數與式、集合與論證（數學Ⅰ，日本高中必修的第一門數學）

由和差之積的公式 (a+b)(a−b)=a²−b²，得 x²−9。x²+9 是符號弄錯，x²−6x+9 是與 (x−3)² 混淆的錯誤。也可以逐項展開成 x²−3x+3x−9 來確認。

由 (a+b)²=a²+2ab+b²，得 x²+2·x·2+2² = x²+4x+4。x²+4 是忘記中間項 2ab 的常見錯誤。用分配律展開 (x+2)(x+2) 會得到 x²+2x+2x+4，可以用來檢驗。

2x·x=2x²、2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x、3·(−4)=−12，所以是 2x²−5x−12。−11x 是把該相加的 −8x 與 3x 誤算成 −8−3 的錯誤，2x²+5x−12 則是符號弄錯。

相乘得 6、相加得 5 的兩數是 2 與 3，所以是 (x+2)(x+3)。(x+1)(x+6) 相乘雖是 6，但相加是 7；(x−2)(x−3) 展開後為 x²−5x+6，符號不合。

用十字交乘法把 2 拆成 2×1、3 拆成 1×3，交叉相乘之和 2×3+1×1=7 相符，所以是 (2x+1)(x+3)。(2x+3)(x+1) 展開後為 2x²+5x+3，x 的係數不合。養成展開驗算的習慣很重要。

3=3×1、8=(−4)×(−2)，交叉相乘之和 3×(−2)+(−4)×1=−10 相符，所以是 (3x−4)(x−2)。(3x−2)(x−4) 展開後為 3x²−14x+8；(3x+4)(x+2) 為 3x²+10x+8，符號相反。

6=2×3、−2=(−1)×2，交叉相乘之和 2×2+(−1)×3=1 相符，所以是 (2x−1)(3x+2)。(2x+1)(3x−2) 展開後為 6x²−x−2，x 的係數符號相反。

把後三項整理成 −(y²−4y+4)=−(y−2)²，得 x²−(y−2)²。再用 A²−B²=(A+B)(A−B)，取 A=x、B=y−2，即得 (x+y−2)(x−y+2)。B 的符號分配錯了就會變成別的形式，展開檢查能否還原是好方法。

令 x²=t，則 t²−5t+4=(t−1)(t−4)。換回 x² 得 (x²−1)(x²−4)，再各自用 A²−B² 分解，得 (x+1)(x−1)(x+2)(x−2)。因式分解要做到不能再分為止。

令 x²+x=t，則 t²−8t+12=(t−2)(t−6)。換回去得 (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)。相乘得 12、相加得 −8 的一組是 −2 與 −6；−3 與 −4 的和是 −7，並不相符。

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3，把平方因數 4 提到根號外。3√2 是把 12 誤拆成 9×2 的錯誤（9×2=18，並不是 12）。用數值也能檢查：√12≒3.46，2√3≒3.46，兩者一致。

先化成 √27=3√3、√12=2√3，再合併同類項得 3√3+2√3=5√3。√39 是把根號內的數直接相加的錯誤。根號內的數只有在乘法、除法時才能合併。

由 (a+b)(a−b)=a²−b²，得 (√5)²−(√2)²=5−2=3。7 是誤算成 5+2；√3 則是誤把根號留著。

分子分母同乘 √3，得 √3/(√3×√3)=√3/3，分母為 (√3)²=3。√3/9 是把分母誤算成 3² 的錯誤。

分子分母同乘共軛的 √5+√3，分母變成 5−3=2，所以 2(√5+√3)/2=√5+√3。2(√5+√3) 是最後忘了約掉 2 的錯誤；(√5+√3)/4 常出現在把分母誤算成 5+3=8 的時候。

由 (a+b)²=a²+2ab+b²，得 3+2√3·√2+2=5+2√6。5 是忘了中間項 2ab；5+√6 是漏乘 2。

因為 π>3，所以裡面的 3−π 是負數。負數時 |a|=−a，故 |3−π|=−(3−π)=π−3。若直接把絕對值拿掉寫成 3−π 會得到負值，而絕對值（距離）不可能是負的，由此可以檢驗。

由 4<7<9 得 2<√7<3，所以整數部分 a=2。小數部分是原數減去整數部分，即 b=√7−2（滿足 0≦b<1）。√7−3 是負數，不能當作小數部分。

有理化後 x=2+√3，1/x=2−√3。因為 x+1/x=4，所以 x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14。16 是忘了減 2、停在 (x+1/x)² 的錯誤。實際上 x²=7+4√3，1/x²=7−4√3，兩者之和正是 14。

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18。27 是忘了修正項 −3(x+1/x)；24 是只減了 3。7 則是 x²+1/x² 的值，屬於另一個量。

移項得 3x>9，兩邊除以正數 3 得 x>3。除以正數時不等號的方向不變。x>9 是忘了除以 3 的錯誤。

移項得 −2x≦6。除以負數 −2 時不等號的方向要反過來，所以 x≧−3。x≦−3 是忘了改方向的常見錯誤。代入 x=0 得 3≦9 成立，因此包含 0 的 x≧−3 才正確。

把 2x 移到左邊、−1 移到右邊，得 2x<6，所以 x<3。x<2 是誤算成 5−1=4、寫成 2x<4 的錯誤。代入 x=0 得 −1<5 成立，0 確實落在解裡，前後一致。

兩邊同乘 6 得 3x−6>2x，移項得 x>6。x>1 是常數 −1 忘了乘 6、寫成 3x−1>2x 的錯誤。去分母時常數項也要乘上同一個數。

前者得 x>2（不含 2），後者由 2x≦8 得 x≦4（含 4）。取交集得 2<x≦4。端點是否包含，直接沿用原本的不等號（> 與 ≦）。

數線上與原點距離為 5 的點有兩個，所以 x=5 與 x=−5，合寫成 x=±5。只答正的那個會漏掉一個解。

|X|<c 型的解是 −c<X<c。由 −3<x−2<3，各邊加 2 得 −1<x<5。−3<x<3 是忽略了裡面平移量（−2）的錯誤。代入 x=0 得 |−2|=2<3 成立，與 0 落在範圍內相符。

|X|≧c 型的解在外側，即 X≦−c 或 X≧c。由 x+1≦−4 或 x+1≧4，得 x≦−5 或 x≧3。夾在中間是 |X|≦c 的情形，兩者混淆是常見錯誤。x=0 時 |1|=1 並不成立，與這個不含 0 的答案一致。

整理得 3x<a+3，即 x<(a+3)/3。要與 x<4 一致，需 (a+3)/3=4，所以 a=9。a=12 是看成 a/3=4、漏掉常數 3 的錯誤；a=1 是誤解成 a+3=4。當 a=9 時，也可以確認兩邊在 x=4 處相等。

由 x>−2 且 x≦3 得 −2<x≦3。此範圍內的整數是 −1、0、1、2、3 共 5 個。−2 不包含在內（x>−2 沒有等號），所以 6 個是錯的。把端點的處理寫出來再數最保險。

A∩B 是同時屬於兩者的元素所成的集合。B 的元素 2、4、6、8 之中，也在 A 裡的是 2、4、6。{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} 是 A∪B（聯集），把 ∩ 與 ∪ 弄混是常見錯誤。

A∪B 是至少屬於其中一者的所有元素。在 A 的元素之外，再加上只出現在 B 的 8，得 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}。相同的元素只寫一次。{2, 4, 6} 是交集 A∩B。

補集是 U 的元素之中不屬於 A 的那些。去掉偶數後剩下奇數 {1, 3, 5, 7, 9}，即為答案。談補集一定要先確定宇集 U。

由狄摩根定律，取補集時 ∪ 與 ∩ 會互換，所以 A∪B 的補集是 Ā∩B̄。用文氏圖確認也很清楚：不屬於 A 也不屬於 B，就是在 A 之外且在 B 之外。Ā∪B̄ 則是 A∩B 的補集。

x=3 ⇒ x²=9 為真；反過來 x²=9 ⇒ x=3 有反例 x=−3，為假。因為 x=3 是使 ⇒ 成立的前提，所以它是充分條件但不是必要條件。

x>2 ⇒ x>0 為真，所以 x>0 是必要條件。另一方面 x>0 ⇒ x>2 有反例 x=1，為假，所以不是充分條件。用範圍的包含關係來記，較寬的條件（x>0）會是必要條件。

反證法要假設想證明的結論之否定。是無理數的否定就是是有理數。設成最簡分數 q/p 往下推，會得到 p、q 都是偶數，與最簡矛盾，因此該假設是錯的。

逆命題是把前提與結論互換，即「若 x²=1 則 x=1」。這個逆命題有反例 x=−1，所以為假，正好說明原命題為真時逆命題未必為真。把前提與結論各自否定得到的是否命題，兩者都做則是對偶命題。

對偶命題是結論的否定 ⇒ 前提的否定。「n 是偶數」的否定是「n 是奇數」，「n² 是偶數」的否定是「n² 是奇數」，所以對偶命題是「若 n 是奇數則 n² 是奇數」。這個敘述容易直接證明，可以用來證明原命題。

a=b ⇒ |a|=|b| 為真，所以 |a|=|b| 是必要條件。反過來 |a|=|b| ⇒ a=b 有反例 a=1、b=−1（|1|=|−1| 但 1≠−1），為假，所以不是充分條件。因此是必要條件但不是充分條件。