รูปเรขาคณิตและการวัด อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วนด้าน 1:2:√3 ด้านตรงข้ามมุม 30° ยาวครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น sin30°=1/2 ส่วน √3/2 คือ cos30° และ √2/2 คือ sin45° และ √3/3 คือ tan30° ค่าเหล่านี้สับสนกันง่าย จึงควรจำเป็นตาราง

ในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่มีอัตราส่วน 1:1:√2 จะได้ cos45°=1/√2=√2/2 ส่วน 1/2 คือ cos60° และ √3/2 คือ cos30° จุดเด่นของมุม 45° คือ sin กับ cos มีค่าเท่ากันคือ √2/2

ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีอัตราส่วน 1:2:√3 ด้านตรงข้ามมุม 60° ยาว √3 และด้านประชิดยาว 1 ดังนั้น tan60°=√3 ส่วน √3/3 คือ tan30° ซึ่งเกิดจากสลับด้านตรงข้ามกับด้านประชิด และ √3/2 คือค่าของ sin60°

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2 ค่า sin ยังเป็นบวกในช่วง 90°<θ<180° การใส่เครื่องหมายลบเป็น −√3/2 จึงผิด ส่วน 1/2 คือค่าของ sin30° ซึ่งเท่ากับ cos60°

cos135°=−cos45°=−√2/2 ให้ระวังว่า cos เปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อใช้สูตร 180°−θ ความผิดพลาดที่พบมากที่สุดคือลืมใส่เครื่องหมายลบแล้วตอบ √2/2 ส่วน −√3/2 คือค่าของ cos150°

tan150°=−tan30°=−√3/3 ค่า tan เป็นลบเมื่อมุมเป็นมุมป้าน ถ้าลืมเครื่องหมายจะได้ √3/3 และถ้าสับสนระหว่าง tan30° กับ tan60° จะได้ −√3 ซึ่งผิด

sin คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ยาวที่สุดคือ 5 และด้านตรงข้ามมุม A คือ 3 ดังนั้น sinA=3/5 ส่วน 4/5 คือ cosA และ 3/4 คือ tanA ควรดูรูปให้แน่ใจว่าด้านใดเป็นด้านตรงข้ามและด้านใดเป็นด้านประชิดก่อนเขียนอัตราส่วน

tan คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามต่อด้านประชิด ด้านตรงข้ามมุม A คือ 3 และด้านประชิดคือ 4 ดังนั้น tanA=3/4 ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือกลับหัวกลับหางเป็น 4/3 ส่วน 3/5 คือ sinA และ 4/5 คือ cosA

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9 เนื่องจาก θ เป็นมุมแหลม จึงได้ cosθ=√(8/9)=2√2/3 การตอบ 8/9 คือการลืมถอดรากที่สอง ส่วน √2/3 เกิดจากคำนวณ √8=2√2 ผิดพลาด

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16 ในช่วง 90°<θ<180° ค่า sinθ>0 จึงได้ sinθ=√15/4 ความผิดพลาดแบบฉบับคือเห็น cos เป็นลบแล้วทำให้ sin เป็นลบตามไปด้วย ส่วน 15/16 คือการลืมถอดรากที่สอง

cos²θ=1−4/9=5/9 และเนื่องจากเป็นมุมป้าน จึงได้ cosθ=−√5/3 ดังนั้น tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5 ถ้าใส่เครื่องหมายของ cos เป็นบวกจะได้ 2√5/5 ซึ่งผิด

จากสูตรของมุม 90°−θ ที่ว่า sin(90°−θ)=cosθ จะได้ sin55°=sin(90°−35°)=cos35° ความหมายคือ เมื่อมองอัตราส่วนของด้านคู่เดียวกันจากมุมแหลมสองมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ 35° กับ 55° ค่า sin กับ cos จะสลับกัน

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2 สูตร 180°−θ ทำให้ cos เปลี่ยนเครื่องหมาย ส่วน −1/2 คือค่าของ cos120° และ −√2/2 คือค่าของ cos135° จึงต้องเลือกมุมแหลมที่ใช้อ้างอิงให้ถูก

จาก 1+tan²θ=1/cos²θ จะได้ 1/cos²θ=1+4=5 นั่นคือ cos²θ=1/5 เนื่องจากเป็นมุมแหลม จึงได้ cosθ=1/√5=√5/5 ข้อ 1/5 คือการลืมถอดรากที่สอง ส่วน 2√5/5 เป็นค่าของ sinθ

ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4 แทน sin²θ+cos²θ=1 ได้ 1+2sinθcosθ=1/4 จึงได้ sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8 ถ้าทำเครื่องหมายตกหล่นจะได้ 3/8 และถ้าลืมหารด้วย 2 จะได้ −3/4

จากกฎของไซน์ 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8 ดังนั้น R=4 ถ้าตอบค่า 2R=8 ไปเลยก็จะผิดเป็น 8 หลักการเลือกใช้คือ ถ้ามีคู่ของด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน ให้ใช้กฎของไซน์

จากกฎของไซน์ a/sinA=b/sinB ได้ b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3 ข้อ √6/2 คือค่าที่ได้เมื่อลืมหารด้วย sinA แล้วคิดเป็น b=a·sinB เมื่อโจทย์ให้มุมสองมุมกับด้านหนึ่งด้าน ให้ใช้กฎของไซน์

จากกฎของโคไซน์ a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19 ได้ a=√19 ถ้าลืมพจน์ −2bc·cosA จะได้ √34 และถ้าใส่เครื่องหมายเป็นบวกจะได้ a²=49 คือ 7 ซึ่งผิด

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2 ดังนั้น A=120° ถ้าทำเครื่องหมายของตัวเศษผิดจนได้ 1/2 จะตอบเป็น 60° เนื่องจาก cos135°=−√2/2 และ cos150°=−√3/2 จึงอย่าสับสนกับค่าเหล่านี้

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2 ดังนั้น A=60° อย่าสับสนกับ cos30°=√3/2 และ cos45°=√2/2 เมื่อรู้ความยาวครบทั้งสามด้าน ให้ใช้กฎของโคไซน์ในรูปที่แก้หา cos

จากกฎของไซน์ sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2 เนื่องจาก A เป็นมุมแหลม จึงได้ A=45° ถ้าคิดผิดเป็น sinA=1/2 จะตอบ 30° ควรทำให้ √3/√6 ไม่ติดกรณฑ์อย่างรอบคอบ

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28 ดังนั้น a=2√7 ถ้าคิดเครื่องหมายของ cos120°=−1/2 ผิดเป็นบวก จะได้ a²=12 คือ 2√3 และถ้าลืมพจน์ปรับแก้จะได้ a²=20 คือ 2√5

มุมที่ใหญ่ที่สุดคือมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดคือ 4 จะได้ cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4 ค่าที่เป็นลบแสดงว่ามุมที่ใหญ่ที่สุดเป็นมุมป้าน ส่วน 7/8 กับ 11/16 เป็นโคไซน์ของอีกสองมุม ซึ่งจะได้มาเมื่อเลือกด้านที่ยาวที่สุดผิด

มุม θ ที่อยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดคือ 7 มี cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2 นั่นคือ 120° จากกฎของไซน์ 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3 จึงได้ R=7/√3=7√3/3 อย่าตอบค่าของ 2R ซึ่งเท่ากับ 14√3/3 เป็นคำตอบของ R

การหาด้านที่เหลือจากด้านสองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง เป็นการใช้กฎของโคไซน์ a²=b²+c²−2bc·cosA แบบฉบับ ส่วนกฎของไซน์ใช้เมื่อทราบคู่ของด้านกับมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน และทฤษฎีบทพีทาโกรัสใช้ได้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3 ถ้าลืมคูณด้วย 1/2 จะได้ 20√3 และถ้าคิด sin60°=√3/2 ผิดเป็น 1/2 ซึ่งเป็นค่าของ sin30° จะได้ 10

จาก S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 ได้ sinθ=1/2 เนื่องจาก θ เป็นมุมแหลม จึงได้ θ=30° อย่าเห็น sinθ=1/2 แล้วตอบ 60° เพราะสับสนกับ sin60°=√3/2 ควรจำค่าของมุมมาตรฐานให้แม่นยำ

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6 ใช้ sin135°=√2/2 ซึ่งเป็นค่าบวกได้เลย ข้อ 6√2 เกิดจากลืมคูณด้วย sin135° ข้อ 12 เกิดจากลืมคูณด้วย 1/2 และ 3√2 เกิดจากคิด sin135° ผิดเป็น 1/2

ใช้กฎของโคไซน์ได้ cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7 และ sinA=√(1−25/49)=2√6/7 จึงได้ S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6 จะตรวจด้วยสูตรเฮรอนก็ได้ โดย s=9 และ S=√(9·4·3·2)=√216=6√6

จาก S=(1/2)r(a+b+c) ได้ 6√6=(1/2)r·18=9r ดังนั้น r=6√6/9=2√6/3 ถ้าลืมแบ่งครึ่งความยาวรอบรูปซึ่งเท่ากับ 18 แล้วคิดเป็น 18r จะได้ √6/3 วิธีมาตรฐานคือหาพื้นที่ก่อนแล้วจึงหา r

พื้นที่ S=(1/2)·3·4=6 จาก S=(1/2)r(3+4+5)=6r ได้ r=1 สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากยังหาได้จาก r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ความสูง h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3 ซึ่งประมาณ 6.9 เมตร ถ้าสับสนกับ tan60°=√3 จะได้ 12√3 รูปแบบพื้นฐานของโจทย์มุมเงยคือ ความสูง เท่ากับ ระยะทางในแนวราบ คูณด้วย tan ของมุมเงย

เท้าของเส้นตั้งฉากที่ลากจากยอดลงสู่ฐานคือจุดเซนทรอยด์ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เป็นฐาน ระยะจากมุมของฐานถึงเซนทรอยด์เท่ากับ 6/√3=2√3 ความสูงจึงเป็น h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6 อย่าสับสนระยะถึงเซนทรอยด์กับความยาวเส้นมัธยฐานซึ่งเท่ากับ 3√3

พื้นที่ฐานเท่ากับ (√3/4)·36=9√3 และความสูงเท่ากับ 2√6 จึงได้ V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2 ถ้าลืมคูณด้วย 1/3 จะได้ 54√2 จะตรวจด้วยสูตร V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 ก็ได้

จากกฎของไซน์ a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3 ให้ a=7k, b=5k และ c=3k จะได้ cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2 ดังนั้น A=120° หัวใจของข้อนี้คืออัตราส่วนของ sin เปลี่ยนเป็นอัตราส่วนของด้านได้