Figuras y medición: razones trigonométricas (Matemáticas I)

En un triángulo rectángulo con lados en la razón 1:2:√3, el lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la hipotenusa, así que sin30°=1/2. El valor √3/2 es cos30°, √2/2 es sin45° y √3/3 es tan30°; son fáciles de confundir, así que lo mejor es aprenderse toda la tabla.

En un triángulo rectángulo isósceles con lados 1:1:√2 se obtiene cos45°=1/√2=√2/2. El valor 1/2 es cos60° y √3/2 es cos30°. Un rasgo característico de 45° es que sin y cos toman el mismo valor, √2/2.

En un triángulo rectángulo con lados 1:2:√3, el lado opuesto al ángulo de 60° es √3 y el lado adyacente es 1, así que tan60°=√3. El valor √3/3 es tan30°, que es lo que se obtiene al intercambiar el lado opuesto y el adyacente. El valor √3/2 es sin60°.

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Como sin sigue siendo positivo para 90°<θ<180°, añadir un signo menos para dar −√3/2 es incorrecto. El valor 1/2 es sin30°, que es igual a cos60°.

cos135°=−cos45°=−√2/2. Observe que cos cambia de signo con 180°−θ. Olvidar el signo y responder √2/2 es el error más frecuente. El valor −√3/2 es cos150°.

tan150°=−tan30°=−√3/3. La tangente es negativa para los ángulos obtusos. Olvidar el signo da √3/3, y confundir tan30° con tan60° da −√3.

El seno es (cateto opuesto)/(hipotenusa). La hipotenusa es el lado más largo, 5, y el lado opuesto a A es 3, así que sinA=3/5. El valor 4/5 es cosA y 3/4 es tanA. Identifique en una figura qué lado es el opuesto y cuál el adyacente antes de formar la razón.

La tangente es (cateto opuesto)/(cateto adyacente). El lado opuesto a A es 3 y el adyacente es 4, así que tanA=3/4. Invertirla como 4/3 es un error frecuente. El valor 3/5 es sinA y 4/5 es cosA.

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Como θ es agudo, cosθ=√(8/9)=2√2/3. Responder 8/9 es olvidar sacar la raíz cuadrada, y √2/3 proviene de calcular mal √8=2√2.

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Para 90°<θ<180° se tiene sinθ>0, así que sinθ=√15/4. Hacer negativo el seno solo porque el coseno es negativo es el error típico, y 15/16 olvida la raíz cuadrada.

cos²θ=1−4/9=5/9 y, como el ángulo es obtuso, cosθ=−√5/3. Entonces tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Tomar el coseno como positivo lleva a la respuesta incorrecta 2√5/5.

Por la identidad sin(90°−θ)=cosθ, se tiene sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Esto significa que, al mirar la misma razón entre lados desde los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo (35° y 55°), el seno y el coseno se intercambian.

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2. Con 180°−θ el coseno cambia de signo. El valor −1/2 es cos120° y −√2/2 es cos135°, así que tenga cuidado con el ángulo agudo que toma como base.

De 1+tan²θ=1/cos²θ se obtiene 1/cos²θ=1+4=5, así que cos²θ=1/5. Como θ es agudo, cosθ=1/√5=√5/5. El valor 1/5 olvida la raíz cuadrada, y 2√5/5 es sinθ.

Al elevar al cuadrado ambos miembros se obtiene sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. Al sustituir sin²θ+cos²θ=1 se obtiene 1+2sinθcosθ=1/4, así que sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Omitir el signo da 3/8, y olvidar dividir entre 2 da −3/4.

Por el teorema del seno, 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, así que R=4. Responder 8 es dar el valor de 2R. La regla práctica es usar el teorema del seno siempre que se tenga un par formado por un lado y su ángulo opuesto.

Del teorema del seno a/sinA=b/sinB se obtiene b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. El valor √6/2 es lo que se obtiene al olvidar dividir entre sinA y escribir b=a·sinB. Con dos ángulos y un lado se usa el teorema del seno.

Por el teorema del coseno, a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, así que a=√19. Olvidar el término −2bc·cosA da √34, y tomarlo con signo más da a²=49 y la respuesta incorrecta 7.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, así que A=120°. Equivocarse con el signo del numerador da 1/2 y, por tanto, 60°. Como cos135°=−√2/2 y cos150°=−√3/2, tenga cuidado de no confundir estos valores.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, así que A=60°. No lo confunda con cos30°=√3/2 ni con cos45°=√2/2. Cuando se conocen los tres lados, use el teorema del coseno en su forma para el coseno.

Por el teorema del seno, sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. Como A es agudo, A=45°. Obtener por error sinA=1/2 daría 30°. Racionalice √3/√6 con cuidado.

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, así que a=2√7. Tomar cos120°=−1/2 como positivo da a²=12 y 2√3, mientras que olvidar el término de corrección da a²=20 y 2√5.

El ángulo mayor es el opuesto al lado más largo, 4. cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Como es negativo, el ángulo mayor es obtuso. Los valores 7/8 y 11/16 son los cosenos de los otros dos ángulos, que aparecen si se elige mal el lado más largo.

El ángulo θ opuesto al lado más largo, 7, cumple cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2, así que θ=120°. Por el teorema del seno, 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3, de donde R=7/√3=7√3/3. No dé como R el valor de 2R, es decir, 14√3/3.

Hallar el lado restante a partir de dos lados y el ángulo comprendido es el uso típico del teorema del coseno, a²=b²+c²−2bc·cosA. El teorema del seno se usa cuando se conoce un par formado por un lado y su ángulo opuesto, y el teorema de Pitágoras solo se aplica a triángulos rectángulos.

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Olvidar multiplicar por 1/2 da 20√3. Confundir sin60°=√3/2 con 1/2, que es sin30°, da 10.

S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14, así que sinθ=1/2. Como θ es agudo, θ=30°. No pase de sinθ=1/2 a 60° confundiéndolo con sin60°=√3/2; conozca con exactitud los valores notables.

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6. Basta con usar sin135°=√2/2, que es positivo. La opción 6√2 olvida multiplicar por sin135°, 12 olvida el factor (1/2) y 3√2 proviene de tomar sin135° como 1/2.

Por el teorema del coseno, cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, así que sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Entonces S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. La fórmula de Herón lo confirma: s=9 y S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.

De S=(1/2)r(a+b+c) se obtiene 6√6=(1/2)r·18=9r, así que r=6√6/9=2√6/3. Olvidar dividir entre 2 el perímetro 18 y escribir 18r da √6/3. El procedimiento habitual es hallar primero el área y después r.

El área es S=(1/2)·3·4=6. De S=(1/2)r(3+4+5)=6r se obtiene r=1. En un triángulo rectángulo también puede usar r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1, donde c es la hipotenusa.

La altura es h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3, unos 6.9 m. Confundirlo con tan60°=√3 da 12√3. El esquema básico de los problemas de elevación es altura = distancia horizontal × tan(ángulo de elevación).

El pie de la perpendicular trazada desde el vértice superior a la base es el baricentro de la base equilátera, y la distancia de un vértice de la base a ese baricentro es 6/√3=2√3. La altura es h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. No confunda la distancia al baricentro con la longitud de una mediana, 3√3.

El área de la base es (√3/4)·36=9√3 y la altura es 2√6, así que V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Olvidar el factor 1/3 da 54√2. La fórmula V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 lo confirma.

Por el teorema del seno, a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. Si se hace a=7k, b=5k y c=3k, se obtiene cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, así que A=120°. El punto clave es que una razón de senos puede convertirse en una razón de lados.