=2√6/3。忘了把周長 18 取一半而寫成 18r，就會得到 √6/3。先求面積再求 r 是標準流程。

面積 S=(1/2)·3·4=6。由 S=(1/2)r(3+4+5)=6r 得 r=1。直角三角形也可以用 r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1 求得（c 為斜邊）。

高度 h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3（約 6.9m）。把它和 tan60°=√3 弄混就會得到 12√3。仰角問題的基本形是：高度＝水平距離×tan(仰角)。

從頂點向底面作垂線，垂足是底面正三角形的重心，而頂點到重心的距離為 6/√3=2√3。高 h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6。別把到重心的距離和中線長 3√3 弄混。

底面積為 (√3/4)·36=9√3，高為 2√6，所以 V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2。忘了乘 1/3 會得到 54√2。用公式 V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 也能確認。

由正弦定理，a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3。設 a=7k、b=5k、c=3k，則 cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2，所以 A=120°。關鍵就在於 sin 的比可以直接換成邊長的比。