Hình học và đo lường: tỉ số lượng giác (数学Ⅰ, tức Toán I bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Trong tam giác vuông có tỉ lệ cạnh 1:2:√3, cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền nên sin30°=1/2. Giá trị √3/2 là cos30°, √2/2 là sin45°, √3/3 là tan30°, rất dễ lẫn nên hãy học thuộc cả bảng giá trị.

Trong tam giác vuông cân với tỉ lệ cạnh 1:1:√2, ta có cos45°=1/√2=√2/2. Giá trị 1/2 là cos60°, còn √3/2 là cos30°. Nét đặc trưng của góc 45° là sin và cos bằng nhau, cùng bằng √2/2.

Trong tam giác vuông có tỉ lệ cạnh 1:2:√3, cạnh đối diện góc 60° bằng √3 và cạnh kề bằng 1, nên tan60°=√3. Giá trị √3/3 là tan30°, xuất hiện khi lẫn lộn cạnh đối với cạnh kề. Còn √3/2 là sin60°.

Ta có sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Vì sin vẫn dương khi 90°<θ<180° nên gắn thêm dấu trừ thành −√3/2 là sai. Giá trị 1/2 là sin30°, cũng bằng cos60°.

Ta có cos135°=−cos45°=−√2/2. Cần chú ý cos đổi dấu khi lấy 180°−θ. Lỗi hay gặp nhất là quên dấu trừ và trả lời √2/2. Giá trị −√3/2 là cos150°.

Ta có tan150°=−tan30°=−√3/3, vì tan mang dấu âm với góc tù. Quên dấu trừ sẽ ra √3/3, còn lẫn lộn tan30° với tan60° sẽ ra −√3.

Ta có sin bằng cạnh đối chia cạnh huyền. Cạnh huyền là cạnh dài nhất, bằng 5, và cạnh đối của góc A bằng 3, nên sinA=3/5. Giá trị 4/5 là cosA, còn 3/4 là tanA. Hãy nhìn hình để xác định cạnh đối và cạnh kề trước khi lập tỉ số.

Ta có tan bằng cạnh đối chia cạnh kề. Cạnh đối của góc A bằng 3 và cạnh kề bằng 4, nên tanA=3/4. Lỗi hay gặp là lật ngược thành 4/3. Giá trị 3/5 là sinA, còn 4/5 là cosA.

Ta có cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Vì θ là góc nhọn nên cosθ=√(8/9)=2√2/3. Trả lời 8/9 là quên lấy căn, còn √2/3 sinh ra từ việc tính sai √8=2√2.

Ta có sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Với 90°<θ<180° thì sinθ>0 nên sinθ=√15/4. Lỗi điển hình là thấy cos âm rồi cho sin âm theo. Giá trị 15/16 là do quên lấy căn.

Ta có cos²θ=1−4/9=5/9, và vì là góc tù nên cosθ=−√5/3. Do đó tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Nếu để cos mang dấu dương thì sẽ ra kết quả sai 2√5/5.

Theo công thức sin(90°−θ)=cosθ, ta có sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Ý nghĩa là khi nhìn cùng một tỉ số cạnh từ hai góc nhọn của tam giác vuông, ở đây là 35° và 55°, thì sin và cos đổi chỗ cho nhau.

Ta có cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2, vì với công thức 180°−θ thì cos đổi dấu. Giá trị −1/2 là cos120°, còn −√2/2 là cos135°, nên đừng chọn nhầm góc nhọn làm gốc.

Từ 1+tan²θ=1/cos²θ suy ra 1/cos²θ=1+4=5, tức cos²θ=1/5. Vì θ là góc nhọn nên cosθ=1/√5=√5/5. Trả lời 1/5 là quên lấy căn, còn 2√5/5 là giá trị của sinθ.

Bình phương hai vế được sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. Thay sin²θ+cos²θ=1 vào được 1+2sinθcosθ=1/4, nên sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Bỏ mất dấu trừ sẽ ra 3/8, còn quên chia cho 2 sẽ ra −3/4.

Theo định lý sin, 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, do đó R=4. Nếu trả lời thẳng giá trị 2R=8 thì sai. Nguyên tắc chọn công cụ: có sẵn một cặp cạnh và góc đối diện nhau thì dùng định lý sin.

Theo định lý sin a/sinA=b/sinB, ta có b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. Giá trị √6/2 là kết quả khi quên chia cho sinA và chỉ viết b=a·sinB. Biết hai góc và một cạnh thì dùng định lý sin.

Theo định lý côsin, a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, nên a=√19. Quên số hạng −2bc·cosA sẽ ra √34, còn đổi dấu thành cộng sẽ cho a²=49 tức kết quả sai 7.

Ta có cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, nên A=120°. Sai dấu ở tử số sẽ cho 1/2 và dẫn tới 60°. Vì cos135°=−√2/2 và cos150°=−√3/2 nên đừng lẫn với các giá trị này.

Ta có cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, nên A=60°. Đừng lẫn với cos30°=√3/2 và cos45°=√2/2. Khi đã biết đủ ba cạnh thì dùng dạng cos của định lý côsin.

Theo định lý sin, sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. Vì A là góc nhọn nên A=45°. Tính nhầm thành sinA=1/2 sẽ cho 30°. Cần trục căn thức của √3/√6 thật cẩn thận.

Ta có a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, nên a=2√7. Lấy nhầm cos120°=−1/2 thành số dương sẽ cho a²=12 tức 2√3, còn quên hẳn số hạng hiệu chỉnh sẽ cho a²=20 tức 2√5.

Góc lớn nhất là góc đối diện cạnh lớn nhất, tức cạnh 4. Ta có cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Vì âm nên góc lớn nhất là góc tù. Các giá trị 7/8 và 11/16 là côsin của hai góc còn lại, xuất hiện khi chọn nhầm cạnh lớn nhất.

Góc θ đối diện cạnh lớn nhất 7 có cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2, nên θ=120°. Theo định lý sin, 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3, do đó R=7/√3=7√3/3. Đừng trả lời giá trị của 2R là 14√3/3 thay cho R.

Tính cạnh còn lại từ hai cạnh và góc xen giữa chính là cách dùng tiêu biểu của định lý côsin a²=b²+c²−2bc·cosA. Định lý sin dùng khi đã biết một cặp cạnh và góc đối diện nhau. Định lý Pythagore chỉ dùng cho tam giác vuông.

Ta có S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Quên nhân 1/2 sẽ ra 20√3. Lấy nhầm sin60°=√3/2 thành 1/2, tức giá trị của sin30°, sẽ ra 10.

Từ S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 suy ra sinθ=1/2. Vì θ là góc nhọn nên θ=30°. Đừng từ sinθ=1/2 mà kết luận 60°, đó là do nhầm với sin60°=√3/2, nên phải nhớ chính xác giá trị của các góc đặc biệt.

Ta có S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6, tức chỉ cần dùng giá trị dương sin135°=√2/2. Kết quả 6√2 là lỗi quên nhân sin135°, 12 là lỗi quên nhân 1/2, còn 3√2 là lỗi lấy sin135° bằng 1/2.

Theo định lý côsin, cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, nên sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Do đó S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. Cũng có thể kiểm tra bằng công thức Heron với s=9: S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.

Từ S=(1/2)r(a+b+c) ta có 6√6=(1/2)r·18=9r, do đó r=6√6/9=2√6/3. Nếu quên chia đôi chu vi 18 mà viết 18r thì sẽ ra √6/3. Cách làm chuẩn là tính diện tích trước rồi mới suy ra r.

Diện tích S=(1/2)·3·4=6. Từ S=(1/2)r(3+4+5)=6r suy ra r=1. Với tam giác vuông còn có thể dùng r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1, trong đó c là cạnh huyền.

Chiều cao h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3, khoảng 6,9 m. Lẫn với tan60°=√3 sẽ ra 12√3. Dạng cơ bản của bài toán góc nâng là chiều cao bằng khoảng cách ngang nhân tan của góc nâng.

Chân đường vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy là trọng tâm của tam giác đều đáy, và khoảng cách từ đỉnh của đáy tới trọng tâm bằng 6/√3=2√3. Chiều cao h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. Đừng lẫn khoảng cách tới trọng tâm với độ dài đường trung tuyến 3√3.

Diện tích đáy bằng (√3/4)·36=9√3 và chiều cao bằng 2√6, nên V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Quên nhân 1/3 sẽ ra 54√2. Cũng có thể kiểm tra bằng công thức V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2.

Theo định lý sin, a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. Đặt a=7k, b=5k, c=3k thì cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, nên A=120°. Mấu chốt là tỉ lệ các sin chuyển được thành tỉ lệ các cạnh.