Nombres et expressions, ensembles et logique (mathématiques I, programme japonais)

Par l'identité du produit d'une somme et d'une différence, (a+b)(a−b)=a²−b², on obtient x²−9. La proposition x²+9 vient d'une erreur de signe, et x²−6x+9 vient d'une confusion avec (x−3)². On peut aussi vérifier terme à terme : x²−3x+3x−9.

Par (a+b)²=a²+2ab+b², on obtient x²+2·x·2+2² = x²+4x+4. La proposition x²+4 correspond à l'oubli classique du double produit 2ab. En développant (x+2)(x+2) par distributivité on trouve x²+2x+2x+4, ce qui confirme le résultat.

On a 2x·x=2x², 2x·(−4)+3·x=−8x+3x=−5x et 3·(−4)=−12, donc 2x²−5x−12. Le terme −11x vient d'avoir calculé −8−3 au lieu d'ajouter −8x et 3x ; 2x²+5x−12 vient d'une erreur de signe.

Les deux nombres de produit 6 et de somme 5 sont 2 et 3, d'où (x+2)(x+3). Dans (x+1)(x+6) le produit vaut bien 6 mais la somme vaut 7 ; (x−2)(x−3) se développe en x²−5x+6, les signes ne conviennent pas.

Avec la méthode de la croix, on écrit 2=2×1 et 3=1×3 ; la somme des produits croisés 2×3+1×1=7 convient, d'où (2x+1)(x+3). En développant (2x+3)(x+1) on obtient 2x²+5x+3, dont le coefficient de x ne convient pas. Prendre l'habitude de vérifier en développant.

Avec 3=3×1, 8=(−4)×(−2) et la somme croisée 3×(−2)+(−4)×1=−10, tout concorde : (3x−4)(x−2). En développant, (3x−2)(x−4) donne 3x²−14x+8 et (3x+4)(x+2) donne 3x²+10x+8, dont les signes sont inversés.

Avec 6=2×3, −2=(−1)×2 et la somme croisée 2×2+(−1)×3=1, tout concorde : (2x−1)(3x+2). En développant, (2x+1)(3x−2) donne 6x²−x−2, où le signe du coefficient de x est inversé.

En regroupant les trois derniers termes sous la forme −(y²−4y+4)=−(y−2)², l'expression devient x²−(y−2)². Avec A²−B²=(A+B)(A−B), en prenant A=x et B=y−2, on obtient (x+y−2)(x−y+2). Une mauvaise répartition du signe de B conduit aux autres formes. Il est utile de développer pour vérifier qu'on retrouve l'expression de départ.

En posant x²=t, on a t²−5t+4=(t−1)(t−4). En revenant à x², cela donne (x²−1)(x²−4), puis en appliquant A²−B² à chaque facteur : (x+1)(x−1)(x+2)(x−2). Une factorisation se poursuit jusqu'à ce qu'aucun facteur ne puisse plus être décomposé.

En posant x²+x=t, on a t²−8t+12=(t−2)(t−6). En revenant à x : (x²+x−2)(x²+x−6)=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2). Le couple de produit 12 et de somme −8 est −2 et −6 ; avec −3 et −4 la somme vaudrait −7, ce qui ne convient pas.

√12=√(4×3)=√4×√3=2√3 : on sort le facteur carré 4. La proposition 3√2 vient d'une décomposition fautive du type 12=9×2, alors que 9×2=18. Numériquement, √12≒3.46 et 2√3≒3.46 coïncident.

On sort les facteurs carrés : √27=3√3 et √12=2√3, puis on regroupe les termes semblables : 3√3+2√3=5√3. La proposition √39 vient de l'erreur consistant à additionner les nombres sous le radical ; on ne peut regrouper sous un même radical que pour la multiplication et la division.

Par (a+b)(a−b)=a²−b², on a (√5)²−(√2)²=5−2=3. La proposition 7 vient d'avoir additionné 5+2 ; √3 vient d'avoir conservé le radical à tort.

En multipliant numérateur et dénominateur par √3 : √3/(√3×√3)=√3/3, car le dénominateur devient (√3)²=3. La proposition √3/9 vient d'avoir écrit le dénominateur 3² par erreur.

En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué √5+√3, le dénominateur devient 5−3=2. Donc 2(√5+√3)/2=√5+√3. La proposition 2(√5+√3) vient d'avoir oublié de simplifier par 2 à la fin ; (√5+√3)/4 apparaît lorsqu'on calcule à tort le dénominateur 5+3=8.

Par (a+b)²=a²+2ab+b², on a 3+2√3·√2+2=5+2√6. La proposition 5 vient de l'oubli du double produit 2ab, et 5+√6 de l'oubli du facteur 2.

Comme π>3, l'expression 3−π est négative. Pour a négatif, |a|=−a, donc |3−π|=−(3−π)=π−3. Garder 3−π donnerait une valeur négative, ce qui est impossible pour une valeur absolue, qui mesure une distance.

De 4<7<9 on tire 2<√7<3, donc la partie entière vaut a=2. La partie décimale est le nombre moins sa partie entière : b=√7−2, qui vérifie bien 0≦b<1. La valeur √7−3 est négative et ne peut donc pas être une partie décimale.

En rendant le dénominateur rationnel, x=2+√3 et 1/x=2−√3. Comme x+1/x=4, on a x²+1/x²=(x+1/x)²−2=16−2=14. La proposition 16 vient de l'oubli du terme −2. De fait x²=7+4√3 et 1/x²=7−4√3, dont la somme vaut 14.

On a x³+1/x³=(x+1/x)³−3(x+1/x)=27−9=18. La proposition 27 vient de l'oubli du terme correctif −3(x+1/x), et 24 d'avoir soustrait seulement 3. La valeur 7 est celle de x²+1/x², une autre quantité.

En transposant, 3x>9, puis en divisant par le nombre positif 3, x>3. Diviser par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité. La proposition x>9 vient de l'oubli de la division par 3.

En transposant, −2x≦6. Diviser par le nombre négatif −2 inverse le sens de l'inégalité, d'où x≧−3. La proposition x≦−3 correspond à l'erreur classique de ne pas inverser le sens. En prenant x=0 on obtient 3≦9, qui est vrai : la solution doit donc contenir 0, ce qui confirme x≧−3.

En transposant 2x à gauche et −1 à droite, 2x<6, donc x<3. La proposition x<2 vient d'avoir écrit 2x<4 en calculant à tort 5−1=4. Pour x=0 on a −1<5, qui est vrai : 0 appartient bien à l'ensemble des solutions.

En multipliant les deux membres par 6 : 3x−6>2x, puis en transposant, x>6. La proposition x>1 vient d'avoir oublié de multiplier le terme constant −1 par 6, ce qui donne 3x−1>2x. En chassant les dénominateurs, il faut multiplier aussi les termes constants.

La première donne x>2, où 2 est exclu ; la seconde donne 2x≦8, soit x≦4, où 4 est inclus. L'intersection est 2<x≦4. L'inclusion ou non des bornes se lit directement sur les inégalités de départ, > et ≦.

Sur la droite numérique, deux points sont à distance 5 de l'origine : x=5 et x=−5, ce qui s'écrit x=±5. Ne donner que la solution positive fait perdre une solution.

Une inéquation du type |X|<c équivaut à −c<X<c. De −3<x−2<3, on ajoute 2 à chaque membre : −1<x<5. La proposition −3<x<3 vient d'avoir ignoré le décalage −2. Pour x=0, |−2|=2<3 est vrai, ce qui est cohérent avec le fait que 0 appartient à l'intervalle.

Une inéquation du type |X|≧c donne deux intervalles extérieurs : X≦−c ou X≧c. De x+1≦−4 ou x+1≧4, on tire x≦−5 ou x≧3. L'encadrement intérieur correspond au cas |X|≦c, et la confusion entre les deux est l'erreur classique. Pour x=0, |1|=1 ne convient pas, ce qui est cohérent avec une solution qui ne contient pas 0.

En réduisant, 3x<a+3, soit x<(a+3)/3. Cette solution coïncide avec x<4 lorsque (a+3)/3=4, donc a=9. La proposition a=12 vient d'avoir écrit a/3=4 en perdant la constante 3, et a=1 d'avoir écrit a+3=4. Pour a=9, les deux membres sont bien égaux en x=4.

On a x>−2 et x≦3, soit −2<x≦3. Les entiers de cet intervalle sont −1, 0, 1, 2 et 3, soit 5 entiers. La valeur −2 est exclue, car l'inégalité x>−2 est stricte : la réponse 6 est donc fausse. Le plus sûr est d'écrire les bornes et de compter.

A∩B est l'ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles. Parmi les éléments 2, 4, 6, 8 de B, ceux qui sont aussi dans A sont 2, 4 et 6. La proposition {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} est la réunion A∪B : confondre ∩ et ∪ est l'erreur classique.

A∪B rassemble tous les éléments appartenant à au moins un des deux ensembles. Aux éléments de A on ajoute 8, présent seulement dans B : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}. Un même élément ne s'écrit qu'une fois. La proposition {2, 4, 6} est l'intersection A∩B.

Le complémentaire est formé des éléments de U qui n'appartiennent pas à A. En retirant les nombres pairs, il reste les impairs {1, 3, 5, 7, 9}. Un complémentaire ne se définit qu'une fois l'ensemble de référence U fixé.

D'après les lois de De Morgan, le passage au complémentaire échange ∪ et ∩ : le complémentaire de A∪B est Ā∩B̄. On le vérifie avec un diagramme : n'être ni dans A ni dans B, c'est être hors de A et hors de B. L'expression Ā∪B̄ est, elle, le complémentaire de A∩B.

L'implication x=3 ⇒ x²=9 est vraie. La réciproque x²=9 ⇒ x=3 est fausse, car x=−3 est un contre-exemple. Comme x=3 est l'hypothèse de l'implication vraie, c'est une condition suffisante mais non nécessaire.

L'implication x>2 ⇒ x>0 est vraie, donc x>0 est une condition nécessaire. En revanche x>0 ⇒ x>2 est fausse, car x=1 est un contre-exemple : ce n'est pas une condition suffisante. On peut retenir par l'inclusion des intervalles que la condition la plus large, ici x>0, est la condition nécessaire.

Dans un raisonnement par l'absurde, on suppose la négation de la conclusion visée. La négation de « est irrationnel » est « est rationnel ». En posant une fraction irréductible q/p, on aboutit à ce que p et q soient tous deux pairs, ce qui contredit l'irréductibilité et montre que l'hypothèse est fausse.

La réciproque échange hypothèse et conclusion : « si x²=1 alors x=1 ». Cette réciproque est d'ailleurs fausse, car x=−1 est un contre-exemple : une proposition vraie n'a pas nécessairement une réciproque vraie. Nier hypothèse et conclusion donne la proposition contraire ; faire les deux à la fois donne la contraposée.

La contraposée s'écrit : négation de la conclusion ⇒ négation de l'hypothèse. La négation de « n est pair » est « n est impair », et celle de « n² est pair » est « n² est impair » ; la contraposée est donc « si n est impair alors n² est impair ». Elle se démontre facilement de façon directe et sert à établir la proposition initiale.

L'implication a=b ⇒ |a|=|b| est vraie, donc |a|=|b| est une condition nécessaire. La réciproque |a|=|b| ⇒ a=b est fausse : avec a=1 et b=−1 on a |1|=|−1| alors que 1≠−1. Ce n'est donc pas une condition suffisante ; c'est une condition nécessaire mais non suffisante.