도형과 계량: 삼각비 (수학Ⅰ: 일본 고교 수학 I)

1:2:√3 의 직각삼각형에서 30° 의 대변은 빗변의 절반이므로 sin30°=1/2 이다. √3/2 는 cos30°, √2/2 는 sin45°, √3/3 은 tan30° 의 값이며, 혼동하기 쉬우므로 표째로 외운다.

직각이등변삼각형(1:1:√2)에서 cos45°=1/√2=√2/2 이다. 1/2 은 cos60°, √3/2 는 cos30° 의 값이다. 45° 는 sin 과 cos 이 같은 값 √2/2 가 되는 것이 특징이다.

1:2:√3 의 직각삼각형에서 60° 의 대변은 √3, 이웃변은 1 이므로 tan60°=√3 이다. √3/3 은 tan30° 이며, 대변과 이웃변을 뒤바꾸면 생기는 오답이다. √3/2 는 sin60° 의 값이다.

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2 이다. sin 은 90°<θ<180° 에서도 양수이므로 −√3/2 처럼 부호를 붙이는 것은 잘못이다. 1/2 은 sin30°(cos60°)의 값이다.

cos135°=−cos45°=−√2/2 이다. cos 은 180°−θ 에서 부호가 바뀌는 점에 주의한다. 부호를 붙이는 것을 잊은 √2/2 가 가장 많은 오답이다. −√3/2 는 cos150° 의 값이다.

tan150°=−tan30°=−√3/3 이다. tan 은 둔각에서 음수가 된다. 부호를 잊으면 √3/3, tan30° 와 tan60° 를 혼동하면 −√3 이라는 오답이 된다.

sin 은 (대변)/(빗변)이다. 빗변은 가장 긴 5 이고 각 A 의 대변은 3 이므로 sinA=3/5 이다. 4/5 는 cosA, 3/4 는 tanA 이다. 어느 변이 대변이고 이웃변인지 그림으로 확인한 뒤 비를 만든다.

tan 은 (대변)/(이웃변)이다. 각 A 의 대변은 3, 이웃변은 4 이므로 tanA=3/4 이다. 뒤집어서 4/3 으로 하는 오답이 많다. 3/5 는 sinA, 4/5 는 cosA 의 값이다.

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9 이다. θ 는 예각이므로 cosθ=√(8/9)=2√2/3 이다. 8/9 그대로 답하는 것은 √ 를 씌우는 것을 잊은 것이고, √2/3 은 √8=2√2 의 계산 실수에서 나온다.

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16 이다. 90°<θ<180° 에서는 sinθ>0 이므로 sinθ=√15/4 이다. cos 이 음수라고 해서 sin 까지 음수로 만드는 것이 전형적인 오답이다. 15/16 은 √ 를 씌우는 것을 잊은 것이다.

cos²θ=1−4/9=5/9 이고 둔각이므로 cosθ=−√5/3 이다. tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5 이다. cos 의 부호를 양수로 하면 2√5/5 라는 오답이 된다.

90°−θ 의 공식 sin(90°−θ)=cosθ 에 의해 sin55°=sin(90°−35°)=cos35° 이다. 직각삼각형의 두 예각(35° 와 55°)에서 같은 변의 비를 보면 sin 과 cos 이 서로 바뀐다는 뜻이다.

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2 이다. 180°−θ 의 공식에서 cos 은 부호가 바뀐다. −1/2 은 cos120°, −√2/2 는 cos135° 의 값이므로 기준이 되는 예각을 틀리지 않도록 한다.

1+tan²θ=1/cos²θ 에서 1/cos²θ=1+4=5, 즉 cos²θ=1/5 이다. 예각이므로 cosθ=1/√5=√5/5 이다. 1/5 은 √ 를 씌우는 것을 잊은 것이고, 2√5/5 는 sinθ 의 값이다.

양변을 제곱하면 sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4 이다. sin²θ+cos²θ=1 을 대입하면 1+2sinθcosθ=1/4 이므로 sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8 이다. 부호를 빠뜨리면 3/8, 2 로 나누는 것을 잊으면 −3/4 가 된다.

사인법칙에 의해 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8 이다. 따라서 R=4 이다. 2R=8 을 그대로 답하면 8 이라는 오답이 된다. '마주 보는 변과 각의 짝이 있으면 사인법칙'이 사용 구분의 기본이다.

사인법칙 a/sinA=b/sinB 에 의해 b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3 이다. √6/2 는 sinA 로 나누는 것을 잊고 b=a·sinB 로 했을 때의 값이다. 각 두 개와 변 하나가 주어지면 사인법칙이다.

코사인법칙에 의해 a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19 이므로 a=√19 이다. −2bc·cosA 를 잊으면 √34, 부호를 +로 하면 a²=49 가 되어 7 이라는 오답이 된다.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2 이다. 따라서 A=120° 이다. 분자의 부호를 틀려 1/2 로 하면 60° 가 된다. cos135°=−√2/2, cos150°=−√3/2 이므로 이 값들과 혼동하지 않도록 한다.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2 이다. 따라서 A=60° 이다. cos30°=√3/2, cos45°=√2/2 와 혼동하지 않는다. 세 변이 다 주어지면 코사인법칙의 cos 꼴을 쓴다.

사인법칙에 의해 sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2 이다. A 는 예각이므로 A=45° 이다. sinA=1/2 로 잘못 보면 30° 가 된다. √3/√6 의 유리화를 꼼꼼히 한다.

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28 이다. 따라서 a=2√7 이다. cos120°=−1/2 의 부호를 양수로 잘못 보면 a²=12 로 2√3 이 되고, 보정항을 잊으면 a²=20 으로 2√5 가 된다.

최대각은 최대변 4 의 맞은편 각이다. cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4 이다. 음수이므로 최대각은 둔각이다. 7/8 과 11/16 은 나머지 두 각의 코사인으로, 최대변을 잘못 잡으면 나온다.

최대변 7 의 맞은편 각 θ 는 cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2 이므로 120° 이다. 사인법칙에 의해 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3 이므로 R=7/√3=7√3/3 이다. 2R 의 값인 14√3/3 을 R 이라고 답하지 않도록 한다.

두 변과 끼인각으로 나머지 변을 구하는 것은 코사인법칙 a²=b²+c²−2bc·cosA 의 전형적인 사용법이다. 사인법칙은 '마주 보는 변과 각의 짝'을 알고 있을 때 쓴다. 피타고라스 정리는 직각삼각형 전용이다.

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3 이다. 1/2 을 곱하는 것을 잊으면 20√3 이 된다. sin60°=√3/2 를 1/2(sin30°)로 잘못 보면 10 이 된다.

S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 에서 sinθ=1/2 이다. θ 는 예각이므로 θ=30° 이다. sinθ=1/2 에서 60°(sin60°=√3/2 와 혼동) 라고 하지 않도록 유명각의 값을 정확히 익힌다.

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6 이다. sin135°=√2/2(양수)를 그대로 쓰면 된다. 6√2 는 sin135° 를 곱하는 것을 잊은 실수, 12 는 (1/2) 을 곱하는 것을 잊은 실수, 3√2 는 sin135° 를 1/2 로 잘못 본 실수이다.

코사인법칙으로 cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, sinA=√(1−25/49)=2√6/7 이다. S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6 이다. 헤론의 공식으로도 s=9, S=√(9·4·3·2)=√216=6√6 으로 검산할 수 있다.

S=(1/2)r(a+b+c) 에서 6√6=(1/2)r·18=9r 이다. 따라서 r=6√6/9=2√6/3 이다. 둘레의 길이 18 을 절반으로 하는 것을 잊고 18r 로 하면 √6/3 이 된다. 넓이를 구한 뒤 r 을 구하는 순서가 정석이다.

넓이 S=(1/2)·3·4=6 이다. S=(1/2)r(3+4+5)=6r 에서 r=1 이다. 직각삼각형에서는 r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1(c 는 빗변)로도 구할 수 있다.

높이 h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3(약 6.9m)이다. tan60°=√3 과 혼동하면 12√3 이 된다. 앙각 문제는 '높이=수평거리×tan(앙각)'이 기본형이다.

꼭짓점에서 밑면에 내린 수선의 발은 밑면 정삼각형의 무게중심이고, 꼭짓점에서 무게중심까지의 거리는 6/√3=2√3 이다. 높이 h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6 이다. 무게중심까지의 거리를 중선의 길이 3√3 과 혼동하지 않도록 한다.

밑넓이는 (√3/4)·36=9√3 이고 높이는 2√6 이므로 V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2 이다. 1/3 을 곱하는 것을 잊으면 54√2 가 된다. 공식 V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 로도 확인할 수 있다.

사인법칙에 의해 a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3 이다. a=7k, b=5k, c=3k 로 놓으면 cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2 이다. 따라서 A=120° 이다. sin 의 비는 변의 비로 바꿀 수 있다는 것이 급소이다.