問1｜展開の基本
(x+3)(x−3) を展開した結果はどれか。
- x²−9
- x²+9
- x²−6x+9
- x²−3
正解と解説
正解：A. x²−9
和と差の積の公式 (a+b)(a−b)=a²−b² より x²−9。x²+9 は符号ミス、x²−6x+9 は (x−3)² と混同したミス。展開して x²−3x+3x−9 と確かめてもよい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
高校数学 HIGH SCHOOL MATH
数と式・集合と論証
この章で学ぶこと
- 乗法公式で速く正確に展開し、その逆再生であるたすき掛けの因数分解まで、定期テストの計算問題の土台を固めます。
- √の計算ルールと分母の有理化、絶対値の外し方、√7 の整数部分・小数部分といった定期テスト頻出の処理をまとめて身につけます。
- 負の数を掛けたら不等号の向きが変わる、という1点を軸に、連立不等式と絶対値つきの方程式・不等式まで解けるようにします。
- 共通部分・和集合・補集合の記号操作から、必要条件・十分条件の判定、逆・裏・対偶、背理法まで、論証問題の得点源をつくります。
目次
1. 展開と因数分解（乗法公式・たすき掛け）
乗法公式で速く正確に展開し、その逆再生であるたすき掛けの因数分解まで、定期テストの計算問題の土台を固めます。
展開とは、(x+2)(x+3) のようなかっこの積を、x²+5x+6 のようなかっこのない形（多項式の和）に直すことです。分配法則で1つずつ掛ければ必ずできますが、毎回それでは時間が足りないので、よく出る形を乗法公式として覚えます。特に (a+b)² = a²+2ab+b² の真ん中の 2ab を忘れるミスが定期テストで最も多いので、「2倍の積の項が必ず入る」と意識してください。
因数分解は展開の逆で、多項式を積の形に戻す操作です。x²+5x+6 なら「掛けて6、足して5」になる2数（2と3）を探して (x+2)(x+3) とします。方程式や不等式を解くとき、積の形になっていると「どちらかが0」という強力な議論が使えるため、因数分解は数学Ⅰ全体で使い続ける技術です。
x²の係数が1でない 2x²+7x+3 のような式は、たすき掛けを使います。x²の係数2を 2×1、定数項3を 1×3 のように分け、斜めに掛けて足した値（2×3+1×1=7）が x の係数に一致する組合せを探します。一致したら横に読んで (2x+1)(x+3) が答えです。組合せは何通りか試すのが普通なので、「試して、展開して確かめる」まで含めて1セットの作業だと思ってください。
複雑な式は、①共通因数をくくり出す ②最低次の文字について整理する ③一部を1つのかたまり（置き換え）とみる、の順で見通しがよくなります。例えば x²−y²+4y−4 は後半3項を −(y−2)² とまとめると A²−B² の形になり、(x+y−2)(x−y+2) と因数分解できます。x⁴−5x²+4 は x²=t とおくと t²−5t+4 という見慣れた2次式になります。
| 公式 | 展開形 | 注意点 |
|---|---|---|
| (a+b)² | a²+2ab+b² | 真ん中の 2ab を忘れない |
| (a−b)² | a²−2ab+b² | 符号は真ん中だけマイナス |
| (a+b)(a−b) | a²−b² | 和と差の積は2乗の差 |
| (x+a)(x+b) | x²+(a+b)x+ab | 足してxの係数、掛けて定数項 |
| (ax+b)(cx+d) | acx²+(ad+bc)x+bd | たすき掛けの元になる形 |
たすき掛けの手順（2x²+7x+3 の場合）2 = 2×1（x²の係数を分ける）3 = 1×3（定数項を分ける）斜めに掛けて足す: 2×3 + 1×1 = 7 → xの係数と一致横に読んで (2x+1)(x+3)検算: (2x+1)(x+3) = 2x²+6x+x+3 = 2x²+7x+3
用語
- 展開
- かっこの積で書かれた式を、分配法則を使ってかっこのない多項式の形に直すこと。(x+1)(x+2) → x²+3x+2 のような変形。
- 乗法公式
- よく出る展開の結果を公式化したもの。(a+b)²=a²+2ab+b²、(a+b)(a−b)=a²−b² など。逆から読めば因数分解の公式になる。
- 因数分解
- 多項式を、いくつかの式の積の形に直すこと。展開の逆の操作で、方程式・不等式を解く準備として使う。
- たすき掛け
- acx²+(ad+bc)x+bd を (ax+b)(cx+d) に分解する方法。x²の係数と定数項をそれぞれ2数の積に分け、斜めに掛けて足した値が x の係数に合う組を探す。
- 共通因数
- すべての項に共通して含まれる因数。因数分解ではまず共通因数をくくり出すのが鉄則。例: 2x²+4x = 2x(x+2)。
- 置き換え
- 式の一部を1つの文字とみなすこと。x⁴−5x²+4 で x²=t とおくと t²−5t+4 になり、見慣れた2次式として処理できる。
例題
例題：(3x−2)(x+4) を展開せよ。
答えと考え方 3x²+12x−2x−8 = 3x²+10x−8。外側どうし・内側どうしの積（12x と −2x）をまとめるのがポイント。
例題：3x²−10x+8 を因数分解せよ。
答えと考え方 たすき掛けで 3=3×1、8=(−4)×(−2) と分けると、斜めの和が 3×(−2)+(−4)×1=−10 で一致。よって (3x−4)(x−2)。展開して検算すると 3x²−10x+8 に戻る。
例題：x²−y²+4y−4 を因数分解せよ。
答えと考え方 後半を −(y²−4y+4)=−(y−2)² とまとめると x²−(y−2)²。A²−B²=(A+B)(A−B) より (x+y−2)(x−y+2)。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
2. 実数と根号（絶対値・有理化・整数部分と小数部分）
√の計算ルールと分母の有理化、絶対値の外し方、√7 の整数部分・小数部分といった定期テスト頻出の処理をまとめて身につけます。
実数は、有理数（分数で書ける数）と無理数（√2 や π のように分数で書けない数）を合わせた数全体です。根号（√）の計算では √a×√b = √(ab) が基本で、√12 = √(4×3) = 2√3 のように「2乗の因数を外に出す」のが第一歩です。足し算は √27+√12 = 3√3+2√3 = 5√3 のように、外に出して同じ √ の項どうしをまとめます。√27+√12 = √39 としてはいけません。ルートの中どうしを足せるのは掛け算・割り算のときだけです。
分母に √ が残った式は、分母の有理化で整えます。1/√3 なら分母分子に √3 を掛けて √3/3。分母が 2−√3 のような2項なら、(a+b)(a−b)=a²−b² を利用して「共役な式」2+√3 を掛けます。分母は (2−√3)(2+√3) = 4−3 = 1 となり √ が消えます。この計算は (x+1/x) 型の対称式の問題の入口として定期テストで極めてよく出ます。
絶対値 |a| は数直線上での原点からの距離で、a≧0 なら |a|=a、a<0 なら |a|=−a です。√(a²) = |a| であることに注意してください。a=−3 のとき √((−3)²) = √9 = 3 = |−3| であり、−3 ではありません。|3−π| のような式は、中身の符号を先に判定し（π>3 なので 3−π<0）、|3−π| = π−3 と外します。
√7 のような無理数は、4<7<9 から 2<√7<3 と評価できるので、整数部分は 2、小数部分は「元の数から整数部分を引いた残り」√7−2 です。小数部分を 0.645… と書かず √7−2 と表すのがポイントで、この形のまま 2乗したり分母にしたりする問題が定番です。また x+1/x = 3 のような条件から x²+1/x² = (x+1/x)²−2 = 7 を求める対称式の変形も、この単元の頻出テーマです。
| ルール | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 積 | √a×√b = √(ab) | √2×√3 = √6 |
| 2乗の因数を外へ | √(a²b) = a√b（a>0） | √12 = 2√3 |
| 和と差の積 | (√a+√b)(√a−√b) = a−b | (√5+√2)(√5−√2) = 3 |
| 有理化（1項） | 1/√a = √a/a | 1/√3 = √3/3 |
| 有理化（2項） | 1/(a−√b) は a+√b を掛ける | 1/(2−√3) = 2+√3 |
| 絶対値 | |a| = a（a≧0）、−a（a<0） | |3−π| = π−3 |
対称式の基本変形x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)例: x + 1/x = 3 のときx² + 1/x² = 3² − 2 = 7x³ + 1/x³ = 3³ − 3×3 = 27 − 9 = 18
用語
- 有理数・無理数
- 整数の分数 p/q で表せる数が有理数、表せない数（√2、π など）が無理数。両方合わせて実数という。
- 根号
- √ の記号。√a は「2乗すると a になる負でない数」を表す。√a×√b=√(ab)、√(a²b)=a√b（a≧0）が計算の基本。
- 分母の有理化
- 分母から √ をなくす変形。分母が √3 なら √3 を、2−√3 なら共役な 2+√3 を分母分子に掛ける。
- 共役な式
- a+√b に対する a−√b のように、√ の符号だけを変えた式。掛けると (a)²−b となり √ が消える。
- 絶対値
- 数直線上での原点からの距離。|a| は a≧0 なら a、a<0 なら −a。中身の符号を確認してから外すのが鉄則。
- 整数部分・小数部分
- 実数 x を超えない最大の整数が整数部分 a、残りの x−a が小数部分。√7 なら整数部分 2、小数部分 √7−2。小数部分は必ず 0 以上 1 未満。
- 対称式
- x と 1/x（または x と y）を入れ替えても変わらない式。x²+1/x² は基本対称式 x+1/x で表せる。
例題
例題：2/(√5−√3) の分母を有理化せよ。
答えと考え方 分母分子に √5+√3 を掛けると、分母は (√5)²−(√3)² = 5−3 = 2。よって 2(√5+√3)/2 = √5+√3。
例題：√7 の小数部分を b とするとき、b を √ を使って表せ。
答えと考え方 4<7<9 より 2<√7<3 なので整数部分は 2。したがって b = √7−2。
例題：x = 1/(2−√3) のとき、x²+1/x² の値を求めよ。
答えと考え方 有理化すると x = 2+√3、1/x = 2−√3。x+1/x = 4 だから x²+1/x² = 4²−2 = 14。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
3. 1次不等式（不等号の向き・連立・絶対値）
負の数を掛けたら不等号の向きが変わる、という1点を軸に、連立不等式と絶対値つきの方程式・不等式まで解けるようにします。
不等式は「大小関係を満たす x の範囲」を求める問題です。解き方は方程式とほぼ同じで、移項して ax > b の形に整理し、両辺を a で割ります。ただし1つだけ決定的な違いがあります。両辺に負の数を掛ける・負の数で割ると、不等号の向きが逆になることです。−2x ≦ 6 の両辺を −2 で割ると x ≧ −3 です。定期テストの失点の大半はこの向きの処理ミスなので、負の数で割った瞬間に向きを変える癖をつけてください。
連立不等式は、2つの不等式のそれぞれの解を数直線にかき、共通部分（両方を満たす範囲）を読み取ります。例えば x>2 と x≦4 なら、共通部分は 2<x≦4 です。端の点を含むか含まないか（≦ か < か）を数直線上の白丸・黒丸で区別するのがコツです。「整数解は何個あるか」という問いでは、端が含まれるかどうかで個数が変わるため、範囲を出したあとに整数を1つずつ書き出して数えるのが確実です。
絶対値を含む方程式・不等式は、距離のイメージで公式化できます。c>0 のとき、|x|=c の解は x=±c。|x|<c は「原点からの距離が c 未満」なので −c<x<c。|x|>c は「距離が c より遠い」ので x<−c または x>c です。|x−2|<3 のように中身がずれている場合は、x−2 をひとかたまりと見て −3<x−2<3、各辺に 2 を足して −1<x<5 とします。
「不等式 5x−3<2x+a の解が x<4 となるように定数 a を定めよ」のような逆向きの問題も頻出です。まず a を残したまま解いて x<(a+3)/3 とし、これが x<4 と一致する条件 (a+3)/3=4 から a=9 と求めます。解いた結果の形を条件と見比べる、という発想はこの先の2次関数でも繰り返し使います。
| 型 | 解 | イメージ |
|---|---|---|
| |X| = c | X = ±c | 距離がちょうど c |
| |X| < c | −c < X < c | 距離が c 未満（内側にはさむ） |
| |X| ≦ c | −c ≦ X ≦ c | 端を含む内側 |
| |X| > c | X < −c または X > c | 距離が c より遠い（外側） |
| |X| ≧ c | X ≦ −c または X ≧ c | 端を含む外側 |
負の数で割ると向きが変わる−2x + 3 ≦ 9−2x ≦ 6x ≧ −3（−2で割ったので向きが逆転）絶対値不等式の例|x−2| < 3−3 < x−2 < 3−1 < x < 5（各辺に2を足す）
用語
- 不等式の性質
- 両辺に同じ数を足しても引いても大小関係は変わらない。正の数を掛けても変わらないが、負の数を掛ける・負の数で割ると不等号の向きが逆になる。
- 移項
- 項を符号を変えて反対側の辺に移すこと。不等式でも方程式と同じように使える。
- 連立不等式
- 2つ以上の不等式を同時に満たす x の範囲を求める問題。それぞれ解いてから数直線で共通部分をとる。
- 共通部分（数直線）
- 複数の範囲が重なっている部分。端点を含むかどうかを白丸（含まない）・黒丸（含む）で区別してかくと間違えにくい。
- 絶対値を含む方程式
- c>0 のとき |X|=c ⇔ X=±c。中身 X が式でも同じで、|x−2|=3 なら x−2=±3。
- 絶対値を含む不等式
- c>0 のとき |X|<c ⇔ −c<X<c、|X|>c ⇔ X<−c または X>c。「はさむ」か「外側」かを距離のイメージで判断する。
例題
例題：連立不等式 2x−1>3、3x+2≦x+10 を解け。
答えと考え方 前者から x>2、後者は 2x≦8 より x≦4。数直線で共通部分をとって 2<x≦4。
例題：|x+1|≧4 を解け。
答えと考え方 外側の型なので x+1≦−4 または x+1≧4。よって x≦−5 または x≧3。
例題：不等式 5x−3<2x+a の解が x<4 となる定数 a を求めよ。
答えと考え方 3x<a+3 より x<(a+3)/3。これが x<4 と一致するので (a+3)/3=4、よって a=9。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
4. 集合と論証（ド・モルガン・必要十分条件・対偶と背理法）
共通部分・和集合・補集合の記号操作から、必要条件・十分条件の判定、逆・裏・対偶、背理法まで、論証問題の得点源をつくります。
集合は「入っているかどうかが明確に決まるものの集まり」です。A∩B（共通部分）は両方に入る要素、A∪B（和集合）は少なくとも一方に入る要素、Ā（補集合）は全体集合 U のうち A に入らない要素の集合です。ド・モルガンの法則「A∪B の補集合 = Ā∩B̄」「A∩B の補集合 = Ā∪B̄」は、補集合をとると ∪ と ∩ が入れ替わる、と覚えます。ベン図をかいて塗り分ければ自分で確かめられます。
命題「p ならば q」（p ⇒ q）が真のとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件といいます。判定のコツは、矢印を両方向に試すことです。p ⇒ q だけ真なら p は十分条件、q ⇒ p だけ真なら p は必要条件、両方真なら必要十分条件です。例えば「x=3」⇒「x²=9」は真ですが、逆は x=−3 という反例があって偽。よって x=3 は x²=9 であるための十分条件（であるが必要条件でない）です。反例を1つ見つければ偽と言い切れる、というのが論証の基本ルールです。
命題 p ⇒ q に対し、q ⇒ p を逆、「pでない ⇒ qでない」を裏、「qでない ⇒ pでない」を対偶といいます。元の命題と対偶は真偽が必ず一致します（逆・裏は一致するとは限りません）。そのため「n² が偶数ならば n は偶数」のように直接示しにくい命題は、対偶「n が奇数ならば n² は奇数」を証明すれば同じことになります。否定をつくるとき、「偶数」の否定は「奇数」、「x>0」の否定は「x≦0」のように、等号の扱いに注意してください。
背理法は、「結論が成り立たないと仮定すると矛盾が起きる」ことを示して、結論が正しいと結論づける証明法です。√2 が無理数であることの証明では、まず「√2 は有理数である」と仮定し、√2 = q/p（既約分数）とおいて計算を進めると、p も q も偶数となって既約という前提と矛盾します。よって仮定が誤り、つまり √2 は無理数です。「無理数であることの証明」「〜でないことの証明」のような否定形の主張には背理法、と覚えておくと方針が立ちます。
| 名前 | 形 | 元の命題との真偽 |
|---|---|---|
| 元の命題 | p ⇒ q | — |
| 逆 | q ⇒ p | 一致するとは限らない |
| 裏 | pでない ⇒ qでない | 一致するとは限らない |
| 対偶 | qでない ⇒ pでない | 必ず一致する |
必要・十分の判定手順p ⇒ q が真か調べる（真なら p は十分条件）q ⇒ p が真か調べる（真なら p は必要条件）両方真 → 必要十分条件例: p: x=3、q: x²=9p ⇒ q は真、q ⇒ p は偽（反例 x=−3）よって p は q であるための十分条件（必要条件でない）
用語
- 共通部分 A∩B
- A と B の両方に属する要素全体の集合。「かつ」に対応する。
- 和集合 A∪B
- A と B の少なくとも一方に属する要素全体の集合。「または」に対応する。
- 補集合 Ā
- 全体集合 U の要素のうち、A に属さないもの全体の集合。
- ド・モルガンの法則
- A∪B の補集合は Ā∩B̄、A∩B の補集合は Ā∪B̄。補集合をとると ∪ と ∩ が入れ替わる。
- 十分条件・必要条件
- p ⇒ q が真のとき、p は q の十分条件、q は p の必要条件。「⇒ の矢の根元が十分、先が必要」と覚える。
- 必要十分条件
- p ⇒ q と q ⇒ p がともに真のとき、p は q であるための必要十分条件（p ⇔ q）。
- 反例
- 仮定は満たすのに結論を満たさない例。反例が1つでもあれば、その命題は偽。
- 逆・裏・対偶
- p ⇒ q に対して、逆は q ⇒ p、裏は「pでない ⇒ qでない」、対偶は「qでない ⇒ pでない」。元の命題と対偶の真偽は必ず一致する。
- 背理法
- 結論を否定して仮定すると矛盾が導かれることを示し、元の結論が正しいと結論づける証明法。√2 が無理数であることの証明が代表例。
例題
例題：「x>0」は「x>2」であるための何条件か。
答えと考え方 x>2 ⇒ x>0 は真、x>0 ⇒ x>2 は偽（反例 x=1）。矢が向かってくる側なので、必要条件であるが十分条件でない。
例題：命題「n² が偶数ならば n は偶数」の対偶を述べよ。
答えと考え方 対偶は仮定と結論を否定して入れ替えた「n が奇数ならば n² は奇数」。対偶を証明すれば元の命題も真といえる。
例題：√2 が無理数であることを背理法で証明するとき、最初に何を仮定するか。
答えと考え方 「√2 は有理数である」と仮定する。既約分数 q/p とおいて進めると p、q がともに偶数となり、既約に矛盾する。
出典・根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
確認問題（40問）
問2｜2乗の展開
(x+2)² を展開した結果はどれか。
- x²+4
- x²+2x+4
- x²+4x+4
- x²+4x+2
正解と解説
正解：C. x²+4x+4
(a+b)²=a²+2ab+b² より x²+2·x·2+2² = x²+4x+4。x²+4 は真ん中の項 2ab を忘れる定番ミス。(x+2)(x+2) を分配法則で展開すれば x²+2x+2x+4 となり、確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問3｜展開
(2x+3)(x−4) を展開した結果はどれか。
- 2x²+5x−12
- 2x²−5x−12
- 2x²−11x−12
- 2x²−5x+12
正解と解説
正解：B. 2x²−5x−12
2x·x=2x²、2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x、3·(−4)=−12 で 2x²−5x−12。−11x は −8x と 3x を足すべきところを −8−3 と誤ったミス、2x²+5x−12 は符号ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問4｜因数分解
x²+5x+6 を因数分解した結果はどれか。
- (x+1)(x+6)
- (x−2)(x−3)
- (x+1)(x+5)
- (x+2)(x+3)
正解と解説
正解：D. (x+2)(x+3)
掛けて 6、足して 5 になる2数は 2 と 3 なので (x+2)(x+3)。(x+1)(x+6) は掛けて6だが足すと7、(x−2)(x−3) は展開すると x²−5x+6 で符号が合わない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問5｜たすき掛け
2x²+7x+3 を因数分解した結果はどれか。
- (2x+3)(x+1)
- (2x−1)(x+3)
- (2x+1)(x−3)
- (2x+1)(x+3)
正解と解説
正解：D. (2x+1)(x+3)
たすき掛けで 2=2×1、3=1×3 と分け、斜めの和 2×3+1×1=7 が一致するので (2x+1)(x+3)。(2x+3)(x+1) を展開すると 2x²+5x+3 で x の係数が合わない。展開して検算する習慣が大切。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問6｜たすき掛け
3x²−10x+8 を因数分解した結果はどれか。
- (3x−4)(x−2)
- (3x−2)(x−4)
- (3x+4)(x+2)
- (3x−8)(x−1)
正解と解説
正解：A. (3x−4)(x−2)
3=3×1、8=(−4)×(−2)、斜めの和 3×(−2)+(−4)×1=−10 で一致し (3x−4)(x−2)。(3x−2)(x−4) は展開すると 3x²−14x+8、(3x+4)(x+2) は 3x²+10x+8 で符号が逆。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問7｜たすき掛け
6x²+x−2 を因数分解した結果はどれか。
- (2x+1)(3x−2)
- (6x−1)(x+2)
- (2x−1)(3x+2)
- (2x−2)(3x+1)
正解と解説
正解：C. (2x−1)(3x+2)
6=2×3、−2=(−1)×2、斜めの和 2×2+(−1)×3=1 で一致し (2x−1)(3x+2)。(2x+1)(3x−2) は展開すると 6x²−x−2 で x の係数の符号が逆になる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問8｜因数分解の工夫
x²−y²+4y−4 を因数分解した結果はどれか。
- (x+y−2)(x−y−2)
- (x+y−2)(x−y+2)
- (x−y+2)(x−y−2)
- (x+y+2)(x−y−2)
正解と解説
正解：B. (x+y−2)(x−y+2)
後半3項を −(y²−4y+4)=−(y−2)² とまとめると x²−(y−2)²。A²−B²=(A+B)(A−B) で A=x、B=y−2 とすれば (x+y−2)(x−y+2)。B の符号の配り方を誤ると他の形になる。展開して元に戻るか検算するとよい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問9｜複2次式
x⁴−5x²+4 を因数分解した結果はどれか。
- (x²+1)(x²+4)
- (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)
- (x+1)²(x−2)²
- (x−1)(x+1)(x²+4)
正解と解説
正解：B. (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)
x²=t とおくと t²−5t+4=(t−1)(t−4)。x² に戻して (x²−1)(x²−4)、さらに A²−B² でそれぞれ分解し (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)。因数分解は「これ以上分けられない所まで」行う。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問10｜置き換え
(x²+x)²−8(x²+x)+12 を因数分解した結果はどれか。
- (x²+x−3)(x²+x−4)
- (x−2)(x+1)(x−3)(x+2)
- (x²−x−2)(x²−x−6)
- (x+2)(x−1)(x+3)(x−2)
正解と解説
正解：D. (x+2)(x−1)(x+3)(x−2)
x²+x=t とおくと t²−8t+12=(t−2)(t−6)。戻して (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)。掛けて12・足して−8 の組は −2 と −6 であり、−3 と −4 では和が −7 になり合わない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式
問11｜根号の変形
√12 を簡単にした結果はどれか。
- 2√3
- 3√2
- 4√3
- 6
正解と解説
正解：A. 2√3
√12=√(4×3)=√4×√3=2√3。2乗の因数 4 を外に出す。3√2 は 12=9×2… と誤分解したミス（9×2=18 なので誤り）。数値でも √12≒3.46、2√3≒3.46 で一致。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問12｜根号の加法
√27+√12 を計算した結果はどれか。
- √39
- 6√3
- 5√3
- 5√6
正解と解説
正解：C. 5√3
√27=3√3、√12=2√3 と外に出してから同類項をまとめ 3√3+2√3=5√3。√39 は「中身どうしを足す」誤り。√の中を足してよいのは掛け算・割り算のときだけである。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問13｜和と差の積
(√5+√2)(√5−√2) を計算した結果はどれか。
- 7
- √3
- 3
- 10
正解と解説
正解：C. 3
(a+b)(a−b)=a²−b² より (√5)²−(√2)²=5−2=3。7 は 5+2 と足してしまうミス、√3 は根号を残してしまうミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問14｜有理化
1/√3 の分母を有理化した結果はどれか。
- √3
- √3/3
- 1/3
- √3/9
正解と解説
正解：B. √3/3
分母分子に √3 を掛けて √3/(√3×√3)=√3/3。分母は (√3)²=3 になる。√3/9 は分母を 3² としてしまうミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問15｜有理化
2/(√5−√3) の分母を有理化した結果はどれか。
- √5−√3
- 2(√5+√3)
- (√5+√3)/4
- √5+√3
正解と解説
正解：D. √5+√3
分母分子に共役な √5+√3 を掛けると分母は 5−3=2。よって 2(√5+√3)/2=√5+√3。2(√5+√3) は最後に 2 で約分し忘れたミス、(√5+√3)/4 は分母を 5+3=8 と誤ったときに出やすい形。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問16｜根号の2乗
(√3+√2)² を計算した結果はどれか。
- 5+2√6
- 5
- 5+√6
- 6+2√6
正解と解説
正解：A. 5+2√6
(a+b)²=a²+2ab+b² より 3+2√3·√2+2=5+2√6。5 は真ん中の項 2ab を忘れたミス、5+√6 は 2 を掛け忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問17｜絶対値
|3−π| を絶対値記号を使わずに表した結果はどれか。ただし π=3.14… である。
- π−3
- 3−π
- 3+π
- 0
正解と解説
正解：A. π−3
π>3 なので中身 3−π は負。負のときは |a|=−a だから |3−π|=−(3−π)=π−3。3−π のまま外すと負の値になってしまい、絶対値（距離）が負になるのはおかしい、と確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問18｜整数・小数部分
√7 の整数部分を a、小数部分を b とするとき、a と b の組はどれか。
- a=3、b=√7−3
- a=2、b=√7−3
- a=3、b=3−√7
- a=2、b=√7−2
正解と解説
正解：D. a=2、b=√7−2
4<7<9 より 2<√7<3 なので整数部分 a=2。小数部分は元の数から整数部分を引いた b=√7−2（0≦b<1 を満たす）。√7−3 は負になるので小数部分にならない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問19｜対称式
x=1/(2−√3) のとき、x²+1/x² の値はどれか。
- 16
- 14
- 18
- 4
正解と解説
正解：B. 14
有理化して x=2+√3、1/x=2−√3。x+1/x=4 だから x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14。16 は −2 を忘れて (x+1/x)² のままにしたミス。実際 x²=7+4√3、1/x²=7−4√3 で和は 14。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問20｜対称式
x+1/x=3 のとき、x³+1/x³ の値はどれか。
- 27
- 24
- 18
- 7
正解と解説
正解：C. 18
x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18。27 は補正項 −3(x+1/x) を忘れたミス、24 は 3 だけ引いたミス。7 は x²+1/x² の値であり別の量。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（実数・根号）
問21｜1次不等式
不等式 3x−5>4 を解いた結果はどれか。
- x<3
- x>1/3
- x>3
- x>9
正解と解説
正解：C. x>3
移項して 3x>9、正の数 3 で割って x>3。正の数で割るときは不等号の向きは変わらない。x>9 は 3 で割り忘れたミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問22｜向きの逆転
不等式 −2x+3≦9 を解いた結果はどれか。
- x≧−3
- x≦−3
- x≧−6
- x≦3
正解と解説
正解：A. x≧−3
移項して −2x≦6。負の数 −2 で割ると不等号の向きが逆になるので x≧−3。x≦−3 は向きを変え忘れた定番ミス。x=0 を代入すると 3≦9 で成り立つので、0 を含む x≧−3 が正しいと確かめられる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問23｜1次不等式
不等式 4x−1<2x+5 を解いた結果はどれか。
- x>3
- x<2
- x<2/3
- x<3
正解と解説
正解：D. x<3
2x を左へ、−1 を右へ移項して 2x<6、よって x<3。x<2 は 5−1=4 と誤って 2x<4 としたミス。x=0 で確かめると −1<5 で成立し、0 は解に含まれるので整合する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問24｜分数係数
不等式 x/2−1>x/3 を解いた結果はどれか。
- x>1
- x>6
- x<6
- x>−6
正解と解説
正解：B. x>6
両辺に 6 を掛けて 3x−6>2x、移項して x>6。x>1 は定数 −1 に 6 を掛け忘れて 3x−1>2x としたミス。分母をはらうときは定数項にも同じ数を掛ける。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問25｜連立不等式
連立不等式 2x−1>3、3x+2≦x+10 を解いた結果はどれか。
- 2≦x≦4
- 2<x≦4
- 2≦x<4
- 2<x<4
正解と解説
正解：B. 2<x≦4
前者から x>2（2 は含まない）、後者は 2x≦8 より x≦4（4 は含む）。共通部分は 2<x≦4。端点を含むかどうかは元の不等号（> と ≦）をそのまま引き継ぐ。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問26｜絶対値方程式
方程式 |x|=5 の解はどれか。
- x=5
- x=−5
- x=±5
- x=±√5
正解と解説
正解：C. x=±5
原点からの距離が 5 の点は数直線上に 2 つあるので x=5 と x=−5、まとめて x=±5。正の方だけ答えると解が 1 つ抜ける。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問27｜絶対値不等式
不等式 |x−2|<3 を解いた結果はどれか。
- −1<x<5
- −3<x<3
- −5<x<1
- x<5
正解と解説
正解：A. −1<x<5
|X|<c 型は −c<X<c。−3<x−2<3 の各辺に 2 を足して −1<x<5。−3<x<3 は中身のずれ（−2）を無視したミス。x=0 を代入すると |−2|=2<3 で成立し、0 が範囲に入ることと合う。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問28｜絶対値不等式
不等式 |x+1|≧4 を解いた結果はどれか。
- −5≦x≦3
- x≦−3 または x≧5
- x≧3
- x≦−5 または x≧3
正解と解説
正解：D. x≦−5 または x≧3
|X|≧c 型は外側で X≦−c または X≧c。x+1≦−4 または x+1≧4 から x≦−5 または x≧3。内側にはさむのは |X|≦c のときで、混同が定番ミス。x=0 では |1|=1 で不成立なので、0 を含まないこの答えと整合する。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問29｜解からの逆算
不等式 5x−3<2x+a の解が x<4 となるような定数 a の値はどれか。
- a=12
- a=1
- a=15
- a=9
正解と解説
正解：D. a=9
整理すると 3x<a+3、x<(a+3)/3。これが x<4 と一致する条件は (a+3)/3=4、よって a=9。a=12 は a/3=4 と定数 3 を落としたミス、a=1 は a+3=4 としたミス。a=9 のとき両辺は x=4 で等しくなることも確認できる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問30｜整数解の個数
連立不等式 x+3>1、2x−1≦5 を満たす整数 x は何個あるか。
- 6個
- 5個
- 4個
- 7個
正解と解説
正解：B. 5個
x>−2 かつ x≦3 なので −2<x≦3。この範囲の整数は −1、0、1、2、3 の 5 個。−2 は含まれない（x>−2 は等号なし）ので 6 個は誤り。端点の扱いを書き出して数えるのが確実。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（1次不等式）
問31｜共通部分
A={1, 2, 3, 4, 5, 6}、B={2, 4, 6, 8} のとき、A∩B はどれか。
- {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
- {8}
- {2, 4, 6}
- {1, 3, 5}
正解と解説
正解：C. {2, 4, 6}
A∩B は両方に属する要素の集合。B の要素 2、4、6、8 のうち A にも入るのは 2、4、6。{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} は A∪B（和集合）であり、∩ と ∪ の混同が定番ミス。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問32｜和集合
A={1, 2, 3, 4, 5, 6}、B={2, 4, 6, 8} のとき、A∪B はどれか。
- {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
- {2, 4, 6}
- {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- {8}
正解と解説
正解：A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
A∪B は少なくとも一方に属する要素すべて。A の要素に、B だけにある 8 を加えて {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}。同じ要素は 1 回だけ書く。{2, 4, 6} は共通部分 A∩B。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問33｜補集合
全体集合 U={1, 2, …, 10}、A={2, 4, 6, 8, 10} のとき、A の補集合はどれか。
- {1, 3, 5, 7, 9}
- {2, 4, 6, 8, 10}
- {1, 2, …, 10}
- 空集合
正解と解説
正解：A. {1, 3, 5, 7, 9}
補集合は U の要素のうち A に属さないもの。偶数を除いた奇数 {1, 3, 5, 7, 9} が答え。補集合は必ず全体集合 U を決めてから考える。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問34｜ド・モルガン
集合 A、B について、A∪B の補集合と常に等しいものはどれか。
- Ā∪B̄（Aの補集合とBの補集合の和集合）
- Ā∩B̄（Aの補集合とBの補集合の共通部分）
- A∩B
- Ā∩B（Aの補集合とBの共通部分）
正解と解説
正解：B. Ā∩B̄（Aの補集合とBの補集合の共通部分）
ド・モルガンの法則により、補集合をとると ∪ と ∩ が入れ替わる。A∪B の補集合は Ā∩B̄。「A にも B にも入らない」=「A の外かつ B の外」とベン図で確かめられる。Ā∪B̄ は A∩B の補集合の方である。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問35｜必要十分
「x=3」は「x²=9」であるための何条件か。
- 必要条件であるが十分条件でない
- 必要十分条件である
- 十分条件であるが必要条件でない
- 必要条件でも十分条件でもない
正解と解説
正解：C. 十分条件であるが必要条件でない
x=3 ⇒ x²=9 は真。逆の x²=9 ⇒ x=3 は反例 x=−3 があり偽。⇒ が成り立つ側の仮定なので、x=3 は十分条件であるが必要条件でない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問36｜必要十分
「x>0」は「x>2」であるための何条件か。
- 十分条件であるが必要条件でない
- 必要十分条件である
- 必要条件でも十分条件でもない
- 必要条件であるが十分条件でない
正解と解説
正解：D. 必要条件であるが十分条件でない
x>2 ⇒ x>0 は真だから x>0 は必要条件。一方 x>0 ⇒ x>2 は反例 x=1 で偽なので十分条件ではない。広い方の条件（x>0）が必要条件になる、と範囲の包含で覚えるとよい。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問37｜背理法
√2 が無理数であることを背理法で証明する。最初に仮定する内容として正しいものはどれか。
- √2 は無理数であると仮定する
- √2 は整数であると仮定する
- 2 は有理数であると仮定する
- √2 は有理数であると仮定する
正解と解説
正解：D. √2 は有理数であると仮定する
背理法では示したい結論の否定を仮定する。「無理数である」の否定は「有理数である」。既約分数 q/p とおいて進めると p、q がともに偶数となり既約に矛盾し、仮定が誤りだと分かる。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問38｜逆の命題
命題「x=1 ならば x²=1」の逆はどれか。
- x≠1 ならば x²≠1
- x²≠1 ならば x≠1
- x²=1 ならば x=1
- x=1 ならば x²≠1
正解と解説
正解：C. x²=1 ならば x=1
逆は仮定と結論を入れ替えた「x²=1 ならば x=1」。なおこの逆は反例 x=−1 があるので偽であり、元の命題が真でも逆が真とは限らない例になっている。仮定と結論を否定したものは裏、両方行うと対偶。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問39｜対偶
命題「n² が偶数ならば n は偶数」の対偶はどれか。
- n が偶数ならば n² は偶数
- n が奇数ならば n² は奇数
- n² が奇数ならば n は奇数
- n が奇数ならば n² は偶数
正解と解説
正解：B. n が奇数ならば n² は奇数
対偶は結論の否定 ⇒ 仮定の否定。「n は偶数」の否定は「n は奇数」、「n² は偶数」の否定は「n² は奇数」なので、対偶は「n が奇数ならば n² は奇数」。これは直接証明しやすく、元の命題の証明に使える。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
問40｜必要十分
a、b を実数とする。「|a|=|b|」は「a=b」であるための何条件か。
- 必要条件であるが十分条件でない
- 十分条件であるが必要条件でない
- 必要十分条件である
- 必要条件でも十分条件でもない
正解と解説
正解：A. 必要条件であるが十分条件でない
a=b ⇒ |a|=|b| は真なので |a|=|b| は必要条件。逆の |a|=|b| ⇒ a=b は反例 a=1、b=−1（|1|=|−1| だが 1≠−1）で偽なので十分条件ではない。よって必要条件であるが十分条件でない。
根拠：文部科学省「高等学校学習指導要領」（平成30年文部科学省告示第68号）第2章第4節 数学 第2款 第1 数学Ⅰ 2 内容（1）数と式（集合と命題）
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※ 出題は高等学校学習指導要領（平成30年告示・数学）の範囲に沿った仮の宿 学習室のオリジナル問題です。計算問題はすべて機械検算ずみ。学校の定期テストの出題範囲・形式は各学校の指示をご確認ください。