Geometria e medidas: razões trigonométricas (Matemática I)

Em um triângulo retângulo com lados na razão 1:2:√3, o lado oposto ao ângulo de 30° é metade da hipotenusa, então sin30°=1/2. O valor √3/2 é cos30°, √2/2 é sin45° e √3/3 é tan30°; como são fáceis de confundir, o melhor é aprender a tabela inteira.

Em um triângulo retângulo isósceles com lados 1:1:√2, obtém-se cos45°=1/√2=√2/2. O valor 1/2 é cos60° e √3/2 é cos30°. Uma característica de 45° é que sin e cos têm o mesmo valor, √2/2.

Em um triângulo retângulo com lados 1:2:√3, o lado oposto ao ângulo de 60° é √3 e o lado adjacente é 1, então tan60°=√3. O valor √3/3 é tan30°, que é o que se obtém trocando o cateto oposto pelo adjacente. O valor √3/2 é sin60°.

sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=√3/2. Como sin continua positivo para 90°<θ<180°, acrescentar um sinal de menos e dar −√3/2 está errado. O valor 1/2 é sin30°, que é igual a cos60°.

cos135°=−cos45°=−√2/2. Observe que cos troca de sinal em 180°−θ. Esquecer o sinal e responder √2/2 é o erro mais comum. O valor −√3/2 é cos150°.

tan150°=−tan30°=−√3/3. A tangente é negativa para ângulos obtusos. Esquecer o sinal dá √3/3, e confundir tan30° com tan60° dá −√3.

O seno é (cateto oposto)/(hipotenusa). A hipotenusa é o maior lado, 5, e o lado oposto a A é 3, então sinA=3/5. O valor 4/5 é cosA e 3/4 é tanA. Identifique em um desenho qual lado é o oposto e qual é o adjacente antes de montar a razão.

A tangente é (cateto oposto)/(cateto adjacente). O lado oposto a A é 3 e o lado adjacente é 4, então tanA=3/4. Inverter a fração para 4/3 é um erro comum. O valor 3/5 é sinA e 4/5 é cosA.

cos²θ=1−sin²θ=1−1/9=8/9. Como θ é agudo, cosθ=√(8/9)=2√2/3. Responder 8/9 é esquecer de tirar a raiz quadrada, e √2/3 vem de calcular errado √8=2√2.

sin²θ=1−cos²θ=1−1/16=15/16. Para 90°<θ<180°, temos sinθ>0, então sinθ=√15/4. Tornar sin negativo só porque cos é negativo é o erro típico, e 15/16 esquece a raiz quadrada.

cos²θ=1−4/9=5/9 e, como o ângulo é obtuso, cosθ=−√5/3. Então tanθ=sinθ/cosθ=(2/3)÷(−√5/3)=−2/√5=−2√5/5. Tomar cos como positivo leva à resposta errada 2√5/5.

Pela identidade sin(90°−θ)=cosθ, temos sin55°=sin(90°−35°)=cos35°. Isso significa que, ao olhar a mesma razão entre os lados a partir dos dois ângulos agudos de um triângulo retângulo (35° e 55°), o seno e o cosseno se trocam.

cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°=−√3/2. Em 180°−θ, o cosseno troca de sinal. O valor −1/2 é cos120° e −√2/2 é cos135°, então tome cuidado com o ângulo agudo que você usa como base.

De 1+tan²θ=1/cos²θ, obtém-se 1/cos²θ=1+4=5, então cos²θ=1/5. Como θ é agudo, cosθ=1/√5=√5/5. O valor 1/5 esquece a raiz quadrada, e 2√5/5 é sinθ.

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtém-se sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=1/4. Substituindo sin²θ+cos²θ=1, obtém-se 1+2sinθcosθ=1/4, então sinθcosθ=(1/4−1)/2=−3/8. Perder o sinal dá 3/8, e esquecer de dividir por 2 dá −3/4.

Pela lei dos senos, 2R=a/sinA=4÷(1/2)=8, então R=4. Responder 8 é dar o valor de 2R. A regra prática é usar a lei dos senos sempre que você tiver um par formado por um lado e seu ângulo oposto.

Da lei dos senos a/sinA=b/sinB, obtém-se b=a·sinB/sinA=√2·(√3/2)÷(√2/2)=√2·√3/√2=√3. O valor √6/2 é o que se obtém esquecendo de dividir por sinA e escrevendo b=a·sinB. Dois ângulos e um lado pedem a lei dos senos.

Pela lei dos cossenos, a²=9+25−2·3·5·cos60°=34−15=19, então a=√19. Esquecer o termo −2bc·cosA dá √34, e tomá-lo com sinal positivo dá a²=49 e a resposta errada 7.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(25+9−49)/(2·5·3)=−15/30=−1/2, então A=120°. Errar o sinal do numerador dá 1/2 e, portanto, 60°. Como cos135°=−√2/2 e cos150°=−√3/2, tome cuidado para não confundir esses valores.

cosA=(b²+c²−a²)/2bc=(4+9−7)/(2·2·3)=6/12=1/2, então A=60°. Não confunda com cos30°=√3/2 nem com cos45°=√2/2. Quando os três lados são conhecidos, use a lei dos cossenos na forma do cosseno.

Pela lei dos senos, sinA=a·sinB/b=2·(√3/2)/√6=√3/√6=1/√2=√2/2. Como A é agudo, A=45°. Obter sinA=1/2 por engano daria 30°. Racionalize √3/√6 com cuidado.

a²=4+16−2·2·4·cos120°=20−16·(−1/2)=20+8=28, então a=2√7. Tomar cos120°=−1/2 como positivo dá a²=12 e 2√3, e esquecer o termo de correção dá a²=20 e 2√5.

O maior ângulo é oposto ao maior lado, 4. cosθ=(2²+3²−4²)/(2·2·3)=(4+9−16)/12=−3/12=−1/4. Como é negativo, o maior ângulo é obtuso. Os valores 7/8 e 11/16 são os cossenos dos outros dois ângulos, que aparecem se você escolher errado o maior lado.

O ângulo θ oposto ao maior lado 7 satisfaz cosθ=(9+25−49)/(2·3·5)=−1/2, então θ=120°. Pela lei dos senos, 2R=7/sin120°=7÷(√3/2)=14/√3; logo, R=7/√3=7√3/3. Não dê o valor de 2R, ou seja, 14√3/3, como R.

Encontrar o lado que falta a partir de dois lados e do ângulo entre eles é o uso clássico da lei dos cossenos, a²=b²+c²−2bc·cosA. A lei dos senos serve quando se conhece um par formado por um lado e seu ângulo oposto, e o teorema de Pitágoras só se aplica a triângulos retângulos.

S=(1/2)·5·8·sin60°=20·(√3/2)=10√3. Esquecer de multiplicar por 1/2 dá 20√3. Confundir sin60°=√3/2 com 1/2, que é sin30°, dá 10.

S=(1/2)·7·8·sinθ=28sinθ=14, então sinθ=1/2. Como θ é agudo, θ=30°. Não passe de sinθ=1/2 para 60° confundindo com sin60°=√3/2; saiba exatamente os valores notáveis.

S=(1/2)·4·3√2·sin135°=(1/2)·4·3√2·(√2/2)=(1/2)·12=6. Basta usar sin135°=√2/2, que é positivo. A alternativa 6√2 esquece de multiplicar por sin135°, 12 esquece o fator (1/2), e 3√2 vem de tomar sin135° como 1/2.

Pela lei dos cossenos, cosA=(36+49−25)/(2·6·7)=60/84=5/7, então sinA=√(1−25/49)=2√6/7. Então S=(1/2)·6·7·(2√6/7)=6√6. A fórmula de Heron confirma: s=9 e S=√(9·4·3·2)=√216=6√6.

De S=(1/2)r(a+b+c), obtém-se 6√6=(1/2)r·18=9r, então r=6√6/9=2√6/3. Esquecer de dividir por 2 o perímetro 18 e escrever 18r dá √6/3. O caminho padrão é encontrar primeiro a área e depois r.

A área é S=(1/2)·3·4=6. De S=(1/2)r(3+4+5)=6r, obtém-se r=1. Para um triângulo retângulo, também se pode usar r=(a+b−c)/2=(3+4−5)/2=1, onde c é a hipotenusa.

A altura é h=12·tan30°=12·(√3/3)=4√3, cerca de 6.9 m. Confundir com tan60°=√3 dá 12√3. O padrão básico dos problemas de ângulo de elevação é: altura = distância horizontal × tan(ângulo de elevação).

O pé da perpendicular traçada do vértice superior até a base é o baricentro da base equilátera, e a distância de um vértice da base até esse baricentro é 6/√3=2√3. A altura é h=√(6²−(2√3)²)=√(36−12)=√24=2√6. Não confunda a distância até o baricentro com o comprimento de uma mediana, 3√3.

A área da base é (√3/4)·36=9√3 e a altura é 2√6, então V=(1/3)·9√3·2√6=6√18=18√2. Esquecer o fator 1/3 dá 54√2. A fórmula V=(√2/12)a³=(√2/12)·216=18√2 confirma o resultado.

Pela lei dos senos, a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:5:3. Fazendo a=7k, b=5k e c=3k, obtém-se cosA=(25+9−49)k²/(2·15k²)=−1/2, então A=120°. O ponto crucial é que uma razão entre senos pode ser transformada em uma razão entre lados.