Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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Quelle est la valeur de sin30° ?
Dans le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1:2:√3, le côté opposé à l'angle de 30° vaut la moitié de l'hypoténuse, donc sin30°=1/2. La valeur √3/2 est celle de cos30°, √2/2 celle de sin45° et √3/3 celle de tan30° : mieux vaut mémoriser le tableau complet pour éviter les confusions.
Quelle est la valeur de cos45° ?
Dans le triangle rectangle isocèle de côtés 1:1:√2, cos45°=1/√2=√2/2. La valeur 1/2 est celle de cos60° et √3/2 celle de cos30°. La particularité de 45° est que le sinus et le cosinus y prennent la même valeur, √2/2.
Quelle est la valeur de tan60° ?
Dans le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1:2:√3, le côté opposé à l'angle de 60° vaut √3 et le côté adjacent 1, donc tan60°=√3. La valeur √3/3 est celle de tan30°, obtenue en intervertissant côté opposé et côté adjacent ; √3/2 est la valeur de sin60°.
Quelle est la valeur de sin120° ?
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Le sinus reste positif pour 90°<θ<180°, donc ajouter un signe moins et écrire −√3/2 est une erreur. La valeur 1/2 est celle de sin30°, égale à cos60°.
Quelle est la valeur de cos135° ?
cos135°=−cos45°=−√2/2. Il faut retenir que le cosinus change de signe lorsqu'on passe de θ à 180°−θ. L'erreur la plus fréquente est d'oublier ce signe et de répondre √2/2. La valeur −√3/2 est celle de cos150°.
Quelle est la valeur de tan150° ?
tan150°=−tan30°=−√3/3. La tangente est négative pour un angle obtus. Oublier le signe conduit à √3/3, et confondre tan30° avec tan60° conduit à −√3.
Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, on note A l'angle opposé au côté de longueur 3. Quelle est la valeur de sinA ?
Le sinus est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse. L'hypoténuse est le plus grand côté, 5, et le côté opposé à l'angle A vaut 3, donc sinA=3/5. La valeur 4/5 est cosA et 3/4 est tanA. Il faut repérer sur la figure quel côté est opposé et quel côté est adjacent avant de former le rapport.
Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, on note A l'angle opposé au côté de longueur 3. Quelle est la valeur de tanA ?
La tangente est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Le côté opposé à l'angle A vaut 3 et le côté adjacent 4, donc tanA=3/4. L'erreur fréquente est d'inverser le rapport et d'écrire 4/3. Les valeurs 3/5 et 4/5 sont respectivement sinA et cosA.
Si θ est un angle aigu et sinθ=1/3, quelle est la valeur de cosθ ?
On a cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Comme θ est aigu, cosθ=√(8/9)=2√2/3. Répondre 8/9 revient à oublier de prendre la racine carrée, et √2/3 provient d'une erreur dans le calcul √8=2√2.
Si 90°<θ<180° et cosθ=−1/4, quelle est la valeur de sinθ ?
On a sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Pour 90°<θ<180°, sinθ>0, donc sinθ=√15/4. L'erreur typique consiste à rendre aussi le sinus négatif parce que le cosinus l'est. La réponse 15/16 vient de l'oubli de la racine carrée.
Si 90°<θ<180° et sinθ=2/3, quelle est la valeur de tanθ ?
On a cos²θ=1−4/9=5/9 et, l'angle étant obtus, cosθ=−√5/3. Alors tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Prendre un cosinus positif conduit à la réponse erronée 2√5/5.
Quelle expression a la même valeur que cos35° ?
D'après la formule sin(90°−θ)=cosθ, on a sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Cela signifie que, pour les deux angles aigus d'un triangle rectangle, ici 35° et 55°, le même rapport de côtés s'exprime tantôt par un sinus, tantôt par un cosinus.
Quelle est la valeur de cos150° ?
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2. Par la formule relative à 180°−θ, le cosinus change de signe. La valeur −1/2 est celle de cos120° et −√2/2 celle de cos135° : il faut choisir le bon angle aigu de référence.
Si θ est un angle aigu et tanθ=2, quelle est la valeur de cosθ ?
De 1+tan²θ=1/cos²θ on tire 1/cos²θ=1+4=5, donc cos²θ=1/5. L'angle étant aigu, cosθ=1/√5=√5/5. La réponse 1/5 vient de l'oubli de la racine carrée, et 2√5/5 est la valeur de sinθ.
Si sinθ+cosθ=1/2, quelle est la valeur de sinθcosθ ?
En élevant au carré, sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. En utilisant sin²θ+cos²θ=1, on obtient 1+2sinθcosθ=1/4, donc sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Perdre le signe donne 3/8, et oublier la division par 2 donne −3/4.
Dans le triangle ABC, A=30° et a=4. Quel est le rayon R du cercle circonscrit ?
La loi des sinus donne 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, donc R=4. Répondre 8 revient à donner la valeur de 2R. La règle de choix est simple : dès qu'on dispose d'un côté et de l'angle qui lui est opposé, on utilise la loi des sinus.
Dans le triangle ABC, A=45°, B=60° et a=√2. Quelle est la valeur de b ?
De la loi des sinus a/sinA=b/sinB, on tire b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. La valeur √6/2 correspond au calcul b=a·sinB, sans division par sinA. Deux angles et un côté conduisent à la loi des sinus.
Dans le triangle ABC, b=3, c=5 et A=60°. Quelle est la valeur de a ?
La loi des cosinus donne a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, donc a=√19. Oublier le terme −2bc·cosA conduit à √34 et lui donner le signe + conduit à a²=49, soit 7.
Dans le triangle ABC, a=7, b=5 et c=3. Quelle est la mesure de A ?
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, donc A=120°. Une erreur de signe au numérateur donne 1/2, soit 60°. Comme cos135°=−√2/2 et cos150°=−√3/2, il ne faut pas confondre avec ces valeurs.
Dans le triangle ABC, a=√7, b=2 et c=3. Quelle est la mesure de A ?
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, donc A=60°. Ne pas confondre avec cos30°=√3/2 ni cos45°=√2/2. Lorsque les trois côtés sont connus, on utilise la loi des cosinus sous la forme donnant le cosinus.
Dans le triangle ABC, b=√6, B=60° et a=2. Quelle est la mesure de A, sachant que A est aigu ?
La loi des sinus donne sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. L'angle A étant aigu, A=45°. Trouver à tort sinA=1/2 conduit à 30°. Il faut mener soigneusement la rationalisation de √3/√6.
Dans le triangle ABC, b=2, c=4 et A=120°. Quelle est la valeur de a ?
a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, donc a=2√7. Prendre cos120° positif au lieu de −1/2 donne a²=12, soit 2√3, et oublier le terme correctif donne a²=20, soit 2√5.
Dans un triangle de côtés 2, 3 et 4, quelle est la valeur du cosinus du plus grand angle ?
Le plus grand angle est opposé au plus grand côté, 4. cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Ce cosinus étant négatif, le plus grand angle est obtus. Les valeurs 7/8 et 11/16 sont les cosinus des deux autres angles, obtenues si l'on se trompe de plus grand côté.
Quel est le rayon R du cercle circonscrit à un triangle de côtés 3, 5 et 7 ?
L'angle θ opposé au plus grand côté 7 vérifie cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2, donc θ=120°. La loi des sinus donne 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3, donc R=7/√3=7√3/3. Il ne faut pas donner comme réponse la valeur de 2R, à savoir 14√3/3.
Lorsque l'on connaît deux côtés d'un triangle et l'angle qu'ils forment, quel théorème convient le mieux pour calculer le troisième côté ?
Calculer le troisième côté à partir de deux côtés et de l'angle compris est l'usage typique de la loi des cosinus, a²=b²+c²−2bc·cosA. La loi des sinus s'emploie lorsqu'on connaît un côté et l'angle qui lui est opposé. Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'au triangle rectangle.
Quelle est l'aire d'un triangle dont deux côtés mesurent 5 et 8 et forment un angle de 60° ?
S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Oublier le facteur 1/2 donne 20√3. Confondre sin60°=√3/2 avec 1/2, qui est sin30°, donne 10.
Un triangle dont deux côtés mesurent 7 et 8 a pour aire 14. Quel est l'angle aigu θ formé par ces deux côtés ?
De S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 on tire sinθ=1/2. L'angle θ étant aigu, θ=30°. Il faut connaître précisément les valeurs des angles remarquables pour ne pas répondre 60° à partir de sinθ=1/2, en confondant avec sin60°=√3/2.
Quelle est l'aire d'un triangle dont deux côtés mesurent 4 et 3√2 et forment un angle de 135° ?
S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6. On emploie directement sin135°=√2/2, qui est positif. La réponse 6√2 vient de l'oubli du facteur sin135°, 12 de l'oubli du facteur (1/2), et 3√2 d'avoir pris sin135° égal à 1/2.
Quelle est l'aire d'un triangle de côtés 5, 6 et 7 ?
La loi des cosinus donne cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, puis sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Alors S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. La formule de Héron le confirme : s=9 et S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.
Quel est le rayon r du cercle inscrit dans un triangle de côtés 5, 6 et 7, dont l'aire vaut 6√6 ?
De S=(1/2)r(a+b+c) on tire 6√6=(1/2)r·18=9r, donc r=6√6/9=2√6/3. Oublier de prendre la moitié du périmètre 18 et écrire 18r conduit à √6/3. La démarche habituelle consiste à calculer d'abord l'aire, puis r.
Quel est le rayon r du cercle inscrit dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5 ?
L'aire vaut S=(1/2)·3·4=6. De S=(1/2)r(3+4+5)=6r on tire r=1. Pour un triangle rectangle, on peut aussi utiliser r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1, où c désigne l'hypoténuse.
Depuis un point situé à 12 m horizontalement d'une tour, on voit son sommet sous un angle d'élévation de 30°. En négligeant la hauteur des yeux, quelle est la hauteur de la tour ?
La hauteur vaut h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3, soit environ 6.9 m. Confondre avec tan60°=√3 donne 12√3. Pour ce type de problème, la relation de base est : hauteur = distance horizontale × tangente de l'angle d'élévation.
Quelle est la hauteur d'un tétraèdre régulier d'arête 6 ?
Le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet sur la base est le centre de gravité du triangle équilatéral de base, et la distance d'un sommet de la base à ce centre vaut 6/√3=2√3. La hauteur est donc h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. Il ne faut pas confondre cette distance avec la longueur de la médiane, 3√3.
Quel est le volume d'un tétraèdre régulier d'arête 6 ?
L'aire de la base vaut (√3/4)·36=9√3 et la hauteur 2√6, donc V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Oublier le facteur 1/3 donne 54√2. La formule V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 confirme le résultat.
Dans le triangle ABC, sinA:sinB:sinC=7:5:3. Quelle est la mesure de A ?
La loi des sinus donne a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. En posant a=7k, b=5k et c=3k, on obtient cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, donc A=120°. Le point clé est qu'un rapport de sinus se traduit en rapport de côtés.
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