高校数学 HIGH SCHOOL MATH
y=ax²+bx+c を y=a(x−p)²+q に直して頂点と軸を読む平方完成と、平行移動・対称移動のルールを身につけます。
2次関数 y=ax²+bx+c のグラフは放物線です。a>0 なら下に凸（谷型）、a<0 なら上に凸（山型）で、|a| が大きいほど細くなります。グラフの最も重要な情報は頂点と軸で、これを読み取るための変形が平方完成です。y=a(x−p)²+q の形に直せば、頂点は (p, q)、軸は直線 x=p と即座に分かります。かっこの中の符号に注意してください。(x−2)² なら p=2、(x+3)²=(x−(−3))² なら p=−3 です。
平方完成の手順は、① x² の係数 a で x の項までをくくる ②かっこの中で「x の係数の半分の2乗」を足して引く ③外に出す、の3段階です。例えば y=2x²−8x+3 は、2(x²−4x)+3 = 2{(x−2)²−4}+3 = 2(x−2)²−8+3 = 2(x−2)²−5 となり、頂点 (2, −5)、軸 x=2 です。−4 を外に出すときに a=2 を掛け忘れるのが最頻出のミスなので、展開して元に戻るか必ず検算しましょう。
平行移動は式の書き換えで処理できます。y=f(x) のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動すると、式は y−q=f(x−p)、つまり x を x−p に、y を y−q に置き換えたものになります。「x 方向に +3 動かすのに式では x−3 になる」という符号の逆転が要注意ポイントです。y=x² を x 方向に 3、y 方向に −2 動かすと y=(x−3)²−2 です。
対称移動も置き換えで統一的に処理できます。x 軸に関して対称なら y を −y に（結果は y=−f(x)）、y 軸に関して対称なら x を −x に（y=f(−x)）、原点に関して対称なら両方を置き換えて y=−f(−x) です。例えば y=x²−2x+3 を x 軸に関して対称移動すると y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3 になります。どの移動でも「頂点がどこへ動くか」を追いかけると検算になります。
| 移動 | 置き換え | 結果の式 |
|---|---|---|
| x 方向に p、y 方向に q 平行移動 | x→x−p、y→y−q | y = f(x−p)+q |
| x 軸に関して対称移動 | y→−y | y = −f(x) |
| y 軸に関して対称移動 | x→−x | y = f(−x) |
| 原点に関して対称移動 | x→−x、y→−y | y = −f(−x) |
平方完成の手順（y = 2x²−8x+3）y = 2(x²−4x)+3（aでくくる）y = 2{(x−2)²−4}+3（半分の2乗を足して引く）y = 2(x−2)²−8+3（−4×2 を外へ）y = 2(x−2)²−5頂点 (2, −5)、軸 x = 2
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
頂点と定義域の端の値を比べる、という一つの原則で最大最小を処理し、軸に文字が入る場合の場合分けの考え方まで学びます。
定義域に制限がなければ、2次関数の最大・最小は頂点だけで決まります。a>0 なら頂点で最小値（最大値はなし）、a<0 なら頂点で最大値（最小値はなし）です。まず平方完成して頂点を出すのがすべての出発点です。
定義域 m≦x≦n がつくと、最大・最小の候補は「頂点（軸が定義域内にあるとき）」と「定義域の両端」の最大3点に絞られます。手順は、①平方完成して軸の位置を出す ②軸が定義域の中か外かを確認する ③候補の点の y の値を計算して比べる、です。軸が定義域の外にあるときは、その区間でグラフは単調に増えるか減るかしかしないので、両端だけ比べれば済みます。グラフの略図を必ずかいて、どこが一番低く・高くなるかを目で確認しましょう。
下に凸（a>0）の場合をまとめると、最小値は「軸が定義域内なら頂点で、外なら軸に近い方の端で」とります。最大値は逆に「軸から遠い方の端で」とります。上に凸ならこの関係がそっくり入れ替わります。「最小は軸に近い側、最大は軸から遠い側」という言葉で覚えておくと、場合分けの見通しが立ちます。
y=x²−2ax のように軸 x=a に文字が入ると、軸と定義域の位置関係が a の値によって変わるため、場合分けが必要になります。定義域が 0≦x≦2 なら、(i) a<0（軸が左外）→ x=0 で最小、(ii) 0≦a≦2（軸が中）→ 頂点 x=a で最小、(iii) a>2（軸が右外）→ x=2 で最小、の3通りです。「軸が定義域の左外・中・右外」という3分割が基本の型で、定期テストの応用問題はほぼこの型で出ます。
| 軸 x=p の位置 | 最小値 | 最大値 |
|---|---|---|
| p < m（左外） | x=m（左端） | x=n（右端） |
| m ≦ p ≦ n（定義域内） | x=p（頂点）で q | 軸から遠い方の端 |
| n < p（右外） | x=n（右端） | x=m（左端） |
定義域つき最大最小の手順1. 平方完成して軸 x=p と頂点を出す2. 軸が定義域 m≦x≦n の中か外かを見る3. 候補（頂点・両端）の y の値を計算して比べる例: y = x²−4x+1（0≦x≦1）、軸 x=2 は右外区間では単調減少 → 最小 f(1)=−2、最大 f(0)=1
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
因数分解と解の公式で2次方程式を解き、判別式 D の符号で実数解の個数とグラフと x 軸の共有点の個数を判定します。
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解き方は2本立てです。まず因数分解を試し、(x−2)(x−3)=0 のような積の形にできれば「どちらかが 0」から x=2, 3 と即答できます。因数分解できない（しにくい）ときは解の公式 x=(−b±√(b²−4ac))/2a を使います。x²−2x−1=0 なら x=(2±√8)/2=(2±2√2)/2=1±√2 です。√ の中の計算と、最後に約分する処理でのミスが多いので、この2箇所は特に丁寧に。
解の公式の √ の中身 D=b²−4ac を判別式といいます。D の符号だけで実数解の個数が決まります。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 ならただ1つの解（重解 x=−b/2a）、D<0 なら実数解なし、です。x の係数が偶数 2b′ のときは D/4=b′²−ac を使うと計算が軽くなります。
この判別式は、放物線 y=ax²+bx+c と x 軸の位置関係の言い換えでもあります。共有点の x 座標は ax²+bx+c=0 の実数解そのものなので、D>0 なら 2 点で交わる、D=0 なら 1 点で接する、D<0 なら共有点なし、と対応します。「x²+4x+k=0 が重解をもつ k」「y=x²−2kx+k+2 が x 軸に接する k」のような問題は、どちらも D=0 を解けばよい同じ問題です。
放物線と直線の共有点も同じ考え方で処理します。y=x²+1 と y=2x+4 の共有点なら、y を消去した x²+1=2x+4、すなわち x²−2x−3=0 を解いて x=−1, 3。この2次方程式の判別式が共有点の個数を教えてくれます。なお、2つの解の和や積を係数から読む「解と係数の関係」は数学Ⅱの内容なので、ここでは使わずに解を直接求めます。
| D の符号 | 実数解 | y=ax²+bx+c と x 軸 |
|---|---|---|
| D > 0 | 異なる2つの実数解 | 2点で交わる |
| D = 0 | 重解 x=−b/2a | 1点で接する |
| D < 0 | 実数解なし | 共有点なし |
解の公式ax²+bx+c = 0（a≠0）のときx = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a判別式 D = b²−4ac例: x²−2x−1 = 0x = (2 ± √(4+4))/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次不等式はグラフで解く、を徹底します。D≦0 の場合や「すべての実数 x で成り立つ」条件まで、型で整理して得点源にします。
2次不等式は、放物線 y=ax²+bx+c のグラフと x 軸の関係で解くのが基本です。a>0、D>0 で x 軸との交点が x=α, β（α<β）のとき、ax²+bx+c<0 の解は「グラフが x 軸より下」の部分で α<x<β、ax²+bx+c>0 の解は「上」の部分で x<α または x>β です。「小なりは内側、大なりは外側」と覚えつつ、必ず放物線の略図をかいて確認する習慣をつけてください。x² の係数が負のときは、両辺に −1 を掛けて（不等号の向きを変えて）a>0 に直してから解くと間違えません。
D=0 や D<0 の場合は暗記よりグラフです。(x−3)²>0 は「接点 x=3 以外でグラフが x 軸より上」なので、解は 3 以外のすべての実数。(x−3)²<0 は解なし。D<0 で a>0 ならグラフ全体が x 軸より上に浮いているので、>0 の解はすべての実数、<0 の解はなし、となります。x²+2x+3>0 は D=4−12<0 なので、解はすべての実数です。
交点の x 座標が整数にならないときは、解の公式で求めた値をそのまま端に使います。x²−2x−2<0 なら x²−2x−2=0 の解 x=1±√3 を使って 1−√3<x<1+√3 です。√ を含む端の値を恐れないことが大切です。
「すべての実数 x で x²+2kx+k+6>0 が成り立つ」という条件は、グラフの言葉に翻訳すると「下に凸の放物線が常に x 軸より上、つまり x 軸と共有点をもたない」ことなので、D<0 が条件になります。D/4=k²−k−6<0 を解いて −2<k<3。このように、2次不等式の応用は「不等式の条件 → グラフの位置関係 → 判別式の条件」という翻訳の練習です。x² の係数にも文字があるときは、正負や 0 になる場合の確認も必要になります。
| D の符号 | ax²+bx+c > 0 の解 | ax²+bx+c < 0 の解 |
|---|---|---|
| D > 0 | x < α または x > β（外側） | α < x < β（内側） |
| D = 0（重解 α） | α 以外のすべての実数 | 解はない |
| D < 0 | すべての実数 | 解はない |
2次不等式の手順1. x² の係数を正に直す（負なら −1 倍して向きを逆に）2. ax²+bx+c=0 の解 α、β を求める3. グラフの略図をかき、上下で範囲を読むすべての実数で ax²+bx+c>0（a>0）⇔ D<0例: x²+2kx+k+6>0 が常に成立 ⇔ k²−k−6<0 ⇔ −2<k<3
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
y=x²−4x+1 のグラフの頂点はどれか。
y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 より頂点 (2, −3)。(x−2)² の頂点の x 座標は +2（符号が逆になる）。(2, 1) は −4 を引き忘れたミス、(2, 5) は −4 を +4 と誤ったミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x²+6x+5 のグラフの頂点はどれか。
y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4。(x+3)²=(x−(−3))² なので頂点の x 座標は −3、よって頂点 (−3, −4)。(3, −4) は符号の読み違い、(−3, 5) は −9 を落としたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=2x²−8x+3 を平方完成した結果はどれか。
2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5。−1 は −4 を外に出すとき係数 2 を掛け忘れたミス（−4+3=−1）。展開して 2x²−8x+3 に戻るか検算するとよい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x²+2x のグラフの軸はどれか。
y=(x+1)²−1 より軸は直線 x=−1。x の係数の半分の符号を変えたもの（2 の半分は 1、その符号を変えて −1）が軸の位置。x=1 は符号ミス、x=−2 は半分にし忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=−x²+4x−1 のグラフの頂点はどれか。
−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3 より頂点 (2, 3)。(2, −5) は −4 の符号処理を誤り −4−1 としたミス。−1 でくくったかっこを外すときの符号に注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x² のグラフを x 軸方向に 3、y 軸方向に −2 だけ平行移動した放物線の式はどれか。
x 方向に p 動かすと式では x→x−p となるので、+3 の移動は (x−3)²。y 方向は −2 なので最後に −2。移動量と式中の符号が逆になるのが平行移動の要点で、(x+3)² は符号の逆転を忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=2x² のグラフを x 軸方向に −1、y 軸方向に 4 だけ平行移動した放物線の式はどれか。
x 方向に −1 の移動は x→x−(−1)=x+1 なので 2(x+1)²、y 方向に +4 で最後に +4。頂点で確かめると (0,0)→(−1,4) となり、y=2(x+1)²+4 の頂点 (−1,4) と一致する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x²−2x+3 のグラフを x 軸に関して対称移動した放物線の式はどれか。
x 軸対称は y→−y の置き換えで y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3。全部の項の符号が変わる。y=x²+2x+3 は y 軸対称（x→−x）の結果であり、混同しやすい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x²−4x+5 のグラフを原点に関して対称移動した放物線の式はどれか。
原点対称は x→−x かつ y→−y。−y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 より y=−x²−4x−5。y=−x²+4x−5 は x 軸対称だけ、y=x²+4x+5 は y 軸対称だけを行った結果で、置き換えを1つ忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
頂点が (1, 2) で、点 (0, 4) を通る放物線の式はどれか。
頂点形 y=a(x−1)²+2 とおき (0, 4) を代入すると a+2=4 より a=2。y=2(x+1)²+2 も点 (0, 4) を通るが頂点が (−1, 2) になり条件に合わない。y=(x−1)²+2 は x=0 で 3 となり通らない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（グラフと平方完成）
y=x²−2x+3 の最小値はどれか。
y=(x−1)²+2 より、下に凸で頂点 (1, 2)。最小値は x=1 のとき 2。定義域の制限がなければ最小値は頂点の y 座標そのもの。3 は x=0 を代入した値で最小ではない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=−x²+4x の最大値はどれか。
y=−(x−2)²+4 より、上に凸で頂点 (2, 4)。最大値は x=2 のとき 4。上に凸のグラフは頂点で最大になる（最小値はない）。符号を誤ると −4 になるが、x=2 を代入すれば −4+8=4 と確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=2(x−3)²+1 の最小値はどれか。
すでに頂点形で、頂点は (3, 1)。a=2>0 で下に凸だから最小値は x=3 のとき 1。頂点の座標 (3, 1) の読み方（x=3、最小値 1）を取り違えないこと。19 は x=0 での値。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=(x−1)²+2（0≦x≦3）の最大値はどれか。
軸 x=1 は定義域内なので、最大値は軸から遠い方の端 x=3 でとる。f(3)=(3−1)²+2=4+2=6。2 は最小値（頂点）。18 は (3+1)² と符号を誤って計算したミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=x²−4x+1（0≦x≦1）の最小値はどれか。
軸 x=2 は定義域 0≦x≦1 の右外なので、区間内では単調減少。最小値は右端 x=1 で f(1)=1−4+1=−2。−3 は頂点の y 座標だが、x=2 は定義域外なのでとれない。定義域を無視して頂点で答えるのが典型ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=−x²+2x+2（0≦x≦3）の最大値と最小値の組はどれか。
y=−(x−1)²+3。上に凸で軸 x=1 は定義域内だから最大値は頂点で f(1)=3。最小値は軸から遠い端 x=3 で f(3)=−9+6+2=−1。f(0)=2 は端の値だが、x=3 の方が軸から遠く、より小さい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=x²−6x+10（4≦x≦6）の最小値はどれか。
軸 x=3 は定義域 4≦x≦6 の左外なので、区間内では単調増加。最小値は左端 x=4 で f(4)=16−24+10=2。1 は頂点の値だが x=3 は定義域外。最大値は右端 x=6 の 10 である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
a>2 とする。y=x²−2ax（0≦x≦2）の最小値はどれか。
軸 x=a は a>2 より定義域の右外。区間内では単調減少なので最小値は右端 x=2 で f(2)=4−4a。−a² は頂点の値だが x=a は定義域外でとれない。例えば a=3 なら f(2)=−8 で、4−4×3=−8 と一致する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=x²−2x+c（0≦x≦3）の最大値が 7 であるとき、定数 c の値はどれか。
軸 x=1 から遠い方の端は x=3 なので最大値は f(3)=9−6+c=3+c。3+c=7 より c=4。c=7 は最大を f(0)=c と誤ったミス、c=8 は最小値 f(1)=c−1 を 7 とおいたミス。c=4 のとき f(3)=7 を確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
y=(x²−2x)²−4(x²−2x)+1 の最小値はどれか。
t=x²−2x とおくと t=(x−1)²−1≧−1。y=t²−4t+1=(t−2)²−3 で、t=2 は t≧−1 の範囲内にあるから最小値は −3（t=2、すなわち x²−2x=2 のとき）。t の範囲の端 t=−1 では y=6 になるが最小ではない。置き換えたら t の範囲の確認を忘れないこと。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（最大値・最小値）
2次方程式 x²−5x+6=0 の解はどれか。
(x−2)(x−3)=0 より x=2, 3。掛けて +6、足して −5 になる 2 数は −2 と −3 なので、因数は (x−2)(x−3)、解は符号が戻って 2 と 3。解を −2, −3 とするのは因数の符号と解の符号を取り違えたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次方程式 x²−2x−1=0 の解はどれか。
解の公式で x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2。2±2√2 は最後に 2 で割り忘れたミス。√8=2√2 の変形と約分を丁寧に行う。x=1+√2 を代入すると (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 で確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次方程式 2x²+3x−2=0 の解はどれか。
たすき掛けで (2x−1)(x+2)=0。2x−1=0 から x=1/2、x+2=0 から x=−2。因数 (x+2) の解は −2 と符号が逆になる点に注意。x=−1/2, 2 は両方の符号を逆にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次方程式 x²+4x+k=0 が重解をもつとき、定数 k の値はどれか。
重解の条件は D=0。D=16−4k=0 より k=4。このとき x²+4x+4=(x+2)²=0 で重解 x=−2。k=16 は D=16−k と 4 を掛け忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次方程式 x²−3x+k=0 が異なる 2 つの実数解をもつような定数 k の値の範囲はどれか。
条件は D>0。D=9−4k>0 より 4k<9、k<9/4。等号（k=9/4）は重解になるので含めない。k>−9/4 は D=9+4k と符号を誤ったときに出る形。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
放物線 y=x²−4x+5 と x 軸の共有点の個数はどれか。
x²−4x+5=0 の判別式は D=16−20=−4<0 なので実数解がなく、共有点は 0 個。グラフでは頂点 (2, 1) が x 軸より上にあり、下に凸なので全体が x 軸から浮いている。放物線と x 軸の共有点が 3 個になることはない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
放物線 y=x²+2x−3 と x 軸の共有点の x 座標はどれか。
y=0 とおいた x²+2x−3=0 を解く。(x+3)(x−1)=0 より x=−3, 1。掛けて −3、足して +2 になる 2 数は +3 と −1 で、因数 (x+3) の解は −3 になる。x=3, −1 は符号を逆にしたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
放物線 y=x²−2kx+k+2 が x 軸に接するとき、定数 k の値はどれか。
接する条件は D=0。D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 より k=2, −1。k=2 のとき x²−4x+4=(x−2)²、k=−1 のとき x²+2x+1=(x+1)² となり、どちらも確かに接する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
放物線 y=x²+1 と直線 y=2x+4 の共有点の x 座標はどれか。
y を消去して x²+1=2x+4、整理して x²−2x−3=0。(x−3)(x+1)=0 より x=−1, 3。判別式は D=4+12=16>0 なので共有点は確かに 2 個ある。移項の際の符号ミスに注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次方程式 x²−2(a+1)x+4=0 が実数解をもつような定数 a の値の範囲はどれか。
条件は D≧0。D/4=(a+1)²−4≧0 より (a+1)²≧4、a+1≦−2 または a+1≧2。よって a≦−3 または a≧1。−3≦a≦1 は不等号の向きを取り違えて内側にしたミス。重解も実数解なので等号を含める。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次方程式・判別式）
2次不等式 x²−5x+6<0 の解はどれか。
x²−5x+6=0 の解は x=2, 3。下に凸のグラフが x 軸より下になるのは 2 つの解の内側なので 2<x<3。外側を答えるのは >0 のときとの混同。x=2.5 を代入すると 6.25−12.5+6=−0.25<0 で成立し、内側が正しいと確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 x²−x−6>0 の解はどれか。
x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 の解は x=−2, 3。>0 はグラフが x 軸より上、つまり外側なので x<−2 または x>3。−2<x<3 は内側で <0 の解。因数 (x+2) から出る解は −2 で、符号の取り違えにも注意。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 x²−4≦0 の解はどれか。
x²−4=(x+2)(x−2)=0 の解は x=±2。≦0 は内側で、等号つきなので端も含めて −2≦x≦2。−2<x<2 は等号を落としたミス。x=±2 では左辺が 0 になり「≦0」を満たすので端は含む。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 2x²−5x+2<0 の解はどれか。
たすき掛けで 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 の解は x=1/2, 2。<0（等号なし）は内側で 1/2<x<2。x=1 を代入すると 2−5+2=−1<0 で成立し、内側であることを確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 x²−6x+9>0 の解はどれか。
x²−6x+9=(x−3)² で、グラフは x=3 で x 軸に接する。(x−3)² は x=3 のときだけ 0 で、それ以外は正。よって解は 3 以外のすべての実数。「すべての実数」とすると x=3（左辺が 0）が混入してしまう。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 x²+2x+3>0 の解はどれか。
D=4−12=−8<0 で、下に凸のグラフは x 軸と共有点をもたず常に上側にある。よって解はすべての実数。y=(x+1)²+2≧2>0 と平方完成しても確認できる。D<0 を見て機械的に「解なし」とするのは <0 の不等式との混同。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 −x²+4x−3≧0 の解はどれか。
両辺に −1 を掛け、不等号の向きを変えて x²−4x+3≦0。(x−1)(x−3)=0 の解は x=1, 3 で、≦0 は内側だから 1≦x≦3。−1 を掛けたのに向きを変え忘れると外側を答えてしまう。x=2 で −4+8−3=1≧0 が成立することからも内側と分かる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
2次不等式 x²−2x−2<0 の解はどれか。
x²−2x−2=0 を解の公式で解くと x=(2±√12)/2=1±√3。<0 は内側なので 1−√3<x<1+√3。端が無理数でもやることは同じで、√12=2√3 の約分を正しく行うことがポイント。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
すべての実数 x に対して x²+2kx+k+6>0 が成り立つような定数 k の値の範囲はどれか。
下に凸の放物線が常に x 軸より上にある条件は D<0。D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 より −2<k<3。外側にすると D>0（2 点で交わる）になり逆の状況。k=3 では接して x=−3 のとき 0 になり「>0」が崩れるので端は含めない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
連立不等式 x²−4x−5≦0、x²−2x>0 を同時に満たす整数 x は何個あるか。
前者は (x−5)(x+1)≦0 より −1≦x≦5。後者は x(x−2)>0 より x<0 または x>2。共通部分は −1≦x<0 と 2<x≦5 で、整数は −1, 3, 4, 5 の 4 個。0 と 2 は後者を満たさない（左辺が 0 になり >0 でない）ので数えない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（3）二次関数（2次不等式）
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※ 解説は学習用の情報提供です。教科書・学校の指示する解法を優先してください。
※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。