จำนวนและนิพจน์ เซตและการให้เหตุผล

จากสูตรผลคูณของผลบวกกับผลต่าง (a+b)(a−b)=a²−b² จะได้ x²−9 ข้อ x²+9 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย ส่วน x²−6x+9 เกิดจากการสับสนกับ (x−3)² จะกระจายตรง ๆ เป็น x²−3x+3x−9 เพื่อตรวจสอบก็ได้

จาก (a+b)²=a²+2ab+b² จะได้ x²+2·x·2+2² = x²+4x+4 ข้อ x²+4 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมพจน์กลาง 2ab ถ้ากระจาย (x+2)(x+2) ด้วยสมบัติการแจกแจงจะได้ x²+2x+2x+4 ซึ่งใช้ตรวจคำตอบได้

2x·x=2x² แล้ว 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x และ 3·(−4)=−12 จึงได้ 2x²−5x−12 ข้อที่ได้ −11x เกิดจากคิดเป็น −8−3 ทั้งที่ต้องบวก −8x กับ 3x ส่วน 2x²+5x−12 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย

สองจำนวนที่คูณกันได้ 6 และบวกกันได้ 5 คือ 2 กับ 3 จึงได้ (x+2)(x+3) ข้อ (x+1)(x+6) คูณกันได้ 6 ก็จริง แต่บวกกันได้ 7 ส่วน (x−2)(x−3) เมื่อกระจายจะได้ x²−5x+6 ซึ่งเครื่องหมายไม่ตรง

ใช้วิธีไขว้ แยก 2=2×1 และ 3=1×3 ผลบวกของการคูณไขว้ 2×3+1×1=7 ตรงกัน จึงได้ (2x+1)(x+3) ถ้ากระจาย (2x+3)(x+1) จะได้ 2x²+5x+3 ซึ่งสัมประสิทธิ์ของ x ไม่ตรง การกระจายกลับเพื่อตรวจคำตอบเป็นนิสัยที่สำคัญ

แยก 3=3×1 และ 8=(−4)×(−2) ผลบวกของการคูณไขว้ 3×(−2)+(−4)×1=−10 ตรงกัน จึงได้ (3x−4)(x−2) ถ้ากระจาย (3x−2)(x−4) จะได้ 3x²−14x+8 และ (3x+4)(x+2) จะได้ 3x²+10x+8 ซึ่งเครื่องหมายกลับกัน

แยก 6=2×3 และ −2=(−1)×2 ผลบวกของการคูณไขว้ 2×2+(−1)×3=1 ตรงกัน จึงได้ (2x−1)(3x+2) ถ้ากระจาย (2x+1)(3x−2) จะได้ 6x²−x−2 ซึ่งเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์ของ x กลับกัน

จับสามพจน์หลังรวมกันเป็น −(y²−4y+4)=−(y−2)² จะได้ x²−(y−2)² แล้วใช้ A²−B²=(A+B)(A−B) โดยให้ A=x และ B=y−2 จึงได้ (x+y−2)(x−y+2) ถ้าแจกเครื่องหมายของ B ผิดจะได้รูปอื่น ควรกระจายกลับเพื่อตรวจว่าได้นิพจน์เดิม

ให้ x²=t จะได้ t²−5t+4=(t−1)(t−4) เปลี่ยนกลับเป็น x² ได้ (x²−1)(x²−4) แล้วแยกต่อด้วย A²−B² ทั้งสองวงเล็บได้ (x+1)(x−1)(x+2)(x−2) การแยกตัวประกอบต้องทำจนแยกต่อไปไม่ได้อีก

ให้ x²+x=t จะได้ t²−8t+12=(t−2)(t−6) เปลี่ยนกลับได้ (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2) คู่จำนวนที่คูณกันได้ 12 และบวกกันได้ −8 คือ −2 กับ −6 ส่วน −3 กับ −4 บวกกันได้ −7 จึงไม่ตรง

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3 คือดึงตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง 4 ออกมานอกกรณฑ์ ข้อ 3√2 เกิดจากแยกผิดเป็น 12=9×2 ซึ่งไม่ถูก เพราะ 9×2=18 ถ้าคิดเป็นตัวเลข √12≒3.46 และ 2√3≒3.46 ตรงกัน

ดึงออกนอกกรณฑ์เป็น √27=3√3 และ √12=2√3 แล้วรวมพจน์ที่คล้ายกันได้ 3√3+2√3=5√3 ข้อ √39 เกิดจากเข้าใจผิดว่าบวกจำนวนที่อยู่ในกรณฑ์เข้าด้วยกันได้ การรวมภายในกรณฑ์ทำได้เฉพาะการคูณและการหารเท่านั้น

จาก (a+b)(a−b)=a²−b² จะได้ (√5)²−(√2)²=5−2=3 ข้อ 7 เกิดจากเผลอบวกเป็น 5+2 ส่วน √3 เกิดจากทิ้งเครื่องหมายกรณฑ์ไว้

คูณทั้งเศษและส่วนด้วย √3 ได้ √3/(√3×√3)=√3/3 ตัวส่วนกลายเป็น (√3)²=3 ข้อ √3/9 เกิดจากคิดตัวส่วนเป็น 3²

คูณทั้งเศษและส่วนด้วยสังยุค √5+√3 ตัวส่วนจะเป็น 5−3=2 จึงได้ 2(√5+√3)/2=√5+√3 ข้อ 2(√5+√3) เกิดจากลืมตัดทอนด้วย 2 ในขั้นสุดท้าย ส่วน (√5+√3)/4 เป็นรูปที่มักเกิดเมื่อคิดตัวส่วนผิดเป็น 5+3=8

จาก (a+b)²=a²+2ab+b² จะได้ 3+2√3·√2+2=5+2√6 ข้อ 5 เกิดจากลืมพจน์กลาง 2ab ส่วน 5+√6 เกิดจากลืมคูณด้วย 2

เนื่องจาก π>3 ค่าภายใน 3−π จึงเป็นลบ เมื่อค่าภายในเป็นลบจะใช้ |a|=−a ดังนั้น |3−π|=−(3−π)=π−3 ถ้าถอดเครื่องหมายออกเป็น 3−π เฉย ๆ จะได้ค่าติดลบ ซึ่งขัดกับความหมายของค่าสัมบูรณ์ที่เป็นระยะทางและต้องไม่ติดลบ

จาก 4<7<9 จะได้ 2<√7<3 ดังนั้นส่วนจำนวนเต็ม a=2 ส่วนทศนิยมคือจำนวนเดิมลบด้วยส่วนจำนวนเต็ม นั่นคือ b=√7−2 ซึ่งสอดคล้องกับ 0≦b<1 ส่วน √7−3 มีค่าติดลบจึงเป็นส่วนทศนิยมไม่ได้

ทำตัวส่วนไม่ให้ติดกรณฑ์ได้ x=2+√3 และ 1/x=2−√3 จึงมี x+1/x=4 ดังนั้น x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14 ข้อ 16 เกิดจากลืมลบ 2 แล้วตอบเป็น (x+1/x)² ตรวจได้ว่า x²=7+4√3 และ 1/x²=7−4√3 รวมกันได้ 14

x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18 ข้อ 27 เกิดจากลืมพจน์ปรับแก้ −3(x+1/x) ข้อ 24 เกิดจากลบเพียง 3 ส่วน 7 เป็นค่าของ x²+1/x² ซึ่งเป็นคนละปริมาณ

ย้ายข้างได้ 3x>9 แล้วหารด้วยจำนวนบวก 3 ได้ x>3 การหารด้วยจำนวนบวกไม่ทำให้เครื่องหมายอสมการกลับทิศ ข้อ x>9 เกิดจากลืมหารด้วย 3

ย้ายข้างได้ −2x≦6 เมื่อหารด้วยจำนวนลบ −2 เครื่องหมายอสมการจะกลับทิศ จึงได้ x≧−3 ข้อ x≦−3 เป็นความผิดพลาดยอดนิยมที่ลืมกลับทิศ ถ้าแทน x=0 จะได้ 3≦9 ซึ่งเป็นจริง แสดงว่าคำตอบต้องมี 0 อยู่ด้วย จึงยืนยันได้ว่า x≧−3 ถูกต้อง

ย้าย 2x ไปทางซ้ายและย้าย −1 ไปทางขวา ได้ 2x<6 จึงได้ x<3 ข้อ x<2 เกิดจากคิดผิดเป็น 5−1=4 แล้วได้ 2x<4 ถ้าลองแทน x=0 จะได้ −1<5 ซึ่งเป็นจริง แสดงว่า 0 อยู่ในคำตอบ จึงสอดคล้องกัน

คูณทั้งสองข้างด้วย 6 ได้ 3x−6>2x ย้ายข้างได้ x>6 ข้อ x>1 เกิดจากลืมคูณ 6 เข้ากับพจน์คงที่ −1 แล้วได้ 3x−1>2x เวลากำจัดตัวส่วนต้องคูณจำนวนเดียวกันเข้ากับพจน์คงที่ด้วย

จากอสมการแรกได้ x>2 โดยไม่รวม 2 จากอสมการหลังได้ 2x≦8 นั่นคือ x≦4 โดยรวม 4 ด้วย ส่วนร่วมจึงเป็น 2<x≦4 การรวมจุดปลายหรือไม่ ให้ยึดตามเครื่องหมายเดิมคือ > และ ≦

จุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ 5 บนเส้นจำนวนมี 2 จุด คือ x=5 และ x=−5 เขียนรวมกันได้ x=±5 ถ้าตอบเฉพาะฝั่งบวกจะขาดคำตอบไปหนึ่งค่า

รูป |X|<c แก้เป็น −c<X<c จึงได้ −3<x−2<3 แล้วบวก 2 ทุกข้างได้ −1<x<5 ข้อ −3<x<3 เกิดจากมองข้ามการเลื่อน −2 ที่อยู่ภายในค่าสัมบูรณ์ ถ้าแทน x=0 จะได้ |−2|=2<3 ซึ่งเป็นจริง สอดคล้องกับการที่ 0 อยู่ในช่วงคำตอบ

รูป |X|≧c ให้คำตอบอยู่ด้านนอก คือ X≦−c หรือ X≧c จาก x+1≦−4 หรือ x+1≧4 ได้ x≦−5 หรือ x≧3 การขนาบไว้ด้านในใช้กับ |X|≦c ซึ่งมักถูกสับสนกัน ถ้าแทน x=0 จะได้ |1|=1 ซึ่งไม่เป็นจริง สอดคล้องกับคำตอบที่ไม่มี 0 อยู่

จัดรูปได้ 3x<a+3 นั่นคือ x<(a+3)/3 เงื่อนไขที่ทำให้ตรงกับ x<4 คือ (a+3)/3=4 จึงได้ a=9 ข้อ a=12 เกิดจากคิดเป็น a/3=4 แล้วทำพจน์คงที่ 3 ตกหล่น ข้อ a=1 เกิดจากตั้งเป็น a+3=4 เมื่อ a=9 จะตรวจได้ว่าทั้งสองข้างเท่ากันที่ x=4

ได้ x>−2 และ x≦3 นั่นคือ −2<x≦3 จำนวนเต็มในช่วงนี้คือ −1, 0, 1, 2, 3 รวม 5 จำนวน เนื่องจากไม่รวม −2 เพราะ x>−2 ไม่มีเครื่องหมายเท่ากับ ข้อ 6 จำนวนจึงผิด การเขียนจุดปลายออกมาให้ชัดแล้วนับทีละตัวเป็นวิธีที่แน่นอนที่สุด

A∩B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองเซต สมาชิกของ B คือ 2, 4, 6, 8 ซึ่งที่อยู่ใน A ด้วยคือ 2, 4, 6 ส่วน {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} คือ A∪B ซึ่งเป็นยูเนียน การสับสนระหว่าง ∩ กับ ∪ เป็นความผิดพลาดยอดนิยม

A∪B คือสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในเซตใดเซตหนึ่งเป็นอย่างน้อย นำสมาชิกของ A มารวมกับ 8 ที่มีเฉพาะใน B ได้ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} สมาชิกที่ซ้ำกันเขียนเพียงครั้งเดียว ส่วน {2, 4, 6} คือ A∩B ซึ่งเป็นอินเตอร์เซกชัน

คอมพลีเมนต์คือสมาชิกของ U ที่ไม่อยู่ใน A เมื่อตัดจำนวนคู่ออกจะเหลือจำนวนคี่ {1, 3, 5, 7, 9} ซึ่งเป็นคำตอบ การหาคอมพลีเมนต์ต้องกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U ให้ชัดเจนก่อนเสมอ

ตามกฎเดอมอร์แกน เมื่อหาคอมพลีเมนต์ เครื่องหมาย ∪ กับ ∩ จะสลับกัน คอมพลีเมนต์ของ A∪B จึงเป็น Ā∩B̄ ตรวจด้วยแผนภาพเวนน์ได้ว่า ไม่อยู่ใน A และไม่อยู่ใน B มีความหมายเดียวกับ อยู่นอก A และอยู่นอก B ส่วน Ā∪B̄ นั้นเป็นคอมพลีเมนต์ของ A∩B

x=3 ⇒ x²=9 เป็นจริง ส่วนบทกลับ x²=9 ⇒ x=3 เป็นเท็จ เพราะมีตัวอย่างค้าน x=−3 ข้อความที่อยู่ฝั่งสมมติฐานของ ⇒ ที่เป็นจริง จึงเป็นเงื่อนไขเพียงพอแต่ไม่เป็นเงื่อนไขจำเป็น

x>2 ⇒ x>0 เป็นจริง ดังนั้น x>0 จึงเป็นเงื่อนไขจำเป็น ในทางกลับกัน x>0 ⇒ x>2 เป็นเท็จ เพราะมีตัวอย่างค้าน x=1 จึงไม่เป็นเงื่อนไขเพียงพอ จำได้ง่ายด้วยการมองการบรรจุกันของช่วง คือเงื่อนไขที่กว้างกว่าอย่าง x>0 จะเป็นเงื่อนไขจำเป็น

การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้งเริ่มจากสมมติข้อปฏิเสธของข้อสรุปที่ต้องการแสดง ข้อปฏิเสธของการเป็นจำนวนอตรรกยะคือการเป็นจำนวนตรรกยะ เมื่อเขียนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ q/p แล้วทำต่อไป จะพบว่า p และ q เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ซึ่งขัดแย้งกับการเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ จึงสรุปได้ว่าข้อสมมตินั้นผิด

บทกลับคือการสลับที่ระหว่างสมมติฐานกับข้อสรุป จึงได้ ถ้า x²=1 แล้ว x=1 อนึ่ง บทกลับนี้เป็นเท็จเพราะมีตัวอย่างค้าน x=−1 จึงเป็นตัวอย่างที่แสดงว่าแม้ประพจน์เดิมเป็นจริง บทกลับก็ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง ถ้าปฏิเสธทั้งสมมติฐานและข้อสรุปโดยไม่สลับที่จะได้ข้อความตรงข้าม และถ้าทำทั้งสลับที่และปฏิเสธจะได้ข้อความแย้งสลับที่

ข้อความแย้งสลับที่คือ ข้อปฏิเสธของข้อสรุป ⇒ ข้อปฏิเสธของสมมติฐาน ข้อปฏิเสธของ n เป็นจำนวนคู่ คือ n เป็นจำนวนคี่ และข้อปฏิเสธของ n² เป็นจำนวนคู่ คือ n² เป็นจำนวนคี่ จึงได้ ถ้า n เป็นจำนวนคี่ แล้ว n² เป็นจำนวนคี่ ข้อความนี้พิสูจน์ตรง ๆ ได้ง่าย จึงนำมาใช้พิสูจน์ประพจน์เดิมได้

a=b ⇒ |a|=|b| เป็นจริง ดังนั้น |a|=|b| จึงเป็นเงื่อนไขจำเป็น ส่วนบทกลับ |a|=|b| ⇒ a=b เป็นเท็จ เพราะมีตัวอย่างค้าน a=1 และ b=−1 ซึ่ง |1|=|−1| แต่ 1≠−1 จึงไม่เป็นเงื่อนไขเพียงพอ สรุปว่าเป็นเงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เป็นเงื่อนไขเพียงพอ