اعداد اور اظہار، سیٹ اور منطق (ریاضی I)

مجموعے اور فرق کے حاصل ضرب (a+b)(a−b)=a²−b² کے مطابق جواب x²−9 ہے۔ آپشن x²+9 علامت کی غلطی سے آتا ہے، اور x²−6x+9 اسے (x−3)² کے ساتھ گڈمڈ کرنے سے آتا ہے۔ آپ ہر رکن الگ الگ ضرب کر کے بھی جانچ سکتے ہیں: x²−3x+3x−9۔

(a+b)²=a²+2ab+b² کے مطابق x²+2·x·2+2² = x²+4x+4 حاصل ہوتا ہے۔ آپشن x²+4 درمیانی رکن 2ab بھول جانے کی عام غلطی ہے۔ تقسیمی قانون سے (x+2)(x+2) کو پھیلانے پر x²+2x+2x+4 آتا ہے، جو جواب کی تصدیق کرتا ہے۔

2x·x=2x²، 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x، اور 3·(−4)=−12، اس لیے جواب 2x²−5x−12 ہے۔ −11x والا آپشن −8x اور 3x کو جمع کرنے کے بجائے −8−3 کا حساب کرنے سے آتا ہے، اور 2x²+5x−12 علامت کی غلطی سے آتا ہے۔

وہ دو اعداد جن کا حاصل ضرب 6 اور مجموعہ 5 ہے، 2 اور 3 ہیں، اس لیے جواب (x+2)(x+3) ہے۔ (x+1)(x+6) میں حاصل ضرب تو 6 ہے مگر مجموعہ 7 ہے، اور (x−2)(x−3) پھیلانے پر x²−5x+6 بنتا ہے، جس کی علامتیں مطابقت نہیں رکھتیں۔

کراس (گروہ بندی) طریقے میں 2=2×1 اور 3=1×3 میں تقسیم کریں؛ کراس مجموعہ 2×3+1×1=7 مطابقت رکھتا ہے، اس لیے جواب (2x+1)(x+3) ہے۔ (2x+3)(x+1) کو پھیلانے سے 2x²+5x+3 آتا ہے، جس میں x کا عددی سر مطابقت نہیں رکھتا۔ پھیلا کر جانچنے کی عادت ڈالنا اہم ہے۔

3=3×1 اور 8=(−4)×(−2) میں تقسیم کریں؛ کراس مجموعہ 3×(−2)+(−4)×1=−10 مطابقت رکھتا ہے، جس سے (3x−4)(x−2) حاصل ہوتا ہے۔ (3x−2)(x−4) کو پھیلانے سے 3x²−14x+8 آتا ہے، اور (3x+4)(x+2) سے 3x²+10x+8 آتا ہے، جس کی علامتیں الٹی ہیں۔

6=2×3 اور −2=(−1)×2 میں تقسیم کریں؛ کراس مجموعہ 2×2+(−1)×3=1 مطابقت رکھتا ہے، جس سے (2x−1)(3x+2) حاصل ہوتا ہے۔ (2x+1)(3x−2) کو پھیلانے سے 6x²−x−2 آتا ہے، جس میں x کے عددی سر کی علامت الٹی ہے۔

آخری تین ارکان کو −(y²−4y+4)=−(y−2)² کی صورت میں اکٹھا کریں، جس سے x²−(y−2)² ملتا ہے۔ A=x اور B=y−2 لے کر A²−B²=(A+B)(A−B) لگانے سے (x+y−2)(x−y+2) حاصل ہوتا ہے۔ B کی علامت غلط تقسیم کرنے سے باقی صورتیں بنتی ہیں۔ پھیلا کر دیکھنا کہ آیا اصل اظہار واپس آتا ہے، جانچ کا اچھا طریقہ ہے۔

x²=t رکھنے سے t²−5t+4=(t−1)(t−4) ملتا ہے۔ واپس x² رکھنے سے (x²−1)(x²−4) آتا ہے، اور ہر ایک پر A²−B² لگانے سے (x+1)(x−1)(x+2)(x−2) حاصل ہوتا ہے۔ تجزی اس وقت تک جاری رکھنی چاہیے جب تک مزید تقسیم ممکن نہ رہے۔

x²+x=t رکھنے سے t²−8t+12=(t−2)(t−6) ملتا ہے۔ واپس رکھنے سے (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2) حاصل ہوتا ہے۔ جس جوڑے کا حاصل ضرب 12 اور مجموعہ −8 ہو وہ −2 اور −6 ہے؛ −3 اور −4 کا مجموعہ −7 بنتا ہے، جو مطابقت نہیں رکھتا۔

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3۔ مربع جزو 4 جذر کی علامت سے باہر آ جاتا ہے۔ آپشن 3√2 اس غلطی سے آتا ہے کہ 12 کو 9×2 میں توڑا جائے (یہ حاصل ضرب 18 ہے، اس لیے غلط ہے)۔ عددی طور پر √12≒3.46 اور 2√3≒3.46 ہیں، جو آپس میں مطابقت رکھتے ہیں۔

پہلے مربع اجزا باہر نکالیں: √27=3√3 اور √12=2√3۔ پھر یکساں ارکان جمع کریں: 3√3+2√3=5√3۔ آپشن √39 جذر کے اندر کے اعداد کو غلطی سے جمع کرنے سے آتا ہے۔ جذر کے اندر کی چیزوں کو یکجا کرنا صرف ضرب اور تقسیم میں جائز ہے۔

(a+b)(a−b)=a²−b² کے مطابق (√5)²−(√2)²=5−2=3 حاصل ہوتا ہے۔ آپشن 7 کو 5+2 جمع کرنے سے آتا ہے، اور √3 جذر کو ویسے ہی چھوڑ دینے سے آتا ہے۔

شمار کنندہ اور نسب نما دونوں کو √3 سے ضرب دیں: √3/(√3×√3)=√3/3۔ نسب نما (√3)²=3 بن جاتا ہے۔ آپشن √3/9 نسب نما کو غلطی سے 3² سمجھنے سے آتا ہے۔

شمار کنندہ اور نسب نما کو مزدوج √5+√3 سے ضرب دیں؛ نسب نما 5−3=2 بن جاتا ہے۔ چنانچہ 2(√5+√3)/2=√5+√3۔ آپشن 2(√5+√3) آخر میں 2 کو منسوخ کرنا بھول جانے سے آتا ہے، اور (√5+√3)/4 وہ صورت ہے جو نسب نما کو غلطی سے 5+3=8 لینے پر سامنے آتی ہے۔

(a+b)²=a²+2ab+b² کے مطابق 3+2√3·√2+2=5+2√6 حاصل ہوتا ہے۔ آپشن 5 درمیانی رکن 2ab بھول جانے سے آتا ہے، اور 5+√6 میں 2 سے ضرب دینا بھول جانے سے۔

چونکہ π>3 ہے، اس لیے اندر کا 3−π منفی ہے۔ منفی قیمت کے لیے |a|=−a، اس لیے |3−π|=−(3−π)=π−3۔ اگر علامت ہٹا کر 3−π ہی چھوڑ دیا جائے تو منفی عدد بنتا ہے، جبکہ مطلق قیمت (فاصلہ) منفی نہیں ہو سکتی؛ یہ جانچ کا مفید طریقہ ہے۔

4<7<9 سے 2<√7<3 ملتا ہے، اس لیے صحیح حصہ a=2 ہے۔ کسری حصہ عدد میں سے اس کا صحیح حصہ منفی کرنے سے ملتا ہے، b=√7−2، جو 0≦b<1 کو پورا کرتا ہے۔ قیمت √7−3 منفی ہے، اس لیے یہ کسری حصہ نہیں ہو سکتی۔

ناطق بنانے سے x=2+√3 اور 1/x=2−√3 ملتے ہیں۔ چونکہ x+1/x=4 ہے، اس لیے x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14۔ آپشن 16 صرف (x+1/x)² لے کر −2 بھول جانے سے آتا ہے۔ واقعی x²=7+4√3 اور 1/x²=7−4√3 ہیں، جن کا مجموعہ 14 ہے۔

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18۔ آپشن 27 اصلاحی رکن −3(x+1/x) بھول جانے سے آتا ہے، اور 24 صرف 3 منفی کرنے سے۔ قیمت 7 دراصل x²+1/x² ہے، جو ایک الگ مقدار ہے۔

ارکان منتقل کرنے سے 3x>9 ملتا ہے، اور مثبت عدد 3 سے تقسیم کرنے پر x>3 آتا ہے۔ مثبت عدد سے تقسیم کرنے پر نامساوات کی علامت نہیں الٹتی۔ آپشن x>9 میں 3 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں۔

ارکان منتقل کرنے سے −2x≦6 ملتا ہے۔ منفی عدد −2 سے تقسیم کرنے پر نامساوات کی علامت الٹ جاتی ہے، اس لیے x≧−3۔ آپشن x≦−3 علامت الٹنا بھول جانے کی عام غلطی ہے۔ x=0 رکھنے سے 3≦9 بنتا ہے جو درست ہے، اس لیے صحیح جواب میں 0 شامل ہونا چاہیے، اور x≧−3 میں شامل ہے۔

2x کو بائیں جانب اور −1 کو دائیں جانب منتقل کر کے 2x<6 حاصل کریں، چنانچہ x<3۔ آپشن x<2 غلطی سے 5−1=4 حساب کر کے 2x<4 لکھنے سے آتا ہے۔ x=0 سے جانچنے پر −1<5 بنتا ہے جو درست ہے، اس لیے 0 حل ہونا چاہیے، اور ہے۔

دونوں اطراف کو 6 سے ضرب دے کر 3x−6>2x حاصل کریں، پھر ارکان منتقل کر کے x>6۔ آپشن x>1 مستقل −1 کو 6 سے ضرب دینا بھول کر 3x−1>2x لکھنے سے آتا ہے۔ نسب نما ختم کرتے وقت مستقل ارکان کو بھی اسی عدد سے ضرب دیں۔

پہلی سے x>2 ملتا ہے (2 شامل نہیں)، اور دوسری سے 2x≦8، یعنی x≦4 (4 شامل ہے)۔ مشترک حصہ 2<x≦4 ہے۔ کوئی سرا شامل ہے یا نہیں، یہ براہِ راست اصل علامتوں (> اور ≦) سے منتقل ہوتا ہے۔

عددی خط پر مبدا سے 5 کے فاصلے پر دو نقاط ہیں، اس لیے x=5 اور x=−5، جنہیں اکٹھا x=±5 لکھا جاتا ہے۔ صرف مثبت حل دینے سے ایک حل رہ جاتا ہے۔

|X|<c کی صورت کا مطلب −c<X<c ہے۔ −3<x−2<3 کے ہر حصے میں 2 جمع کرنے سے −1<x<5 ملتا ہے۔ آپشن −3<x<3 میں −2 کے کھسکاؤ کو نظر انداز کیا گیا ہے۔ x=0 رکھنے سے |−2|=2<3 بنتا ہے جو درست ہے، اور یہ اس بات سے مطابقت رکھتا ہے کہ 0 درست وقفے میں واقع ہے۔

|X|≧c کی صورت باہر والا حصہ دیتی ہے: X≦−c یا X≧c۔ x+1≦−4 یا x+1≧4 سے x≦−5 یا x≧3 ملتا ہے۔ درمیان میں گھری ہوئی صورت |X|≦c کی ہوتی ہے، اور دونوں کو گڈمڈ کرنا عام غلطی ہے۔ x=0 پر |1|=1 ہے، جو شرط پوری نہیں کرتا، اور یہ اس جواب سے مطابقت رکھتا ہے جس میں 0 شامل نہیں۔

ترتیب دینے سے 3x<a+3 ملتا ہے، یعنی x<(a+3)/3۔ اس کے x<4 سے مطابقت رکھنے کے لیے (a+3)/3=4 ہونا چاہیے، چنانچہ a=9۔ آپشن a=12 مستقل 3 چھوڑ کر a/3=4 رکھنے سے آتا ہے، اور a=1 کو a+3=4 رکھنے سے۔ a=9 کے ساتھ x=4 پر دونوں اطراف برابر ہوتے ہیں، جو اس کی تصدیق کرتا ہے۔

ہمیں x>−2 اور x≦3 چاہیے، یعنی −2<x≦3۔ اس وقفے میں صحیح اعداد −1، 0، 1، 2 اور 3 ہیں، اس لیے یہ 5 ہیں۔ چونکہ −2 شامل نہیں (x>−2 میں برابری نہیں)، اس لیے 6 غلط ہے۔ سروں کو لکھ کر گننا قابلِ اعتماد طریقہ ہے۔

A∩B ان عناصر کا سیٹ ہے جو دونوں میں شامل ہوں۔ B کے عناصر 2، 4، 6 اور 8 میں سے جو A میں بھی ہیں وہ 2، 4 اور 6 ہیں۔ سیٹ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} اتحاد A∪B ہے، اور ∩ کو ∪ سے گڈمڈ کرنا عام غلطی ہے۔

A∪B وہ تمام عناصر ہیں جو کم از کم ان میں سے ایک میں شامل ہوں۔ A کے عناصر میں 8 کو، جو صرف B میں ہے، شامل کرنے سے {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} ملتا ہے۔ دہرایا جانے والا عنصر صرف ایک بار لکھا جاتا ہے۔ سیٹ {2, 4, 6} تقاطع A∩B ہے۔

تکملہ U کے ان عناصر پر مشتمل ہوتا ہے جو A میں شامل نہ ہوں۔ جفت اعداد ہٹانے سے طاق اعداد {1, 3, 5, 7, 9} باقی رہتے ہیں۔ تکملہ ہمیشہ عالمگیر سیٹ U متعین کرنے کے بعد لیا جاتا ہے۔

ڈی مارگن کے قوانین کے مطابق تکملہ لینے سے ∪ اور ∩ آپس میں بدل جاتے ہیں، اس لیے A∪B کا تکملہ Ā∩B̄ ہے۔ وین ڈایاگرام سے تصدیق ہوتی ہے کہ نہ A میں ہونا اور نہ B میں ہونا، A سے باہر اور B سے باہر ہونے کے برابر ہے۔ اس کے برعکس اظہار Ā∪B̄ دراصل A∩B کا تکملہ ہے۔

قضیہ x=3 ⇒ x²=9 درست ہے۔ اس کا عکس x²=9 ⇒ x=3 غلط ہے، کیونکہ x=−3 جوابی مثال ہے۔ ایک درست قضیے کا مفروضہ ہونے کی وجہ سے x=3 کافی شرط ہے مگر لازمی نہیں۔

چونکہ x>2 ⇒ x>0 درست ہے، اس لیے x>0 لازمی شرط ہے۔ دوسری طرف x>0 ⇒ x>2 غلط ہے، جس کی جوابی مثال x=1 ہے، اس لیے یہ کافی نہیں۔ وقفوں کی شمولیت کے ذریعے یہ یاد رکھنا مفید ہے کہ وسیع تر شرط (x>0) لازمی شرط ہوتی ہے۔

بذریعۂ تضاد ثبوت میں آپ اس بات کی نفی فرض کرتے ہیں جسے ثابت کرنا ہو۔ "غیر ناطق ہے" کی نفی "ناطق ہے" ہے۔ اسے مختصر ترین شکل والی کسر q/p کے طور پر لکھ کر آگے بڑھیں تو p اور q دونوں جفت نکلتے ہیں، جو مختصر ترین شکل کے خلاف ہے، اور اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ مفروضہ غلط تھا۔

عکس میں مفروضہ اور نتیجہ آپس میں بدل دیے جاتے ہیں، جس سے "اگر x²=1 تو x=1" ملتا ہے۔ یہ عکس دراصل غلط ہے، کیونکہ x=−1 جوابی مثال ہے؛ چنانچہ یہ اس بات کی مثال ہے کہ درست بیان کا عکس ضروری نہیں کہ درست ہو۔ دونوں حصوں کی نفی کرنے سے معکوس (inverse) ملتا ہے، اور دونوں کام کرنے سے مخالف عکس (contrapositive)۔

مخالف عکس یہ ہے کہ نتیجے کی نفی سے مفروضے کی نفی لازم آئے۔ "n جفت ہے" کی نفی "n طاق ہے" ہے، اور "n² جفت ہے" کی نفی "n² طاق ہے"، اس لیے مخالف عکس "اگر n طاق ہے تو n² طاق ہے" ہے۔ اس صورت کو براہِ راست ثابت کرنا آسان ہے، اور اسے اصل بیان ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

چونکہ a=b ⇒ |a|=|b| درست ہے، اس لیے |a|=|b| لازمی شرط ہے۔ اس کا عکس |a|=|b| ⇒ a=b غلط ہے، جس کی جوابی مثال a=1، b=−1 ہے (|1|=|−1| مگر 1≠−1)، اس لیے یہ کافی نہیں۔ چنانچہ یہ لازمی ہے مگر کافی نہیں۔