Số và biểu thức, tập hợp và mệnh đề (数学Ⅰ, tức Toán I bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Theo hằng đẳng thức tích của tổng và hiệu (a+b)(a−b)=a²−b², ta được x²−9. Biểu thức x²+9 là lỗi sai dấu, còn x²−6x+9 là lỗi nhầm với (x−3)². Cũng có thể kiểm tra bằng cách khai triển trực tiếp: x²−3x+3x−9.

Theo (a+b)²=a²+2ab+b², ta có x²+2·x·2+2² = x²+4x+4. Biểu thức x²+4 là lỗi quen thuộc do quên số hạng giữa 2ab. Khai triển (x+2)(x+2) bằng luật phân phối cho x²+2x+2x+4, dùng để kiểm tra lại.

Ta có 2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x, 3·(−4)=−12, nên kết quả là 2x²−5x−12. Hệ số −11x là lỗi lấy −8−3 thay vì cộng −8x với 3x, còn 2x²+5x−12 là lỗi sai dấu.

Hai số có tích bằng 6 và tổng bằng 5 là 2 và 3, nên kết quả là (x+2)(x+3). Cặp trong (x+1)(x+6) có tích bằng 6 nhưng tổng bằng 7, còn (x−2)(x−3) khi khai triển cho x²−5x+6 nên sai dấu.

Tách theo cách nhân chéo: 2=2×1 và 3=1×3, tổng hai tích chéo 2×3+1×1=7 khớp với hệ số của x, nên kết quả là (2x+1)(x+3). Khai triển (2x+3)(x+1) cho 2x²+5x+3, hệ số của x không khớp. Nên tạo thói quen khai triển lại để thử.

Ta có 3=3×1, 8=(−4)×(−2), tổng hai tích chéo 3×(−2)+(−4)×1=−10 khớp, nên kết quả là (3x−4)(x−2). Khai triển (3x−2)(x−4) cho 3x²−14x+8, còn (3x+4)(x+2) cho 3x²+10x+8 nên ngược dấu.

Ta có 6=2×3, −2=(−1)×2, tổng hai tích chéo 2×2+(−1)×3=1 khớp, nên kết quả là (2x−1)(3x+2). Khai triển (2x+1)(3x−2) cho 6x²−x−2, dấu của hệ số x bị ngược.

Gộp ba hạng tử sau thành −(y²−4y+4)=−(y−2)², biểu thức trở thành x²−(y−2)². Dùng A²−B²=(A+B)(A−B) với A=x và B=y−2, ta được (x+y−2)(x−y+2). Nếu phân phối sai dấu của B sẽ ra các dạng khác, nên khai triển lại để xem có trở về biểu thức ban đầu không.

Đặt x²=t thì t²−5t+4=(t−1)(t−4). Trở về biến x ta có (x²−1)(x²−4), rồi dùng A²−B² cho từng thừa số, được (x+1)(x−1)(x+2)(x−2). Phân tích nhân tử phải làm đến khi không tách được nữa.

Đặt x²+x=t thì t²−8t+12=(t−2)(t−6). Trở về biến x: (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2). Cặp số có tích 12 và tổng −8 là −2 và −6, còn cặp −3 và −4 có tổng −7 nên không khớp.

Ta có √12=√(4×3)=√4×√3=2√3, tức là đưa thừa số chính phương 4 ra ngoài dấu căn. Kết quả 3√2 xuất phát từ việc tách sai 12=9×2, trong khi 9×2=18. Kiểm tra bằng số: √12≒3.46 và 2√3≒3.46, khớp nhau.

Đưa ra ngoài dấu căn: √27=3√3 và √12=2√3, rồi gộp các hạng tử đồng dạng: 3√3+2√3=5√3. Kết quả √39 là lỗi cộng thẳng các số nằm dưới dấu căn. Chỉ khi nhân hoặc chia mới được gộp phần trong căn.

Theo (a+b)(a−b)=a²−b², ta có (√5)²−(√2)²=5−2=3. Kết quả 7 là lỗi cộng 5+2, còn √3 là lỗi vẫn để nguyên dấu căn.

Nhân cả tử và mẫu với √3 được √3/(√3×√3)=√3/3, vì mẫu trở thành (√3)²=3. Kết quả √3/9 là lỗi coi mẫu bằng 3².

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp √5+√3 thì mẫu thành 5−3=2, do đó 2(√5+√3)/2=√5+√3. Kết quả 2(√5+√3) là lỗi quên rút gọn cho 2 ở bước cuối, còn (√5+√3)/4 là dạng hay gặp khi tính nhầm mẫu thành 5+3=8.

Theo (a+b)²=a²+2ab+b², ta có 3+2√3·√2+2=5+2√6. Kết quả 5 là lỗi quên số hạng giữa 2ab, còn 5+√6 là lỗi quên nhân 2.

Vì π>3 nên biểu thức bên trong 3−π mang dấu âm. Khi bên trong âm thì |a|=−a, do đó |3−π|=−(3−π)=π−3. Nếu bỏ dấu mà vẫn giữ 3−π thì được một số âm, trong khi giá trị tuyệt đối là khoảng cách nên không thể âm.

Từ 4<7<9 suy ra 2<√7<3, nên phần nguyên a=2. Phần lẻ là số ban đầu trừ đi phần nguyên, tức b=√7−2, thỏa mãn 0≦b<1. Biểu thức √7−3 mang dấu âm nên không thể là phần lẻ.

Trục căn thức ở mẫu được x=2+√3 và 1/x=2−√3. Vì x+1/x=4 nên x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14. Kết quả 16 là lỗi quên trừ 2 và giữ nguyên (x+1/x)². Thật vậy x²=7+4√3 và 1/x²=7−4√3, tổng bằng 14.

Ta có x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18. Kết quả 27 là lỗi quên số hạng hiệu chỉnh −3(x+1/x), còn 24 là lỗi chỉ trừ đi 3. Số 7 là giá trị của x²+1/x², một đại lượng khác.

Chuyển vế được 3x>9, chia cho số dương 3 được x>3. Khi chia cho số dương thì chiều bất đẳng thức không đổi. Kết quả x>9 là lỗi quên chia cho 3.

Chuyển vế được −2x≦6. Chia cho số âm −2 thì chiều bất đẳng thức đảo lại, nên x≧−3. Kết quả x≦−3 là lỗi quen thuộc do quên đổi chiều. Thay x=0 vào thì 3≦9 đúng, nên tập nghiệm phải chứa 0, khớp với x≧−3.

Chuyển 2x sang vế trái và −1 sang vế phải được 2x<6, vậy x<3. Kết quả x<2 là lỗi tính 5−1=4 rồi viết 2x<4. Thử x=0 thì −1<5 đúng, nghĩa là 0 thuộc tập nghiệm, phù hợp với đáp án.

Nhân hai vế với 6 được 3x−6>2x, chuyển vế được x>6. Kết quả x>1 là lỗi quên nhân hằng số −1 với 6 và viết thành 3x−1>2x. Khi khử mẫu phải nhân cùng một số cho cả hạng tử hằng.

Bất phương trình thứ nhất cho x>2, không lấy giá trị 2. Bất phương trình thứ hai cho 2x≦8 tức x≦4, có lấy giá trị 4. Phần chung là 2<x≦4. Việc có lấy đầu mút hay không được giữ nguyên theo các dấu ban đầu là > và ≦.

Trên trục số có hai điểm cách gốc một khoảng bằng 5, đó là x=5 và x=−5, viết gọn là x=±5. Nếu chỉ trả lời phía dương thì bị thiếu mất một nghiệm.

Dạng |X|<c tương đương với −c<X<c. Từ −3<x−2<3, cộng 2 vào các vế được −1<x<5. Kết quả −3<x<3 là lỗi bỏ qua độ dịch −2 bên trong. Thay x=0 thì |−2|=2<3 đúng, phù hợp với việc 0 nằm trong khoảng nghiệm.

Dạng |X|≧c cho nghiệm ở hai phía bên ngoài: X≦−c hoặc X≧c. Từ x+1≦−4 hoặc x+1≧4 suy ra x≦−5 hoặc x≧3. Việc kẹp vào phía trong chỉ đúng với dạng |X|≦c, và nhầm lẫn hai dạng này là lỗi quen thuộc. Thay x=0 thì |1|=1 không thỏa mãn, phù hợp với đáp án không chứa 0.

Rút gọn được 3x<a+3, tức x<(a+3)/3. Để trùng với x<4 thì (a+3)/3=4, vậy a=9. Kết quả a=12 là lỗi viết a/3=4 và làm rơi hằng số 3, còn a=1 là lỗi viết a+3=4. Với a=9 có thể kiểm tra rằng hai vế bằng nhau tại x=4.

Ta có x>−2 và x≦3, tức −2<x≦3. Các số nguyên trong phạm vi này là −1, 0, 1, 2, 3, tất cả 5 số. Số −2 không được lấy vì x>−2 không có dấu bằng, nên đáp án 6 số là sai. Viết ra từng số và chú ý cách xử lý đầu mút là cách chắc chắn nhất.

Tập A∩B gồm các phần tử thuộc cả hai tập. Trong các phần tử 2, 4, 6, 8 của B thì 2, 4, 6 cũng thuộc A. Tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} chính là A∪B, và nhầm lẫn giữa ∩ với ∪ là lỗi quen thuộc.

Tập A∪B gồm mọi phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập. Lấy các phần tử của A rồi thêm số 8 chỉ có ở B, ta được {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Phần tử trùng nhau chỉ viết một lần. Tập {2, 4, 6} là giao A∩B.

Phần bù gồm các phần tử của U không thuộc A. Bỏ đi các số chẵn thì còn lại các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9}. Muốn lấy phần bù thì luôn phải xác định tập toàn thể U trước.

Theo luật De Morgan, khi lấy phần bù thì ∪ và ∩ đổi chỗ cho nhau, nên phần bù của A∪B là Ā∩B̄. Có thể kiểm tra bằng biểu đồ Ven: không thuộc A và cũng không thuộc B đúng bằng ở ngoài A và ở ngoài B. Còn Ā∪B̄ mới là phần bù của A∩B.

Phép kéo theo x=3 ⇒ x²=9 là đúng. Chiều ngược lại x²=9 ⇒ x=3 là sai vì có phản ví dụ x=−3. Vì x=3 nằm ở vế giả thiết của phép kéo theo đúng nên nó là điều kiện đủ nhưng không phải điều kiện cần.

Vì x>2 ⇒ x>0 là đúng nên x>0 là điều kiện cần. Ngược lại x>0 ⇒ x>2 là sai vì có phản ví dụ x=1, nên nó không phải điều kiện đủ. Có thể nhớ theo bao hàm của các tập nghiệm: điều kiện rộng hơn, ở đây là x>0, sẽ là điều kiện cần.

Trong phương pháp phản chứng, ta giả sử điều phủ định của kết luận cần chứng minh. Phủ định của là số vô tỉ chính là là số hữu tỉ. Viết √2 dưới dạng phân số tối giản q/p rồi biến đổi sẽ thấy p và q đều chẵn, mâu thuẫn với tính tối giản, nên điều giả sử là sai.

Mệnh đề đảo là mệnh đề hoán đổi giả thiết với kết luận, tức nếu x²=1 thì x=1. Mệnh đề đảo này sai vì có phản ví dụ x=−1, cho thấy mệnh đề gốc đúng không bảo đảm mệnh đề đảo cũng đúng. Phủ định cả giả thiết lẫn kết luận cho mệnh đề phản, làm cả hai việc cùng lúc cho mệnh đề phản đảo.

Mệnh đề phản đảo là phủ định kết luận ⇒ phủ định giả thiết. Phủ định của n chẵn là n lẻ, phủ định của n² chẵn là n² lẻ, nên mệnh đề phản đảo là nếu n lẻ thì n² lẻ. Mệnh đề này dễ chứng minh trực tiếp nên thường được dùng để chứng minh mệnh đề gốc.

Vì a=b ⇒ |a|=|b| là đúng nên |a|=|b| là điều kiện cần. Chiều ngược lại |a|=|b| ⇒ a=b là sai vì có phản ví dụ a=1 và b=−1, khi đó |1|=|−1| nhưng 1≠−1, nên nó không phải điều kiện đủ. Vậy đây là điều kiện cần nhưng không phải điều kiện đủ.