Números e expressões, conjuntos e lógica (Matemática I)

Pelo produto da soma pela diferença, (a+b)(a−b)=a²−b², a resposta é x²−9. A alternativa x²+9 vem de um erro de sinal, e x²−6x+9 vem de confundir com (x−3)². Você também pode conferir termo a termo: x²−3x+3x−9.

Por (a+b)²=a²+2ab+b², obtém-se x²+2·x·2+2² = x²+4x+4. A alternativa x²+4 é o erro clássico de esquecer o termo do meio 2ab. Expandindo (x+2)(x+2) pela propriedade distributiva, obtém-se x²+2x+2x+4, o que confirma a resposta.

2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x e 3·(−4)=−12, então a resposta é 2x²−5x−12. A versão com −11x vem de calcular −8−3 em vez de somar −8x e 3x, e 2x²+5x−12 vem de um erro de sinal.

Os dois números com produto 6 e soma 5 são 2 e 3, então a resposta é (x+2)(x+3). Em (x+1)(x+6) o produto é 6, mas a soma é 7, e (x−2)(x−3) expandido dá x²−5x+6, cujos sinais não coincidem.

Pelo método cruzado, decomponha 2=2×1 e 3=1×3; a soma cruzada 2×3+1×1=7 coincide, então a resposta é (2x+1)(x+3). Expandindo (2x+3)(x+1), obtém-se 2x²+5x+3, em que o coeficiente de x não coincide. É importante criar o hábito de conferir expandindo.

Decomponha 3=3×1 e 8=(−4)×(−2); a soma cruzada 3×(−2)+(−4)×1=−10 coincide, o que dá (3x−4)(x−2). Expandindo (3x−2)(x−4), obtém-se 3x²−14x+8, e (3x+4)(x+2) dá 3x²+10x+8, com os sinais invertidos.

Decomponha 6=2×3 e −2=(−1)×2; a soma cruzada 2×2+(−1)×3=1 coincide, o que dá (2x−1)(3x+2). Expandindo (2x+1)(3x−2), obtém-se 6x²−x−2, em que o sinal do coeficiente de x fica invertido.

Agrupe os três últimos termos como −(y²−4y+4)=−(y−2)², obtendo x²−(y−2)². Aplicando A²−B²=(A+B)(A−B) com A=x e B=y−2, obtém-se (x+y−2)(x−y+2). Distribuir errado o sinal de B leva às outras formas. Expandir para ver se você volta à expressão original é uma boa verificação.

Fazendo x²=t, obtém-se t²−5t+4=(t−1)(t−4). Voltando a x², obtém-se (x²−1)(x²−4), e aplicando A²−B² a cada fator, obtém-se (x+1)(x−1)(x+2)(x−2). A fatoração deve continuar até que nada possa mais ser decomposto.

Fazendo x²+x=t, obtém-se t²−8t+12=(t−2)(t−6). Substituindo de volta, obtém-se (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2). O par com produto 12 e soma −8 é −2 e −6; −3 e −4 dão soma −7, que não coincide.

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3. O fator quadrado 4 sai do radical. A alternativa 3√2 vem de decompor 12 erradamente como 9×2 (esse produto é 18, então está errado). Numericamente, √12≒3.46 e 2√3≒3.46, que coincidem.

Primeiro tire os fatores quadrados do radical: √27=3√3 e √12=2√3. Depois junte os termos semelhantes: 3√3+2√3=5√3. A alternativa √39 vem de somar erradamente os números dentro dos radicais. Juntar o que está dentro dos radicais só é permitido na multiplicação e na divisão.

Por (a+b)(a−b)=a²−b², obtém-se (√5)²−(√2)²=5−2=3. A alternativa 7 vem de somar 5+2, e √3 vem de deixar o radical no lugar.

Multiplique o numerador e o denominador por √3: √3/(√3×√3)=√3/3. O denominador passa a ser (√3)²=3. A alternativa √3/9 vem de tomar erradamente o denominador como 3².

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado √5+√3; o denominador passa a ser 5−3=2. Logo, 2(√5+√3)/2=√5+√3. A alternativa 2(√5+√3) vem de esquecer de simplificar o 2 no final, e (√5+√3)/4 é a forma que aparece quando o denominador é tomado erradamente como 5+3=8.

Por (a+b)²=a²+2ab+b², obtém-se 3+2√3·√2+2=5+2√6. A alternativa 5 vem de esquecer o termo do meio 2ab, e 5+√6 vem de esquecer de multiplicar por 2.

Como π>3, o conteúdo 3−π é negativo. Para um valor negativo, |a|=−a, então |3−π|=−(3−π)=π−3. Tirar as barras e deixar 3−π daria um número negativo, e um valor absoluto (uma distância) não pode ser negativo, o que é uma verificação útil.

De 4<7<9, obtém-se 2<√7<3, então a parte inteira é a=2. A parte fracionária é o número menos sua parte inteira, b=√7−2, que satisfaz 0≦b<1. O valor √7−3 é negativo, então não pode ser uma parte fracionária.

Racionalizando, obtém-se x=2+√3 e 1/x=2−√3. Como x+1/x=4, obtém-se x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14. A alternativa 16 vem de ficar em (x+1/x)² e esquecer o −2. De fato, x²=7+4√3 e 1/x²=7−4√3, cuja soma é 14.

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18. A alternativa 27 vem de esquecer o termo de correção −3(x+1/x), e 24 vem de subtrair apenas 3. O valor 7 é x²+1/x², uma grandeza diferente.

Transpondo os termos, obtém-se 3x>9, e dividindo pelo número positivo 3, obtém-se x>3. Dividir por um número positivo não inverte o sinal da desigualdade. A alternativa x>9 vem de esquecer de dividir por 3.

Transpondo os termos, obtém-se −2x≦6. Dividir pelo número negativo −2 inverte o sinal da desigualdade, então x≧−3. A alternativa x≦−3 é o erro clássico de esquecer de inverter o sinal. Substituindo x=0, obtém-se 3≦9, que é verdadeira, então a resposta correta deve conter o 0, e x≧−3 o contém.

Passe 2x para a esquerda e −1 para a direita para obter 2x<6; logo, x<3. A alternativa x<2 vem de calcular erradamente 5−1=4 e escrever 2x<4. Testando com x=0, obtém-se −1<5, que é verdadeira, então 0 deve ser uma solução, e de fato é.

Multiplique ambos os lados por 6 para obter 3x−6>2x e depois transponha os termos para obter x>6. A alternativa x>1 vem de esquecer de multiplicar a constante −1 por 6 e escrever 3x−1>2x. Ao eliminar os denominadores, multiplique também os termos constantes pelo mesmo número.

A primeira dá x>2 (o 2 não está incluído), e a segunda dá 2x≦8, então x≦4 (o 4 está incluído). A parte comum é 2<x≦4. Se um extremo está incluído ou não decorre diretamente dos sinais originais (> e ≦).

Há dois pontos na reta numérica à distância 5 da origem, então x=5 e x=−5, escritos juntos como x=±5. Dar apenas a positiva faz perder uma solução.

A forma |X|<c significa −c<X<c. De −3<x−2<3, somando 2 a cada membro, obtém-se −1<x<5. A alternativa −3<x<3 vem de ignorar o deslocamento de −2. Substituindo x=0, obtém-se |−2|=2<3, que é verdadeira, de acordo com o fato de que 0 está no intervalo correto.

A forma |X|≧c dá a parte de fora: X≦−c ou X≧c. De x+1≦−4 ou x+1≧4, obtém-se x≦−5 ou x≧3. A forma "entre dois valores" corresponde a |X|≦c, e confundir as duas é o erro clássico. Em x=0, temos |1|=1, que não satisfaz, de acordo com uma resposta que exclui o 0.

Reorganizando, obtém-se 3x<a+3, então x<(a+3)/3. Para que isso coincida com x<4, é preciso que (a+3)/3=4; logo, a=9. A alternativa a=12 vem de descartar a constante 3 e fazer a/3=4, e a=1 vem de fazer a+3=4. Com a=9, os dois lados são iguais em x=4, o que confirma o resultado.

Precisamos de x>−2 e x≦3, ou seja, −2<x≦3. Os inteiros nesse intervalo são −1, 0, 1, 2 e 3, então são 5. Como −2 não está incluído (x>−2 não tem igualdade), 6 está errado. Escrever os extremos e contar é o caminho seguro.

A∩B é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos. Dos elementos 2, 4, 6 e 8 de B, os que também estão em A são 2, 4 e 6. O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} é A∪B, a união, e confundir ∩ com ∪ é o erro clássico.

A∪B são todos os elementos que pertencem a pelo menos um deles. Acrescentando aos elementos de A o 8, que está só em B, obtém-se {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Um elemento repetido é escrito apenas uma vez. O conjunto {2, 4, 6} é a interseção A∩B.

O complementar é formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Retirando os números pares, sobram os ímpares {1, 3, 5, 7, 9}. O complementar é sempre tomado depois de fixado o conjunto universo U.

Pelas leis de De Morgan, tomar complementares troca ∪ por ∩, então o complementar de A∪B é Ā∩B̄. Um diagrama de Venn confirma que não estar nem em A nem em B é o mesmo que estar fora de A e fora de B. Já a expressão Ā∪B̄ é o complementar de A∩B.

A implicação x=3 ⇒ x²=9 é verdadeira. A recíproca x²=9 ⇒ x=3 é falsa, pois x=−3 é um contraexemplo. Por ser a hipótese de uma implicação verdadeira, x=3 é uma condição suficiente, mas não necessária.

Como x>2 ⇒ x>0 é verdadeira, x>0 é uma condição necessária. Por outro lado, x>0 ⇒ x>2 é falsa, com x=1 como contraexemplo, então não é suficiente. Ajuda lembrar, pela inclusão dos intervalos, que a condição mais ampla (x>0) é a necessária.

Na demonstração por absurdo, supõe-se a negação do que se quer provar. A negação de "é irracional" é "é racional". Escrevendo-o como uma fração irredutível q/p e prosseguindo, verifica-se que p e q são ambos pares, o que contradiz a irredutibilidade e mostra que a hipótese estava errada.

A recíproca troca a hipótese e a tese, dando "Se x²=1, então x=1". Essa recíproca é, na verdade, falsa, pois x=−1 é um contraexemplo; é, portanto, um exemplo de proposição verdadeira cuja recíproca não precisa ser verdadeira. Negar as duas partes dá a inversa, e fazer as duas coisas dá a contrapositiva.

A contrapositiva é: a negação da tese implica a negação da hipótese. A negação de "n é par" é "n é ímpar", e a negação de "n² é par" é "n² é ímpar", então a contrapositiva é "Se n é ímpar, então n² é ímpar". Essa forma é fácil de demonstrar diretamente e pode ser usada para provar a proposição original.

Como a=b ⇒ |a|=|b| é verdadeira, |a|=|b| é uma condição necessária. A recíproca |a|=|b| ⇒ a=b é falsa, com a=1, b=−1 como contraexemplo (|1|=|−1|, mas 1≠−1), então não é suficiente. Logo, é necessária, mas não suficiente.