수와 식, 집합과 논증 (수학Ⅰ: 일본 고교 수학 I)

합과 차의 곱 공식 (a+b)(a−b)=a²−b² 에 의해 x²−9 이다. x²+9 는 부호를 틀린 것이고, x²−6x+9 는 (x−3)² 과 혼동한 오답이다. 전개해서 x²−3x+3x−9 로 확인해도 좋다.

(a+b)²=a²+2ab+b² 에 의해 x²+2·x·2+2² = x²+4x+4 이다. x²+4 는 가운데 항 2ab 를 빠뜨리는 흔한 실수이다. (x+2)(x+2) 를 분배법칙으로 전개하면 x²+2x+2x+4 가 되어 확인할 수 있다.

2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x, 3·(−4)=−12 이므로 2x²−5x−12 이다. −11x 는 −8x 와 3x 를 더해야 할 곳에서 −8−3 으로 잘못 계산한 오답이고, 2x²+5x−12 는 부호를 틀린 것이다.

곱해서 6, 더해서 5 가 되는 두 수는 2 와 3 이므로 (x+2)(x+3) 이다. (x+1)(x+6) 은 곱하면 6 이지만 더하면 7 이고, (x−2)(x−3) 은 전개하면 x²−5x+6 이 되어 부호가 맞지 않는다.

십자 곱셈법으로 2=2×1, 3=1×3 으로 나누면 대각선의 합 2×3+1×1=7 이 일치하므로 (2x+1)(x+3) 이다. (2x+3)(x+1) 을 전개하면 2x²+5x+3 이 되어 x 의 계수가 맞지 않는다. 전개해서 검산하는 습관이 중요하다.

3=3×1, 8=(−4)×(−2) 로 놓으면 대각선의 합 3×(−2)+(−4)×1=−10 이 일치하여 (3x−4)(x−2) 이다. (3x−2)(x−4) 는 전개하면 3x²−14x+8 이고, (3x+4)(x+2) 는 3x²+10x+8 로 부호가 반대이다.

6=2×3, −2=(−1)×2 로 놓으면 대각선의 합 2×2+(−1)×3=1 이 일치하여 (2x−1)(3x+2) 이다. (2x+1)(3x−2) 는 전개하면 6x²−x−2 가 되어 x 의 계수의 부호가 반대가 된다.

뒤의 세 항을 −(y²−4y+4)=−(y−2)² 로 묶으면 x²−(y−2)² 이 된다. A²−B²=(A+B)(A−B) 에서 A=x, B=y−2 로 두면 (x+y−2)(x−y+2) 이다. B 의 부호를 나누는 방식을 틀리면 다른 꼴이 된다. 전개해서 원래 식으로 돌아오는지 검산하면 좋다.

x²=t 로 놓으면 t²−5t+4=(t−1)(t−4) 이다. x² 로 되돌리면 (x²−1)(x²−4) 이고, 다시 A²−B² 로 각각 분해하여 (x+1)(x−1)(x+2)(x−2) 가 된다. 인수분해는 더 이상 나눌 수 없는 데까지 해야 한다.

x²+x=t 로 놓으면 t²−8t+12=(t−2)(t−6) 이다. 되돌리면 (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2) 이다. 곱해서 12, 더해서 −8 이 되는 짝은 −2 와 −6 이며, −3 과 −4 는 합이 −7 이 되어 맞지 않는다.

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3 이다. 제곱인 인수 4 를 밖으로 꺼낸다. 3√2 는 12=9×2 로 잘못 분해한 오답이다(9×2=18 이므로 틀리다). 수치로도 √12≒3.46, 2√3≒3.46 으로 일치한다.

√27=3√3, √12=2√3 으로 꺼낸 뒤 동류항을 모아 3√3+2√3=5√3 이 된다. √39 는 근호 안끼리 더한 잘못이다. 근호 안을 그대로 계산해도 되는 것은 곱셈과 나눗셈일 때뿐이다.

(a+b)(a−b)=a²−b² 에 의해 (√5)²−(√2)²=5−2=3 이다. 7 은 5+2 로 더해 버린 실수이고, √3 은 근호를 남겨 둔 실수이다.

분모와 분자에 √3 을 곱하여 √3/(√3×√3)=√3/3 이 된다. 분모는 (√3)²=3 이 된다. √3/9 는 분모를 3² 으로 만든 실수이다.

분모와 분자에 켤레인 √5+√3 을 곱하면 분모는 5−3=2 가 된다. 따라서 2(√5+√3)/2=√5+√3 이다. 2(√5+√3) 는 마지막에 2 로 약분하는 것을 잊은 실수이고, (√5+√3)/4 는 분모를 5+3=8 로 잘못 보았을 때 나오기 쉬운 꼴이다.

(a+b)²=a²+2ab+b² 에 의해 3+2√3·√2+2=5+2√6 이다. 5 는 가운데 항 2ab 를 빠뜨린 실수이고, 5+√6 은 2 를 곱하는 것을 잊은 실수이다.

π>3 이므로 안쪽 3−π 는 음수이다. 음수일 때는 |a|=−a 이므로 |3−π|=−(3−π)=π−3 이다. 3−π 그대로 벗기면 값이 음수가 되는데, 절댓값(거리)이 음수가 되는 것은 이상하다는 점으로 확인할 수 있다.

4<7<9 이므로 2<√7<3 이고 정수 부분은 a=2 이다. 소수 부분은 원래 수에서 정수 부분을 뺀 b=√7−2 이다(0≦b<1 을 만족한다). √7−3 은 음수가 되므로 소수 부분이 될 수 없다.

유리화하면 x=2+√3, 1/x=2−√3 이다. x+1/x=4 이므로 x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14 이다. 16 은 −2 를 잊고 (x+1/x)² 그대로 둔 실수이다. 실제로 x²=7+4√3, 1/x²=7−4√3 이고 합은 14 이다.

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18 이다. 27 은 보정항 −3(x+1/x) 를 잊은 실수이고, 24 는 3 만 뺀 실수이다. 7 은 x²+1/x² 의 값으로 다른 양이다.

이항하여 3x>9 이고, 양수 3 으로 나누면 x>3 이다. 양수로 나눌 때는 부등호의 방향이 바뀌지 않는다. x>9 는 3 으로 나누는 것을 잊은 실수이다.

이항하여 −2x≦6 이다. 음수 −2 로 나누면 부등호의 방향이 반대가 되므로 x≧−3 이다. x≦−3 은 방향 바꾸는 것을 잊은 흔한 실수이다. x=0 을 대입하면 3≦9 로 성립하므로, 0 을 포함하는 x≧−3 이 옳음을 확인할 수 있다.

2x 를 왼쪽으로, −1 을 오른쪽으로 이항하면 2x<6 이고, 따라서 x<3 이다. x<2 는 5−1=4 로 잘못 보아 2x<4 로 만든 실수이다. x=0 으로 확인하면 −1<5 로 성립하므로, 0 이 해에 포함되는 것과 들어맞는다.

양변에 6 을 곱하면 3x−6>2x 이고, 이항하면 x>6 이다. x>1 은 상수 −1 에 6 을 곱하는 것을 잊고 3x−1>2x 로 만든 실수이다. 분모를 없앨 때는 상수항에도 같은 수를 곱해야 한다.

앞의 식에서 x>2 이고(2 는 포함하지 않는다), 뒤의 식은 2x≦8 이므로 x≦4 이다(4 는 포함한다). 공통부분은 2<x≦4 이다. 끝점을 포함하는지는 원래의 부등호(> 와 ≦)를 그대로 이어받는다.

원점에서의 거리가 5 인 점은 수직선 위에 두 개 있으므로 x=5 와 x=−5, 합쳐서 x=±5 이다. 양수 쪽만 답하면 해가 하나 빠진다.

|X|<c 꼴은 −c<X<c 이다. −3<x−2<3 의 각 변에 2 를 더하면 −1<x<5 이다. −3<x<3 은 안쪽의 어긋남(−2)을 무시한 실수이다. x=0 을 대입하면 |−2|=2<3 으로 성립하므로 0 이 범위에 들어가는 것과 맞는다.

|X|≧c 꼴은 바깥쪽으로 X≦−c 또는 X≧c 이다. x+1≦−4 또는 x+1≧4 에서 x≦−5 또는 x≧3 이 된다. 안쪽으로 끼우는 것은 |X|≦c 일 때이며, 이 둘을 혼동하는 것이 흔한 실수이다. x=0 에서는 |1|=1 로 성립하지 않으므로, 0 을 포함하지 않는 이 답과 들어맞는다.

정리하면 3x<a+3, 즉 x<(a+3)/3 이다. 이것이 x<4 와 일치할 조건은 (a+3)/3=4 이므로 a=9 이다. a=12 는 a/3=4 로 두어 상수 3 을 빠뜨린 실수이고, a=1 은 a+3=4 로 둔 실수이다. a=9 일 때 양변이 x=4 에서 같아지는 것도 확인할 수 있다.

x>−2 이고 x≦3 이므로 −2<x≦3 이다. 이 범위의 정수는 −1, 0, 1, 2, 3 의 5 개이다. −2 는 포함되지 않으므로(x>−2 에는 등호가 없다) 6 개는 틀리다. 끝점의 처리를 적어 놓고 세는 것이 확실하다.

A∩B 는 양쪽 모두에 속하는 원소의 집합이다. B 의 원소 2, 4, 6, 8 중에서 A 에도 들어가는 것은 2, 4, 6 이다. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 은 A∪B(합집합)이며, ∩ 와 ∪ 를 혼동하는 것이 흔한 실수이다.

A∪B 는 적어도 한쪽에 속하는 원소 전부이다. A 의 원소에 B 에만 있는 8 을 더하여 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 이 된다. 같은 원소는 한 번만 쓴다. {2, 4, 6} 은 교집합 A∩B 이다.

여집합은 U 의 원소 중 A 에 속하지 않는 것이다. 짝수를 제외한 홀수 {1, 3, 5, 7, 9} 가 답이다. 여집합은 반드시 전체집합 U 를 정한 뒤에 생각한다.

드모르간의 법칙에 의해 여집합을 취하면 ∪ 와 ∩ 이 서로 바뀐다. A∪B 의 여집합은 Ā∩B̄ 이다. 'A 에도 B 에도 들어가지 않는다'는 것은 'A 의 밖이면서 B 의 밖'이라는 뜻임을 벤 다이어그램으로 확인할 수 있다. Ā∪B̄ 는 A∩B 의 여집합 쪽이다.

x=3 ⇒ x²=9 는 참이다. 그 역인 x²=9 ⇒ x=3 은 반례 x=−3 이 있어 거짓이다. ⇒ 가 성립하는 쪽의 가정이므로 x=3 은 충분조건이지만 필요조건은 아니다.

x>2 ⇒ x>0 은 참이므로 x>0 은 필요조건이다. 한편 x>0 ⇒ x>2 는 반례 x=1 로 거짓이므로 충분조건은 아니다. 더 넓은 쪽의 조건(x>0)이 필요조건이 된다고 범위의 포함 관계로 기억하면 좋다.

귀류법에서는 보이려는 결론의 부정을 가정한다. '무리수이다'의 부정은 '유리수이다'이다. 기약분수 q/p 로 놓고 진행하면 p, q 가 모두 짝수가 되어 기약이라는 조건에 모순되고, 가정이 틀렸음을 알 수 있다.

역은 가정과 결론을 서로 바꾼 'x²=1 이면 x=1 이다'이다. 참고로 이 역은 반례 x=−1 이 있어 거짓이며, 원래 명제가 참이어도 역이 참이라고는 할 수 없는 예가 된다. 가정과 결론을 부정한 것은 '이'이고, 두 가지를 모두 하면 대우이다.

대우는 결론의 부정 ⇒ 가정의 부정이다. 'n 은 짝수이다'의 부정은 'n 은 홀수이다', 'n² 은 짝수이다'의 부정은 'n² 은 홀수이다'이므로, 대우는 'n 이 홀수이면 n² 은 홀수이다'가 된다. 이것은 직접 증명하기 쉬워서 원래 명제의 증명에 쓸 수 있다.

a=b ⇒ |a|=|b| 는 참이므로 |a|=|b| 는 필요조건이다. 그 역인 |a|=|b| ⇒ a=b 는 반례 a=1, b=−1(|1|=|−1| 이지만 1≠−1)로 거짓이므로 충분조건은 아니다. 따라서 필요조건이지만 충분조건은 아니다.