SMA · Lab Ujian Berkala Matematika SMA
Soal dan pembahasan dapat dibaca dalam Bahasa Indonesia. Materi kuliah (artikel penjelasan) hanya tersedia dalam bahasa Jepang.
Lihat versi bahasa Jepang (dengan materi kuliah) →
Manakah nilai dari sin30°?
Pada segitiga siku-siku dengan perbandingan sisi 1:2:√3, sisi di hadapan sudut 30° adalah setengah sisi miring, sehingga sin30°=1/2. Nilai √3/2 adalah cos30°, √2/2 adalah sin45°, dan √3/3 adalah tan30°; karena mudah tertukar, sebaiknya dihafalkan sekaligus dalam bentuk tabel.
Manakah nilai dari cos45°?
Pada segitiga siku-siku sama kaki (1:1:√2), cos45°=1/√2=√2/2. Nilai 1/2 adalah cos60° dan √3/2 adalah cos30°. Ciri khas sudut 45° adalah nilai sin dan cos-nya sama, yaitu √2/2.
Manakah nilai dari tan60°?
Pada segitiga siku-siku dengan perbandingan 1:2:√3, sisi di hadapan sudut 60° adalah √3 dan sisi sampingnya 1, sehingga tan60°=√3. Nilai √3/3 adalah tan30°, yaitu kekeliruan yang timbul bila sisi depan dan sisi samping tertukar. Adapun √3/2 adalah nilai sin60°.
Manakah nilai dari sin120°?
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Nilai sin tetap positif untuk 90°<θ<180°, sehingga memberi tanda negatif seperti pada −√3/2 adalah keliru. Adapun 1/2 adalah nilai sin30° (yaitu cos60°).
Manakah nilai dari cos135°?
cos135°=−cos45°=−√2/2. Perhatikan bahwa tanda cos berubah pada 180°−θ. Kekeliruan yang paling sering adalah √2/2 karena lupa memberi tanda negatif. Adapun −√3/2 adalah nilai cos150°.
Manakah nilai dari tan150°?
tan150°=−tan30°=−√3/3. Nilai tan menjadi negatif pada sudut tumpul. Lupa memberi tanda menghasilkan √3/3, sedangkan tertukarnya tan30° dengan tan60° menghasilkan kekeliruan −√3.
Pada segitiga siku-siku dengan panjang ketiga sisinya 3, 4, dan 5, sudut yang berhadapan dengan sisi sepanjang 3 disebut A. Manakah nilai sinA?
sin adalah (sisi depan)/(sisi miring). Sisi miringnya adalah yang terpanjang, yaitu 5, dan sisi di hadapan sudut A adalah 3, sehingga sinA=3/5. Nilai 4/5 adalah cosA dan 3/4 adalah tanA. Pastikan lebih dulu lewat gambar sisi mana yang menjadi sisi depan dan sisi samping, baru susun perbandingannya.
Pada segitiga siku-siku dengan panjang ketiga sisinya 3, 4, dan 5, sudut yang berhadapan dengan sisi sepanjang 3 disebut A. Manakah nilai tanA?
tan adalah (sisi depan)/(sisi samping). Sisi di hadapan sudut A adalah 3 dan sisi sampingnya 4, sehingga tanA=3/4. Banyak yang keliru membaliknya menjadi 4/3. Adapun 3/5 adalah sinA dan 4/5 adalah cosA.
Jika θ sudut lancip dan sinθ=1/3, manakah nilai cosθ?
cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Karena θ sudut lancip, cosθ=√(8/9)=2√2/3. Menjawab 8/9 berarti lupa menarik akarnya, sedangkan √2/3 timbul dari kesalahan menghitung √8=2√2.
Jika 90°<θ<180° dan cosθ=−1/4, manakah nilai sinθ?
sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Pada 90°<θ<180° berlaku sinθ>0, sehingga sinθ=√15/4. Kekeliruan yang khas adalah ikut memberi tanda negatif pada sin hanya karena cos-nya negatif. Nilai 15/16 muncul karena lupa menarik akarnya.
Jika 90°<θ<180° dan sinθ=2/3, manakah nilai tanθ?
Dari cos²θ=1−4/9=5/9 dan karena sudutnya tumpul, cosθ=−√5/3. Maka tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Bila tanda cos dianggap positif, timbul kekeliruan 2√5/5.
Manakah yang nilainya sama dengan cos35°?
Dengan rumus sudut 90°−θ, yaitu sin(90°−θ)=cosθ, diperoleh sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Artinya, bila perbandingan sisi yang sama dilihat dari kedua sudut lancip pada segitiga siku-siku (35° dan 55°), peran sin dan cos saling bertukar.
Manakah nilai dari cos150°?
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2. Dengan rumus 180°−θ, tanda cos berubah. Nilai −1/2 adalah cos120° dan −√2/2 adalah cos135°, jadi jangan salah memilih sudut lancip acuannya.
Jika θ sudut lancip dan tanθ=2, manakah nilai cosθ?
Dari 1+tan²θ=1/cos²θ diperoleh 1/cos²θ=1+4=5 sehingga cos²θ=1/5. Karena sudutnya lancip, cosθ=1/√5=√5/5. Menjawab 1/5 berarti lupa menarik akarnya, sedangkan 2√5/5 adalah nilai sinθ.
Jika sinθ+cosθ=1/2, manakah nilai dari sinθcosθ?
Kuadratkan kedua ruas sehingga sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. Substitusikan sin²θ+cos²θ=1 sehingga 1+2sinθcosθ=1/4, jadi sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Tanda yang hilang menghasilkan 3/8, sedangkan lupa membagi 2 menghasilkan −3/4.
Pada △ABC dengan A=30° dan a=4, manakah jari-jari lingkaran luar R?
Menurut aturan sinus, 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, sehingga R=4. Menjawab 8 berarti nilai 2R=8 langsung dipakai sebagai jawaban. Patokan pemilihan rumusnya: bila tersedia pasangan sisi dan sudut yang saling berhadapan, gunakan aturan sinus.
Pada △ABC dengan A=45°, B=60°, dan a=√2, manakah nilai b?
Dari aturan sinus a/sinA=b/sinB diperoleh b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. Nilai √6/2 muncul bila lupa membagi dengan sinA sehingga hanya dihitung b=a·sinB. Dua sudut dan satu sisi mengarah ke aturan sinus.
Pada △ABC dengan b=3, c=5, dan A=60°, manakah nilai a?
Menurut aturan kosinus, a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, sehingga a=√19. Bila suku −2bc·cosA terlupakan diperoleh √34, dan bila tandanya dijadikan positif diperoleh a²=49 sehingga muncul kekeliruan 7.
Pada △ABC dengan a=7, b=5, dan c=3, manakah besar sudut A?
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, sehingga A=120°. Salah tanda pada pembilangnya menghasilkan 1/2 sehingga terjawab 60°. Karena cos135°=−√2/2 dan cos150°=−√3/2, jangan tertukar dengan nilai-nilai itu.
Pada △ABC dengan a=√7, b=2, dan c=3, manakah besar sudut A?
cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, sehingga A=60°. Jangan tertukar dengan cos30°=√3/2 dan cos45°=√2/2. Bila ketiga sisinya lengkap, gunakan aturan kosinus dalam bentuk cos.
Pada △ABC dengan b=√6, B=60°, dan a=2, manakah besar sudut A (A adalah sudut lancip)?
Menurut aturan sinus, sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. Karena A sudut lancip, A=45°. Salah menghitung menjadi sinA=1/2 menghasilkan 30°. Lakukan perasionalan √3/√6 dengan teliti.
Pada △ABC dengan b=2, c=4, dan A=120°, manakah nilai a?
a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, sehingga a=2√7. Bila tanda cos120°=−1/2 keliru dianggap positif diperoleh a²=12 sehingga menjadi 2√3, dan bila suku koreksinya terlupakan diperoleh a²=20 sehingga menjadi 2√5.
Pada segitiga dengan panjang ketiga sisinya 2, 3, dan 4, manakah nilai kosinus sudut terbesarnya?
Sudut terbesar berhadapan dengan sisi terpanjang, yaitu 4. cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Karena nilainya negatif, sudut terbesarnya adalah sudut tumpul. Nilai 7/8 dan 11/16 adalah kosinus kedua sudut lainnya, yang timbul bila sisi terpanjang salah dipilih.
Manakah jari-jari lingkaran luar R dari segitiga yang panjang ketiga sisinya 3, 5, dan 7?
Sudut θ yang berhadapan dengan sisi terpanjang 7 memenuhi cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2 sehingga θ=120°. Menurut aturan sinus, 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3 sehingga R=7/√3=7√3/3. Jangan menjawab 14√3/3 yang sebenarnya nilai 2R.
Jika panjang dua sisi segitiga dan sudut yang diapitnya diketahui, manakah dalil yang paling tepat digunakan untuk mencari panjang sisi sisanya?
Mencari sisi sisanya dari dua sisi dan sudut yang diapit adalah penggunaan khas aturan kosinus a²=b²+c²−2bc·cosA. Aturan sinus dipakai bila yang diketahui adalah pasangan sisi dan sudut yang saling berhadapan. Teorema Pythagoras hanya untuk segitiga siku-siku.
Manakah luas segitiga yang panjang dua sisinya 5 dan 8 dengan sudut apit 60°?
S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Lupa mengalikan dengan 1/2 menghasilkan 20√3. Keliru menganggap sin60°=√3/2 sebagai 1/2 (yaitu sin30°) menghasilkan 10.
Jika luas segitiga yang panjang dua sisinya 7 dan 8 adalah 14, manakah sudut apit θ kedua sisi itu (θ sudut lancip)?
Dari S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14 diperoleh sinθ=1/2. Karena θ sudut lancip, θ=30°. Agar sinθ=1/2 tidak keliru dibaca sebagai 60° (tertukar dengan sin60°=√3/2), hafalkan nilai sudut istimewa dengan tepat.
Manakah luas segitiga yang panjang dua sisinya 4 dan 3√2 dengan sudut apit 135°?
S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6. Cukup pakai sin135°=√2/2 yang bernilai positif. Nilai 6√2 muncul karena lupa mengalikan sin135°, 12 karena lupa mengalikan (1/2), dan 3√2 karena sin135° keliru dianggap 1/2.
Manakah luas segitiga yang panjang ketiga sisinya 5, 6, dan 7?
Dengan aturan kosinus, cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7 dan sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Maka S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. Dengan rumus Heron pun dapat diperiksa: s=9 dan S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.
Manakah jari-jari lingkaran dalam r dari segitiga yang panjang ketiga sisinya 5, 6, dan 7 (luasnya 6√6)?
Dari S=(1/2)r(a+b+c) diperoleh 6√6=(1/2)r·18=9r, sehingga r=6√6/9=2√6/3. Bila keliling 18 lupa dibagi dua sehingga tertulis 18r, hasilnya menjadi √6/3. Urutan bakunya adalah mencari luas lebih dulu, baru r.
Manakah jari-jari lingkaran dalam r dari segitiga siku-siku yang panjang ketiga sisinya 3, 4, dan 5?
Luasnya S=(1/2)·3·4=6. Dari S=(1/2)r(3+4+5)=6r diperoleh r=1. Pada segitiga siku-siku, r juga dapat dicari dengan r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1 (dengan c sisi miring).
Dari sebuah titik yang berjarak mendatar 12 m dari sebuah menara, puncak menara terlihat dengan sudut elevasi 30°. Bila tinggi mata diabaikan, manakah tinggi menara itu?
Tingginya h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3 (sekitar 6.9 m). Tertukar dengan tan60°=√3 menghasilkan 12√3. Bentuk baku soal sudut elevasi adalah tinggi = jarak mendatar × tan(sudut elevasi).
Manakah tinggi bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 6?
Kaki garis tegak lurus dari titik puncak ke bidang alas adalah titik berat segitiga sama sisi pada alas, dan jarak dari titik sudut alas ke titik berat itu 6/√3=2√3. Tingginya h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. Jangan tertukar antara jarak ke titik berat dan panjang garis berat 3√3.
Manakah volume bidang empat beraturan yang panjang rusuknya 6?
Luas alasnya (√3/4)·36=9√3 dan tingginya 2√6, sehingga V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Lupa mengalikan 1/3 menghasilkan 54√2. Dapat pula diperiksa dengan rumus V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2.
Pada △ABC dengan sinA:sinB:sinC=7:5:3, manakah besar sudut A?
Menurut aturan sinus, a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. Dengan memisalkan a=7k, b=5k, c=3k diperoleh cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, sehingga A=120°. Kuncinya, perbandingan sin dapat langsung diubah menjadi perbandingan sisi.
Ini adalah alat latihan dengan soal acak (berfungsi jika JavaScript aktif). Semua soal dan penjelasan di atas tetap dapat dibaca tanpa alat ini.
* Materi ini untuk mengecek isi pelajaran SMA. Jika penulisan atau penjelasannya berbeda dengan buku pelajaran atau pengajaran di sekolah, utamakan buku pelajaran dan penjelasan guru.
Halaman ini adalah terjemahan dari teks asli berbahasa Jepang. Jika terdapat perbedaan antara terjemahan dan teks asli, versi bahasa Jepang yang berlaku. Lihat teks asli bahasa Jepang