問1｜sin30°
sin30° の値はどれか。
- √3/2
- 1/2
- √2/2
- √3/3
正解と解説
正解：B. 1/2
1:2:√3 の直角三角形で、30° の対辺は斜辺の半分なので sin30°=1/2。√3/2 は cos30°、√2/2 は sin45°、√3/3 は tan30° の値であり、混同しやすいので表ごと覚える。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
高校数学 HIGH SCHOOL MATH
図形と計量（三角比）
この章で学ぶこと
- sin・cos・tan の定義と有名角の値、sin²θ+cos²θ=1 などの相互関係、90°−θ・180°−θ の公式の使い方が分かります。
- 外接円と結びつく正弦定理、3辺と1角を結ぶ余弦定理の使い方と、「どちらを使うか」の判断基準が分かります。
- 面積公式 S=(1/2)bc·sinA、内接円の半径を求める S=(1/2)r(a+b+c)、測量や空間図形への応用が分かります。
1. 三角比の定義と相互関係
sin・cos・tan の定義と有名角の値、sin²θ+cos²θ=1 などの相互関係、90°−θ・180°−θ の公式の使い方が分かります。
直角三角形で、1つの鋭角 θ に注目すると、辺の比は三角形の大きさによらず θ だけで決まります。斜辺に対する対辺（θ の向かい側の辺）の比を sinθ（正弦）、斜辺に対する隣辺の比を cosθ（余弦）、隣辺に対する対辺の比を tanθ（正接）といいます。「斜辺・対辺・隣辺のどれとどれの比か」をまず図で確認するのが第一歩です。
鈍角まで広げるときは、原点中心・半径 r の円（半円）の上に角 θ の動径をとり、その先端の座標を (x, y) として sinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/x と定義し直します。90°<θ<180° では x が負になるので、cosθ と tanθ は負、sinθ は正のままです。この「第2象限では cos と tan が負」という符号の感覚が、鈍角の三角比を間違えないコツです。
有名角 30°・45°・60° の値は、正三角形を半分にした 1:2:√3 の直角三角形と、直角二等辺三角形 1:1:√2 から読み取れます。たとえば sin30°=1/2、cos30°=√3/2、tan45°=1 です。120°・135°・150° の値は、180°−θ の公式（sin(180°−θ)=sinθ、cos(180°−θ)=−cosθ、tan(180°−θ)=−tanθ）で 60°・45°・30° の値に直して求めます。たとえば cos135°=−cos45°=−√2/2 です。
3つの三角比は独立ではなく、tanθ=sinθ/cosθ、sin²θ+cos²θ=1、1+tan²θ=1/cos²θ という相互関係で結ばれています。sin²θ+cos²θ=1 は、円の上の点 (x, y) が x²+y²=r² を満たすこと（三平方の定理）そのものです。1つの三角比の値が分かれば、これらの式で残り2つを計算できます。ただし 90°<θ<180° のときは cosθ・tanθ の符号を負にすることを忘れないでください。
90°−θ の公式（sin(90°−θ)=cosθ、cos(90°−θ)=sinθ、tan(90°−θ)=1/tanθ）は、直角三角形のもう一方の鋭角から同じ辺の比を見ると sin と cos が入れかわる、という意味です。sin55° を cos35° に直すように、45° 以下の角の三角比に直すときに使います。表やテストでは「90° をこえたら 180°−θ、90° 未満どうしの言いかえは 90°−θ」と整理しておくと迷いません。
| θ | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| cosθ | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −√2/2 | −√3/2 |
| tanθ | √3/3 | 1 | √3 | なし | −√3 | −1 | −√3/3 |
定義: sinθ=対辺/斜辺 cosθ=隣辺/斜辺 tanθ=対辺/隣辺相互関係①: sin²θ+cos²θ=1相互関係②: tanθ=sinθ/cosθ相互関係③: 1+tan²θ=1/cos²θ90°−θ: sin(90°−θ)=cosθ cos(90°−θ)=sinθ180°−θ: sin(180°−θ)=sinθ cos(180°−θ)=−cosθ
用語
- 正弦（sin）
- 直角三角形で（対辺）/（斜辺）。座標では y/r。0°<θ<180° の範囲ではつねに正の値をとる。
- 余弦（cos）
- 直角三角形で（隣辺）/（斜辺）。座標では x/r。鈍角では x が負になるため cosθ は負になる。
- 正接（tan）
- （対辺）/（隣辺）= sinθ/cosθ。座標では y/x。傾きと同じ意味をもち、鈍角では負になる。
- 相互関係
- sin²θ+cos²θ=1、tanθ=sinθ/cosθ、1+tan²θ=1/cos²θ の3つ。1つの値から残りの三角比を求めるときに使う。
- 180°−θ の公式
- sin(180°−θ)=sinθ、cos(180°−θ)=−cosθ、tan(180°−θ)=−tanθ。鈍角の三角比を鋭角の値に直す公式。
- 90°−θ の公式
- sin(90°−θ)=cosθ、cos(90°−θ)=sinθ。直角三角形のもう一方の鋭角から見ると sin と cos が入れかわることを表す。
例題
例題：θ が鋭角で sinθ=3/5 のとき、cosθ と tanθ を求めよ。
答えと考え方 cos²θ=1−(3/5)²=16/25。θ は鋭角なので cosθ=4/5。tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)÷(4/5)=3/4。3:4:5 の直角三角形を思い浮かべてもよい。
例題：sin135° の値を求めよ。
答えと考え方 sin135°=sin(180°−45°)=sin45°=√2/2。sin は 180°−θ でそのまま、cos と tan は符号が変わる、と覚える。
例題：90°<θ<180° で cosθ=−3/5 のとき、sinθ を求めよ。
答えと考え方 sin²θ=1−9/25=16/25。この範囲では sinθ>0 なので sinθ=4/5。cos が負でも sin は正のままである点に注意。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
2. 正弦定理と余弦定理
外接円と結びつく正弦定理、3辺と1角を結ぶ余弦定理の使い方と、「どちらを使うか」の判断基準が分かります。
三角形 ABC では、頂点 A・B・C の角を A・B・C、その向かい側の辺の長さを a・b・c と書く約束です。正弦定理は a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R は外接円の半径）という定理で、「辺とその向かいの角の sin の比は一定で、その値は外接円の直径」という意味です。円周角の定理から導かれ、辺 a を直径 2R の円で見ると a=2R sinA になっています。
正弦定理が使えるのは、「1辺とその向かいの角」のペアが分かっているときです。たとえば a と A が分かれば外接円の半径 R が求まり、さらにもう1つ角が分かれば残りの辺も比の計算で求められます。角度2つと辺1つが与えられる問題は、まず正弦定理を疑ってください。
余弦定理は a²=b²+c²−2bc·cosA という定理です。A=90° のときは cosA=0 となって三平方の定理 a²=b²+c² になるので、「三平方の定理に角度のずれを補正する項 −2bc·cosA を付けたもの」と理解できます。A が鋭角なら a² は b²+c² より小さく、鈍角なら大きくなります。
余弦定理の使い道は2つあります。①2辺とその間の角（はさむ角）から残りの辺を求める。②3辺から角を求める（cosA=(b²+c²−a²)/2bc に変形して使う）。特に②で cosA の値が負になれば A は鈍角です。3辺の長さがそろっている問題・はさむ角が与えられた問題は余弦定理、と覚えます。
使い分けの目安をまとめると、「向かい合う辺と角のペアがある・外接円が出てくる→正弦定理」「2辺とはさむ角・3辺が分かっている→余弦定理」です。どちらも三角形の合同条件（2角1辺、2辺夾角、3辺）に対応していて、三角形が1つに決まる情報がそろえば残りの要素は必ず計算で求められる、というのが2つの定理の役割です。
| 分かっている条件 | 使う定理 | 求まるもの |
|---|---|---|
| 1辺とその向かいの角（+もう1つの角） | 正弦定理 | 外接円の半径 R・残りの辺 |
| 外接円の半径 R と1つの角 | 正弦定理 | その角の向かいの辺 |
| 2辺とそのはさむ角 | 余弦定理 | 残りの辺 |
| 3辺すべて | 余弦定理（cos の形） | 各角の余弦 → 角の大きさ |
| 2辺と（はさまない）1角 | 正弦定理または余弦定理 | 残りの角・辺（解が2つの場合あり） |
正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R余弦定理: a² = b² + c² − 2bc·cosA角を求める形: cosA = (b² + c² − a²) / 2bcA=90° のとき cosA=0 → a²=b²+c²（三平方の定理）
用語
- 正弦定理
- a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。辺とその向かいの角の sin の比が外接円の直径 2R に等しいという定理。
- 余弦定理
- a²=b²+c²−2bc·cosA。2辺とはさむ角から残りの辺を求めたり、3辺から角の余弦を求めたりする定理。
- 外接円
- 三角形の3頂点をすべて通る円。半径 R は正弦定理 a/sinA=2R から求められる。
- はさむ角（夾角）
- 2辺の間にある角。余弦定理 a²=b²+c²−2bc·cosA の A は、辺 b と c にはさまれた角である。
- 鈍角の判定
- cosA=(b²+c²−a²)/2bc の符号で判定できる。分子 b²+c²−a² が負なら A は鈍角、0 なら直角。
例題
例題：△ABC で A=30°、a=5 のとき、外接円の半径 R を求めよ。
答えと考え方 正弦定理より 2R=a/sinA=5÷(1/2)=10。よって R=5。「向かい合う辺と角のペア→正弦定理」の典型。
例題：△ABC で b=2、c=3、A=60° のとき、a を求めよ。
答えと考え方 余弦定理より a²=4+9−2·2·3·(1/2)=13−6=7。よって a=√7。2辺とはさむ角→余弦定理。
例題：3辺が 5、6、7 の三角形で、最大の角は鋭角か鈍角か。
答えと考え方 最大角は最大辺 7 の向かい。cosθ=(25+36−49)/(2·5·6)=12/60=1/5>0 なので鋭角。分子の符号だけで判定できる。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
3. 面積・内接円・空間図形への応用
面積公式 S=(1/2)bc·sinA、内接円の半径を求める S=(1/2)r(a+b+c)、測量や空間図形への応用が分かります。
三角形の面積は S=(1/2)×底辺×高さ ですが、辺 b と c がはさむ角 A が分かっていれば、高さは b·sinA（または c·sinA）と書けるので、S=(1/2)bc·sinA という公式になります。「2辺とはさむ角の sin をかけて半分」です。角が鈍角でも sin は正なので、この式はそのまま使えます。
3辺だけが分かっている三角形の面積は、①余弦定理で cosA を求める → ②sin²A=1−cos²A で sinA を求める → ③S=(1/2)bc·sinA、という3段階で計算するのが基本です（ヘロンの公式 S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))、s=(a+b+c)/2 で検算できます）。
内接円（3辺すべてに接する円）の半径 r は、面積を使って求めます。内接円の中心 I と各頂点を結ぶと、三角形は高さがすべて r の3つの三角形に分かれるので、S=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr=(1/2)r(a+b+c) が成り立ちます。面積 S を先に求めてから r=2S/(a+b+c) と計算する流れが定番です。
測量への応用では、直接測れない高さや距離を三角比で求めます。水平方向から見上げる角を仰角、見下ろす角を俯角といい、水平距離 d と仰角 θ が分かれば高さは h=d·tanθ です。2地点から測るタイプでは、まず地上の三角形で正弦定理・余弦定理を使って距離を求め、それから tan で高さを出します。
空間図形では、立体の中から適切な三角形を取り出して、三平方の定理・余弦定理・面積公式を平面の場合と同じように使います。たとえば1辺 a の正四面体では、頂点から底面に下ろした垂線の足は底面（正三角形）の重心にあり、重心までの距離が a/√3 なので、高さは h=√(a²−a²/3)=a√(2/3) と求められます。体積は V=(1/3)×底面積×高さ です。
| 求めるもの | 公式 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 面積 | S=(1/2)bc·sinA | 2辺とはさむ角が分かっている |
| 面積（3辺） | S=√(s(s−a)(s−b)(s−c)) | 3辺だけ分かっている（ヘロン） |
| 内接円の半径 | r=2S/(a+b+c) | 面積と3辺が分かっている |
| 外接円の半径 | R=a/(2sinA) | 1辺とその向かいの角が分かっている |
| 高さ（測量） | h=d·tanθ | 水平距離 d と仰角 θ が分かっている |
面積: S = (1/2)bc·sinA内接円: S = (1/2)r(a+b+c) → r = 2S/(a+b+c)ヘロン: s=(a+b+c)/2, S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))測量: 高さ h = 水平距離 d × tanθ（θ は仰角）正四面体(1辺a): 高さ=a√6/3, 体積=(√2/12)a³
用語
- 面積公式
- S=(1/2)bc·sinA。2辺とそのはさむ角から面積を求める。sinA は鈍角でも正なのでそのまま使える。
- ヘロンの公式
- s=(a+b+c)/2 として S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))。3辺から直接面積を求める公式。検算に便利。
- 内接円
- 三角形の3辺すべてに接する円。半径 r は S=(1/2)r(a+b+c) から r=2S/(a+b+c) で求める。
- 仰角・俯角
- 水平方向から上に見上げる角が仰角、下に見下ろす角が俯角。高さ=水平距離×tan(仰角) が測量の基本。
- 正四面体
- 4つの面がすべて正三角形の立体。1辺 a のとき高さは a√6/3、体積は (√2/12)a³ になる。
例題
例題：2辺が 6、10 で、そのはさむ角が 30° の三角形の面積を求めよ。
答えと考え方 S=(1/2)·6·10·sin30°=30·(1/2)=15。sin30°=1/2 を掛け忘れて 30 としないこと。
例題：3辺が 3、4、5 の三角形の内接円の半径を求めよ。
答えと考え方 5²=3²+4² なので直角三角形。S=(1/2)·3·4=6。S=(1/2)r(3+4+5)=6r より r=1。
例題：木から水平に 15m 離れた地点で、木の先端の仰角が 30° だった。目の高さを無視すると木の高さは。
答えと考え方 h=15·tan30°=15/√3=5√3（約8.7m）。tan30°=√3/3 を使う。tan60°=√3 と混同しないこと。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
確認問題（35問）
問2｜cos45°
cos45° の値はどれか。
- 1/2
- √3/2
- √2/2
- 1
正解と解説
正解：C. √2/2
直角二等辺三角形（1:1:√2）で cos45°=1/√2=√2/2。1/2 は cos60°、√3/2 は cos30° の値。45° は sin と cos が同じ値 √2/2 になるのが特徴である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問3｜tan60°
tan60° の値はどれか。
- √3
- √3/3
- 1
- √3/2
正解と解説
正解：A. √3
1:2:√3 の直角三角形で、60° の対辺は √3、隣辺は 1 なので tan60°=√3。√3/3 は tan30° で、対辺と隣辺を逆にすると生じる誤り。√3/2 は sin60° の値である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問4｜sin120°
sin120° の値はどれか。
- −√3/2
- 1/2
- −1/2
- √3/2
正解と解説
正解：D. √3/2
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2。sin は 90°<θ<180° でも正なので、−√3/2 と符号を付けるのは誤り。1/2 は sin30°（cos60°）の値である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問5｜cos135°
cos135° の値はどれか。
- √2/2
- −√2/2
- −1/2
- −√3/2
正解と解説
正解：B. −√2/2
cos135°=−cos45°=−√2/2。cos は 180°−θ で符号が変わることに注意。符号を付け忘れた √2/2 が最も多い誤り。−√3/2 は cos150° の値である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問6｜tan150°
tan150° の値はどれか。
- √3/3
- −√3
- −√3/3
- √3
正解と解説
正解：C. −√3/3
tan150°=−tan30°=−√3/3。tan は鈍角で負になる。符号を忘れると √3/3、tan30° と tan60° を混同すると −√3 という誤りになる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問7｜sinの定義
3辺の長さが 3、4、5 の直角三角形で、長さ 3 の辺の向かいにある角を A とする。sinA の値はどれか。
- 3/5
- 4/5
- 3/4
- 4/3
正解と解説
正解：A. 3/5
sin は（対辺）/（斜辺）。斜辺は最も長い 5、角 A の対辺は 3 なので sinA=3/5。4/5 は cosA、3/4 は tanA。どの辺が対辺・隣辺かを図で確認してから比を作る。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問8｜tanの定義
3辺の長さが 3、4、5 の直角三角形で、長さ 3 の辺の向かいにある角を A とする。tanA の値はどれか。
- 3/5
- 4/5
- 4/3
- 3/4
正解と解説
正解：D. 3/4
tan は（対辺）/（隣辺）。角 A の対辺は 3、隣辺は 4 なので tanA=3/4。逆さの 4/3 にする誤りが多い。3/5 は sinA、4/5 は cosA の値である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問9｜sin→cos
θ は鋭角で sinθ=1/3 のとき、cosθ の値はどれか。
- √2/3
- 8/9
- 2√2/3
- 2/3
正解と解説
正解：C. 2√2/3
cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9。θ は鋭角なので cosθ=√(8/9)=2√2/3。8/9 のまま答えるのは √ のとり忘れ、√2/3 は √8=2√2 の計算ミスから生じる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問10｜鈍角のsin
90°<θ<180° で cosθ=−1/4 のとき、sinθ の値はどれか。
- −√15/4
- √15/4
- 15/16
- √3/4
正解と解説
正解：B. √15/4
sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16。90°<θ<180° では sinθ>0 なので sinθ=√15/4。cos が負だからと sin まで負にするのが典型的な誤り。15/16 は √ のとり忘れ。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問11｜鈍角のtan
90°<θ<180° で sinθ=2/3 のとき、tanθ の値はどれか。
- 2√5/5
- √5/2
- 2/3
- −2√5/5
正解と解説
正解：D. −2√5/5
cos²θ=1−4/9=5/9 で、鈍角なので cosθ=−√5/3。tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5。cos の符号を正にしてしまうと 2√5/5 という誤りになる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問12｜90°−θ
cos35° と値が等しいものはどれか。
- sin55°
- sin35°
- cos55°
- −sin55°
正解と解説
正解：A. sin55°
90°−θ の公式 sin(90°−θ)=cosθ より、sin55°=sin(90°−35°)=cos35°。直角三角形の2つの鋭角（35° と 55°）から同じ辺の比を見ると sin と cos が入れかわる、という意味である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問13｜cos150°
cos150° の値はどれか。
- √3/2
- −√3/2
- −1/2
- −√2/2
正解と解説
正解：B. −√3/2
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2。180°−θ の公式で cos は符号が変わる。−1/2 は cos120°、−√2/2 は cos135° の値であり、もとにする鋭角を間違えないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問14｜tanからcos
θ は鋭角で tanθ=2 のとき、cosθ の値はどれか。
- 1/5
- 2√5/5
- √5/5
- 1/2
正解と解説
正解：C. √5/5
1+tan²θ=1/cos²θ より 1/cos²θ=1+4=5、cos²θ=1/5。鋭角なので cosθ=1/√5=√5/5。1/5 は √ のとり忘れ、2√5/5 は sinθ の値である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問15｜対称式
sinθ+cosθ=1/2 のとき、sinθcosθ の値はどれか。
- 3/8
- 1/8
- −3/4
- −3/8
正解と解説
正解：D. −3/8
両辺を2乗すると sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4。sin²θ+cos²θ=1 を代入して 1+2sinθcosθ=1/4、sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8。符号を落とすと 3/8、2 で割り忘れると −3/4 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問16｜外接円半径
△ABC で A=30°、a=4 のとき、外接円の半径 R はどれか。
- 4
- 8
- 2
- 4√3
正解と解説
正解：A. 4
正弦定理より 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8。よって R=4。2R=8 をそのまま答えると 8 という誤りになる。「向かい合う辺と角のペアがあれば正弦定理」が使い分けの基本。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問17｜正弦定理b
△ABC で A=45°、B=60°、a=√2 のとき、b の値はどれか。
- √2
- √6/2
- √3
- 3
正解と解説
正解：C. √3
正弦定理 a/sinA=b/sinB より b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3。√6/2 は sinA で割り忘れて b=a·sinB としたときの値。角2つと辺1つ→正弦定理。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問18｜余弦定理辺
△ABC で b=3、c=5、A=60° のとき、a の値はどれか。
- √34
- √19
- 7
- 4
正解と解説
正解：B. √19
余弦定理より a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19、a=√19。−2bc·cosA を忘れると √34、符号を+にすると a²=49 で 7 という誤りになる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問19｜余弦定理角
△ABC で a=7、b=5、c=3 のとき、A の大きさはどれか。
- 60°
- 135°
- 150°
- 120°
正解と解説
正解：D. 120°
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2。よって A=120°。分子の符号を誤って 1/2 とすると 60° になる。cos135°=−√2/2、cos150°=−√3/2 なので、これらの値と混同しないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問20｜3辺から角
△ABC で a=√7、b=2、c=3 のとき、A の大きさはどれか。
- 60°
- 30°
- 120°
- 45°
正解と解説
正解：A. 60°
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2。よって A=60°。cos30°=√3/2、cos45°=√2/2 と混同しない。3辺がそろっていれば余弦定理の cos の形を使う。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問21｜正弦定理角
△ABC で b=√6、B=60°、a=2 のとき、A の大きさはどれか（A は鋭角とする）。
- 60°
- 30°
- 45°
- 15°
正解と解説
正解：C. 45°
正弦定理より sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2。A は鋭角なので A=45°。sinA=1/2 と誤ると 30° になる。√3/√6 の有理化を丁寧に行うこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問22｜鈍角はさむ
△ABC で b=2、c=4、A=120° のとき、a の値はどれか。
- 2√3
- 2√7
- 2√5
- 6
正解と解説
正解：B. 2√7
a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28。よって a=2√7。cos120°=−1/2 の符号を正と誤ると a²=12 で 2√3、補正項を忘れると a²=20 で 2√5 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問23｜最大角cos
3辺の長さが 2、3、4 の三角形で、最大の角の余弦の値はどれか。
- 1/4
- 7/8
- 11/16
- −1/4
正解と解説
正解：D. −1/4
最大角は最大辺 4 の向かいの角。cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4。負なので最大角は鈍角である。7/8 と 11/16 は他の2角の余弦で、最大辺を取り違えると生じる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問24｜3辺から R
3辺の長さが 3、5、7 の三角形の外接円の半径 R はどれか。
- 7√3/3
- 7√3
- 7/2
- 14√3/3
正解と解説
正解：A. 7√3/3
最大辺 7 の向かいの角 θ は cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2 より 120°。正弦定理より 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3、R=7/√3=7√3/3。2R の値 14√3/3 を R と答えないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問25｜使い分け
三角形の2辺の長さとそのはさむ角が分かっているとき、残りの辺の長さを求めるのに使う定理として最も適切なものはどれか。
- 三平方の定理
- 余弦定理
- 正弦定理
- 中点連結定理
正解と解説
正解：B. 余弦定理
2辺とはさむ角から残りの辺を求めるのは余弦定理 a²=b²+c²−2bc·cosA の典型的な使い方である。正弦定理は「向かい合う辺と角のペア」が分かっているときに使う。三平方の定理は直角三角形専用。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問26｜面積公式
2辺の長さが 5、8 で、そのはさむ角が 60° の三角形の面積はどれか。
- 20√3
- 10
- 10√3
- 5√3
正解と解説
正解：C. 10√3
S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3。1/2 を掛け忘れると 20√3 になる。sin60°=√3/2 を 1/2（sin30°）と誤ると 10 になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問27｜面積から角
2辺の長さが 7、8 の三角形の面積が 14 であるとき、この2辺のはさむ角 θ（鋭角）はどれか。
- 30°
- 45°
- 60°
- 15°
正解と解説
正解：A. 30°
S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 より sinθ=1/2。θ は鋭角なので θ=30°。sinθ=1/2 から 60°（sin60°=√3/2 と混同）としないよう、有名角の値を正確に。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問28｜鈍角の面積
2辺の長さが 4、3√2 で、そのはさむ角が 135° の三角形の面積はどれか。
- 12
- 6√2
- 3√2
- 6
正解と解説
正解：D. 6
S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6。sin135°=√2/2（正の値）をそのまま使えばよい。6√2 は sin135° を掛け忘れたミス、12 は (1/2) を掛け忘れたミス、3√2 は sin135° を 1/2 と誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問29｜3辺の面積
3辺の長さが 5、6、7 の三角形の面積はどれか。
- 12√6
- 6√6
- 6√5
- 9√6
正解と解説
正解：B. 6√6
余弦定理で cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7、sinA=√(1−25/49)=2√6/7。S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6。ヘロンの公式でも s=9、S=√(9·4·3·2)=√216=6√6 と検算できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問30｜内接円半径
3辺の長さが 5、6、7 の三角形（面積 6√6）の内接円の半径 r はどれか。
- √6/3
- 3√6/2
- 2√6/3
- 2√6
正解と解説
正解：C. 2√6/3
S=(1/2)r(a+b+c) より 6√6=(1/2)r·18=9r。よって r=6√6/9=2√6/3。周の長さ 18 を半分にし忘れて 18r とすると √6/3 になる。面積→r の順で求めるのが定石。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問31｜直角と内接円
3辺の長さが 3、4、5 の直角三角形の内接円の半径 r はどれか。
- 2
- 1/2
- 3/2
- 1
正解と解説
正解：D. 1
面積 S=(1/2)·3·4=6。S=(1/2)r(3+4+5)=6r より r=1。直角三角形では r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1（c は斜辺）でも求められる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問32｜測量tan
塔から水平に 12m 離れた地点で塔の先端を見上げると、仰角が 30° であった。目の高さを無視すると、塔の高さはどれか。
- 4√3 m
- 12√3 m
- 6 m
- 4 m
正解と解説
正解：A. 4√3 m
高さ h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3（約6.9m）。tan60°=√3 と混同すると 12√3 になる。仰角の問題は「高さ=水平距離×tan(仰角)」が基本形である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問33｜正四面体高
1辺の長さが 6 の正四面体の高さはどれか。
- 3√3
- 3√2
- 2√6
- 2√3
正解と解説
正解：C. 2√6
頂点から底面に下ろした垂線の足は底面の正三角形の重心で、頂点から重心までの距離は 6/√3=2√3。高さ h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6。重心までの距離を中線の長さ 3√3 と混同しないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問34｜正四面体積
1辺の長さが 6 の正四面体の体積はどれか。
- 36√2
- 54√2
- 9√6
- 18√2
正解と解説
正解：D. 18√2
底面積は (√3/4)·36=9√3、高さは 2√6 なので V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2。1/3 を掛け忘れると 54√2 になる。公式 V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 でも確認できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
問35｜sinの比
△ABC で sinA:sinB:sinC=7:5:3 のとき、A の大きさはどれか。
- 120°
- 60°
- 135°
- 150°
正解と解説
正解：A. 120°
正弦定理より a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3。a=7k、b=5k、c=3k とおくと cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2。よって A=120°。sin の比は辺の比に直せる、が急所である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（2）図形と計量
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