Números y expresiones, conjuntos y lógica (Matemáticas I)

Por el producto de una suma por una diferencia, (a+b)(a−b)=a²−b², la respuesta es x²−9. La opción x²+9 proviene de un error de signo, y x²−6x+9 de confundir esta expresión con (x−3)². También puede comprobarlo término a término: x²−3x+3x−9.

Por (a+b)²=a²+2ab+b², se obtiene x²+2·x·2+2² = x²+4x+4. La opción x²+4 es el error típico de olvidar el término central 2ab. Al desarrollar (x+2)(x+2) con la propiedad distributiva se obtiene x²+2x+2x+4, lo que confirma la respuesta.

2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x y 3·(−4)=−12, así que la respuesta es 2x²−5x−12. La versión con −11x proviene de calcular −8−3 en lugar de sumar −8x y 3x, y 2x²+5x−12 proviene de un error de signo.

Los dos números cuyo producto es 6 y cuya suma es 5 son 2 y 3, así que la respuesta es (x+2)(x+3). En (x+1)(x+6) el producto es 6 pero la suma es 7, y (x−2)(x−3) se desarrolla como x²−5x+6, cuyos signos no coinciden.

Con el método del aspa (multiplicación en cruz), descomponga 2=2×1 y 3=1×3; la suma en cruz 2×3+1×1=7 coincide, así que la respuesta es (2x+1)(x+3). Al desarrollar (2x+3)(x+1) se obtiene 2x²+5x+3, donde el coeficiente de x no coincide. Es importante acostumbrarse a comprobar desarrollando.

Descomponga 3=3×1 y 8=(−4)×(−2); la suma en cruz 3×(−2)+(−4)×1=−10 coincide, y se obtiene (3x−4)(x−2). Al desarrollar (3x−2)(x−4) se obtiene 3x²−14x+8, y (3x+4)(x+2) da 3x²+10x+8, con los signos invertidos.

Descomponga 6=2×3 y −2=(−1)×2; la suma en cruz 2×2+(−1)×3=1 coincide, y se obtiene (2x−1)(3x+2). Al desarrollar (2x+1)(3x−2) se obtiene 6x²−x−2, en la que el signo del coeficiente de x está invertido.

Agrupe los tres últimos términos como −(y²−4y+4)=−(y−2)², con lo que se obtiene x²−(y−2)². Al aplicar A²−B²=(A+B)(A−B) con A=x y B=y−2 se obtiene (x+y−2)(x−y+2). Si distribuye mal el signo de B, llegará a las otras formas. Desarrollar para ver si se vuelve a la expresión original es una buena comprobación.

Si se hace x²=t, se obtiene t²−5t+4=(t−1)(t−4). Al volver a x² se obtiene (x²−1)(x²−4), y aplicando A²−B² a cada factor se obtiene (x+1)(x−1)(x+2)(x−2). La factorización debe continuarse hasta que ya no se pueda descomponer más.

Si se hace x²+x=t, se obtiene t²−8t+12=(t−2)(t−6). Al deshacer el cambio se obtiene (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2). El par con producto 12 y suma −8 es −2 y −6; −3 y −4 dan una suma de −7, que no coincide.

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3. El factor cuadrado 4 sale fuera del radical. La opción 3√2 proviene de descomponer erróneamente 12 como 9×2 (ese producto es 18, así que es incorrecto). Numéricamente, √12≒3.46 y 2√3≒3.46, que coinciden.

Primero saque los factores cuadrados fuera del radical: √27=3√3 y √12=2√3. Después agrupe los términos semejantes: 3√3+2√3=5√3. La opción √39 proviene de sumar erróneamente los números dentro de los radicales. Combinar lo que está dentro de los radicales solo está permitido en la multiplicación y la división.

Por (a+b)(a−b)=a²−b², se obtiene (√5)²−(√2)²=5−2=3. La opción 7 proviene de sumar 5+2, y √3 de dejar el radical sin eliminar.

Multiplique el numerador y el denominador por √3: √3/(√3×√3)=√3/3. El denominador queda (√3)²=3. La opción √3/9 proviene de tomar erróneamente el denominador como 3².

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado √5+√3; el denominador queda 5−3=2. Por tanto, 2(√5+√3)/2=√5+√3. La opción 2(√5+√3) proviene de olvidar simplificar el 2 final, y (√5+√3)/4 es la forma que aparece cuando el denominador se toma erróneamente como 5+3=8.

Por (a+b)²=a²+2ab+b², se obtiene 3+2√3·√2+2=5+2√6. La opción 5 proviene de olvidar el término central 2ab, y 5+√6 de olvidar multiplicar por 2.

Como π>3, el contenido 3−π es negativo. Para un valor negativo, |a|=−a, así que |3−π|=−(3−π)=π−3. Quitar las barras y dejar 3−π daría un número negativo, y un valor absoluto (una distancia) no puede ser negativo, lo cual sirve como comprobación.

De 4<7<9 se obtiene 2<√7<3, así que la parte entera es a=2. La parte fraccionaria es el número menos su parte entera, b=√7−2, que cumple 0≦b<1. El valor √7−3 es negativo, así que no puede ser una parte fraccionaria.

Al racionalizar se obtiene x=2+√3 y 1/x=2−√3. Como x+1/x=4, se obtiene x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14. La opción 16 proviene de quedarse en (x+1/x)² y olvidar el −2. En efecto, x²=7+4√3 y 1/x²=7−4√3, cuya suma es 14.

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18. La opción 27 proviene de olvidar el término de corrección −3(x+1/x), y 24 de restar solo 3. El valor 7 es x²+1/x², una cantidad distinta.

Al trasponer términos se obtiene 3x>9, y al dividir entre el número positivo 3 se obtiene x>3. Dividir entre un número positivo no invierte el signo de desigualdad. La opción x>9 proviene de olvidar dividir entre 3.

Al trasponer términos se obtiene −2x≦6. Dividir entre el número negativo −2 invierte el signo de desigualdad, así que x≧−3. La opción x≦−3 es el error típico de olvidar invertirlo. Al sustituir x=0 se obtiene 3≦9, que se cumple, así que la respuesta correcta debe contener el 0, y x≧−3 lo contiene.

Pase 2x a la izquierda y −1 a la derecha para obtener 2x<6, de donde x<3. La opción x<2 proviene de calcular erróneamente 5−1=4 y escribir 2x<4. Al comprobar con x=0 se obtiene −1<5, que se cumple, así que 0 debe ser una solución, y lo es.

Multiplique ambos miembros por 6 para obtener 3x−6>2x y después trasponga términos para obtener x>6. La opción x>1 proviene de olvidar multiplicar la constante −1 por 6 y escribir 3x−1>2x. Al eliminar denominadores, multiplique también los términos constantes por el mismo número.

La primera da x>2 (2 no está incluido), y la segunda da 2x≦8, así que x≦4 (4 está incluido). La parte común es 2<x≦4. Si un extremo está incluido o no se deduce directamente de los signos originales (> y ≦).

En la recta numérica hay dos puntos a distancia 5 del origen, así que x=5 y x=−5, que se escriben juntos como x=±5. Si da solo la positiva, pierde una solución.

La forma |X|<c significa −c<X<c. De −3<x−2<3, sumando 2 a cada parte se obtiene −1<x<5. La opción −3<x<3 proviene de ignorar el desplazamiento de −2. Al sustituir x=0 se obtiene |−2|=2<3, que se cumple, lo que concuerda con que 0 esté en el intervalo correcto.

La forma |X|≧c da la parte exterior: X≦−c o X≧c. De x+1≦−4 o x+1≧4 se obtiene x≦−5 o x≧3. La forma «entre dos valores» corresponde a |X|≦c, y confundir ambas es el error típico. En x=0 se tiene |1|=1, que no cumple la desigualdad, lo que concuerda con una respuesta que excluye el 0.

Al reordenar se obtiene 3x<a+3, así que x<(a+3)/3. Para que coincida con x<4 se necesita (a+3)/3=4, de donde a=9. La opción a=12 proviene de omitir la constante 3 y plantear a/3=4, y a=1 de plantear a+3=4. Con a=9 ambos miembros son iguales en x=4, lo que lo confirma.

Se necesita x>−2 y x≦3, es decir, −2<x≦3. Los enteros de este intervalo son −1, 0, 1, 2 y 3, así que hay 5. Como −2 no está incluido (x>−2 no tiene igualdad), 6 es incorrecto. Escribir los extremos y contar es la forma segura.

A∩B es el conjunto de los elementos que pertenecen a ambos. De los elementos 2, 4, 6 y 8 de B, los que también están en A son 2, 4 y 6. El conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} es A∪B, la unión, y confundir ∩ con ∪ es el error típico.

A∪B está formado por todos los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos. Al añadir 8, que solo está en B, a los elementos de A se obtiene {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Un elemento repetido se escribe una sola vez. El conjunto {2, 4, 6} es la intersección A∩B.

El complementario está formado por los elementos de U que no pertenecen a A. Al quitar los números pares quedan los impares {1, 3, 5, 7, 9}. El complementario siempre se toma después de haber fijado el conjunto universal U.

Por las leyes de De Morgan, al tomar complementarios se intercambian ∪ y ∩, así que el complementario de A∪B es Ā∩B̄. Un diagrama de Venn confirma que no estar ni en A ni en B es lo mismo que estar fuera de A y fuera de B. En cambio, la expresión Ā∪B̄ es el complementario de A∩B.

La implicación x=3 ⇒ x²=9 es verdadera. La recíproca x²=9 ⇒ x=3 es falsa, ya que x=−3 es un contraejemplo. Ser la hipótesis de una implicación verdadera hace que x=3 sea una condición suficiente pero no necesaria.

Como x>2 ⇒ x>0 es verdadera, x>0 es una condición necesaria. En cambio, x>0 ⇒ x>2 es falsa, con x=1 como contraejemplo, así que no es suficiente. Ayuda recordar, mediante la inclusión de intervalos, que la condición más amplia (x>0) es la necesaria.

En la demostración por reducción al absurdo se supone la negación de lo que se quiere demostrar. La negación de «es irracional» es «es racional». Al escribirlo como una fracción irreducible q/p y continuar, resulta que p y q son ambos pares, lo que contradice que la fracción sea irreducible y demuestra que la suposición era falsa.

La recíproca intercambia la hipótesis y la conclusión, y da «Si x²=1, entonces x=1». De hecho, esta recíproca es falsa, ya que x=−1 es un contraejemplo, así que es un ejemplo de proposición verdadera cuya recíproca no es necesariamente verdadera. Negar ambas partes da la contraria, y hacer ambas cosas da la contrarrecíproca.

La contrarrecíproca es «la negación de la conclusión implica la negación de la hipótesis». La negación de «n es par» es «n es impar», y la negación de «n² es par» es «n² es impar», así que la contrarrecíproca es «Si n es impar, entonces n² es impar». Esa forma es fácil de demostrar directamente y puede usarse para demostrar la proposición original.

Como a=b ⇒ |a|=|b| es verdadera, |a|=|b| es una condición necesaria. La recíproca |a|=|b| ⇒ a=b es falsa, con a=1, b=−1 como contraejemplo (|1|=|−1| pero 1≠−1), así que no es suficiente. Por tanto, es necesaria pero no suficiente.